8.2特殊的平行四边形（第1课时矩形的性质）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形（第1课时 矩形的性质）同步练习 一、单选题 1．矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 3．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 6．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 7．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 10．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 11．如图，矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数为，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ． 12．如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是 ． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 14．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ． 15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 三、解答题 16．如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形． 17．如图，矩形中，，． (1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作边的中线． (2)在图②中作边的高线． (3)在图③中作的角平分线． 19．如图，在矩形中，点在上，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长． 20．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； (2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④ ， 四边形是平行四边形． 21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段的长度为_____； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)求点E的坐标； (4)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，矩形的性质，矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线所在的直线，据此可得答案． 【详解】解：矩形的对称轴有两条，是通过对边中点的两条直线， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质“对角线互相平分”即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 对角线互相平分， 即， 是的中线． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，准确计算是解题的关键． 根据四边形是矩形，可得到，可得到，再根据得到，即可得解． 【详解】四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选． 4．C 【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 【详解】解：A. 对边平行且相等， B. 对角线互相平分，D. 对角相等， 均是矩形和平行四边形都具有的性质． C.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 9． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 10．6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 11．/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示， 点所表示的数为：. 故答案为：. 12． 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．102.5° 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 15．3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 16．见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．根据矩形的性质得到，进而得到，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 17．(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）以点为圆心，长为半径画弧，与相交，交点即为所求； （2）由矩形的性质和平行线的性质，可证三角形全等，根据全等的性质，可得线段的长度，从而可得线段的长． 【详解】（1）解：如图，点为所求， 证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点和，连接交于点，利用矩形的性质知点为中点，连接，则为边的中线； （2）取格点I，连接交于点，得到，推出，得到，则为边的高； （3）取格点，得到，连接，利用矩形的性质找到的中点，连接交于点，利用等腰三角形的性质得到是的角平分线． 【详解】（1）解：如图，为边的中线； （2）解：如图，为边的高； （3）解：如图，是的角平分线； 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到，从而可以得到，根据角平分线的定义，可以得到，进而得到，然后根据等角对等边即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据（1）中得到的，即可得到的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ． 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：四边形是矩形， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． 由（1）知， ． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握等腰三角形的判定． 20．(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出作的角平分线交于点F， （2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：依题意，点F如图所示： （2）解：证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ①， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④， 四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 21．(1)10 (2) (3) (4)存在， 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标； （4）根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10； （2）解：设，则，，， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为； （3）解：过点E作轴于点F，如图所示． ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． （4）解：存在， 如图所示，由，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ∴存在，点P的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $