第2章 一元二次方程 单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为(　　) A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 2.将一元二次方程x2﹣x﹣1＝0配成(x+p)2＝q的形式，则p的值是(　　) A.﹣1 B.1 C. D. 3.在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100 min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为64 min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为(　　) A.100(1+x)2＝64 B.100(1﹣x)2＝64 C.64(1+x)2＝100 D.64(1﹣x)2＝100 4.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　) A.(32﹣x)(20﹣x)＝32×20﹣570 B.32x+2×20x＝32×20﹣570 C.(32﹣2x)(20﹣x)＝570 D.32x+2×20x﹣2x2＝570 5.关于x的一元二次方程x2﹣x＝的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 6.方程x2﹣8x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣4)2＝26 B.(x﹣4)2＝﹣6 C.(x+4)2＝26 D.(x+4)2＝﹣6 7.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　) A.3(x+1)x＝6210 B.3 (x﹣1)＝6210 C.(3x﹣1)x＝6210 D.3(x﹣1)x＝6210 8.如果关于x的方程(x﹣9)2＝m+4有实数根，那么m的取值范围是(　　) A.m＞3 B.m≥3 C.m＞﹣4 D.m≥﹣4 9.若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2024的值为(　　) A.2021 B.2024 C.2027 D.2030 10.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为(　　) A.﹣3 B.1 C.3 D.9 11.两连续奇数的积是195，则这两个连续奇数的和是(　　) A.28 B.24 C.±28 D.±24 12.如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(　　) A.10 B.5 C.2 D.2 二、填空题 13.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍之间进行一场比赛)，共进行了55场，则参赛的队伍有 　 　支． 14.一元二次方程x2﹣1＝8的根为 　     　． 15.用公式法解一元二次方程：一般地，当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的实数根可写为　 　，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 16.一元二次方程x(x﹣3)＝x的解是 　   　． 17.下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：x2+4x﹣1＝0． x2+4x＝1…第一步 x2+4x+4＝1+4．…第二步 (x+4)2＝5．…第三步 x+4＝±第四步 ，x2．…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　   　；②第 　 　步开始出现错误； 任务二：请直接写出该方程正确的根为 　    　． 三、解答题 18.解下列方程： （1）x2＝16； （2）x2﹣0.81＝0； （3）9x2＝4； （4）y2﹣144＝0． 19.若关于x的方程mx2﹣(2m﹣1)x+(m+1)＝0没有实数根，求m的取值范围． 20.若关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m﹣1＝0，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 21.如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． （1）若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b＝　 　；c＝　 　；d＝　 　； （2）按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为 　 　； （3）嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．” 淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 22.阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴(x2﹣2xy+y2)+(y2﹣8y+16)＝0， ∴(x﹣y)2+(y﹣4)2＝0， ∴(x﹣y)2＝0，(y﹣4)2＝0， ∴x＝4、y＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0，求mn的值； (2)若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长； (3)已知x+y＝6，xy﹣z2﹣4z＝13，求x2+y2+z2的值． 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为(　　) A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 【答案】A 【解析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x(2+2x)人被传染， 根据题意得：2x+x(2+2x)＝70， 整理得：x2+2x﹣35＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣7(不符合题意，舍去)， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为5人． 故选：A． 2.将一元二次方程x2﹣x﹣1＝0配成(x+p)2＝q的形式，则p的值是(　　) A.﹣1 B.1 C. D. 【答案】D 【解析】x2﹣x﹣1＝0， 移项，得x2﹣x＝1， 配方，得x2﹣x+()2＝1+()2， (x)2， 即p． 故选：D． 3.在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100 min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为64 min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为(　　) A.100(1+x)2＝64 B.100(1﹣x)2＝64 C.64(1+x)2＝100 D.64(1﹣x)2＝100 【答案】B 【解析】设根据题意得：100(1﹣x)2＝64． 故选：B． 4.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　) A.(32﹣x)(20﹣x)＝32×20﹣570 B.32x+2×20x＝32×20﹣570 C.(32﹣2x)(20﹣x)＝570 D.32x+2×20x﹣2x2＝570 【答案】C 【解析】∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为(32﹣2x)m，宽为(20﹣x)m的矩形． 根据题意得：(32﹣2x)(20﹣x)＝570． 故选：C． 5.关于x的一元二次方程x2﹣x＝的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】∵Δ＝(﹣1)2﹣4×1×(﹣)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 6.方程x2﹣8x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣4)2＝26 B.(x﹣4)2＝﹣6 C.(x+4)2＝26 D.(x+4)2＝﹣6 【答案】A 【解析】∵x2﹣8x﹣10＝0， ∴x2﹣8x＝10， ∴x2﹣8x+16＝10+16，即(x﹣4)2＝26. 故选：A． 7.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　) A.3(x+1)x＝6210 B.3 (x﹣1)＝6210 C.(3x﹣1)x＝6210 D.3(x﹣1)x＝6210 【答案】D 【解析】根据题意得：3(x﹣1)x＝6210． 故选：D． 8.如果关于x的方程(x﹣9)2＝m+4有实数根，那么m的取值范围是(　　) A.m＞3 B.m≥3 C.m＞﹣4 D.m≥﹣4 【答案】D 【解析】∵关于x的方程(x﹣9)2＝m+4有实数根， ∴m+4≥0， ∴m≥﹣4. 故选：D． 9.若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2024的值为(　　) A.2021 B.2024 C.2027 D.2030 【答案】C 【解析】∵a是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴3a2+3a+2024＝3(a2+a)+2024＝3×1+2024＝2027. 故选：C． 10.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为(　　) A.﹣3 B.1 C.3 D.9 【答案】C 【解析】∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴(x﹣m+2)(x﹣m﹣2)＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2(m﹣2)+3， 解得m＝3． 故选：C． 11.两连续奇数的积是195，则这两个连续奇数的和是(　　) A.28 B.24 C.±28 D.±24 【答案】C 【解析】设较小的奇数为x，根据题意得x(2+x)＝195， 解得x＝﹣15，x＝13， 那么他们的和应该是±28． 故选：C． 12.如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(　　) A.10 B.5 C.2 D.2 【答案】C 【解析】如图，过A作AG⊥CD于G，AH⊥BC于H，连接AD， ∵∠BDC＝90°，AB＝AC， AB＝AD＝AC， ∴BD＝2AG， ∵“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成， ∴设AE＝x，则AH＝DG＝10﹣x，EF＝13﹣x， ∴AG＝x﹣3， ∴BD＝2x﹣6， ∵△DBC的面积为23， ∴BD•AH＝23， ∴(2x﹣6)(10﹣x)＝23， 解得：x＝或x＝， ∴BD＝7+或7﹣，CD＝2AH＝7+或7﹣， ∴BC＝＝2， 故选：C． 二、填空题 13.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍之间进行一场比赛)，共进行了55场，则参赛的队伍有 　 　支． 【答案】11 【解析】设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：＝55， 解得：x＝11或x＝﹣10(不符合题意舍去)， ∴参加比赛的队伍共有11支. 故答案为：11． 14.一元二次方程x2﹣1＝8的根为 　     　． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3 【解析】x2﹣1＝8， x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 15.用公式法解一元二次方程：一般地，当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的实数根可写为　 　，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 【答案】x 【解析】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2﹣4ac≥0时， 两根为x．这个式子称为一元二次方程的求根公式． 故答案为：x． 16.一元二次方程x(x﹣3)＝x的解是 　   　． 【答案】x1＝0，x2＝4 【解析】x(x﹣3)＝x， 移项，得x(x﹣3)﹣x＝0， 提取公因式x，得x(x﹣3﹣1)＝0， 整理，得x(x﹣4)＝0， 解得：x1＝0，x2＝4． 故答案为：x1＝0，x2＝4． 17.下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：x2+4x﹣1＝0． x2+4x＝1…第一步 x2+4x+4＝1+4．…第二步 (x+4)2＝5．…第三步 x+4＝±第四步 ，x2．…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　   　；②第 　 　步开始出现错误； 任务二：请直接写出该方程正确的根为 　    　． 【答案】任务一：①等式的基本性质一；②三 任务二： 【解析】任务一：①以上解题过程中，第二步是依据等式的基本性质一； ②∵x2+4x+4＝(x+2)2， ∴第三步开始出现错误. 任务二：x2+4x＝1， x2+4x+4＝1+4， (x+2)2＝5， x+2＝±， ∴ ． 故答案为：任务一：①等式的基本性质一；②三 任务二： ． 三、解答题 18.解下列方程： （1）x2＝16； （2）x2﹣0.81＝0； （3）9x2＝4； （4）y2﹣144＝0． 【答案】解：（1）x2＝16， x1＝4，x2＝﹣4． （2）x2﹣0.81＝0， x2＝0.81， x1＝0.9，x2＝﹣0.9． （3）9x2＝4． x2， x1，x2． （4）y2﹣144＝0， y2＝144， y1＝12，y2＝﹣12． 19.若关于x的方程mx2﹣(2m﹣1)x+(m+1)＝0没有实数根，求m的取值范围． 【答案】解：当m＝0时，方程为x+1＝0，x＝﹣1，不符合题意； 当m≠0时，根据题意，得Δ＝(2m﹣1)2﹣4m(m+1)＜0， 解得， ∴m的取值范围为：． 20.若关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m﹣1＝0，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】证明：∵Δ＝b2﹣4ac ＝(m+4)2﹣4×1×(2m﹣1) ＝m2+8m+16﹣8m+4 ＝m2+20＞0， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 21.如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． （1）若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b＝　 　；c＝　 　；d＝　 　； （2）按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为 　 　； （3）嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．” 淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】解：（1）根据题意得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+8． 故答案为：a+1 a+7 a+8． （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， ∴ab的最大值为23×（23+1）＝552． 故答案为：552． （3）嘉嘉的说法错误，理由如下： 根据题意得：(a+1)(a+7)＝135， 整理得：a2+8a﹣128＝0， 解得：a1＝8，a2＝﹣16（不符合题意，舍去）， ∵10月8日为周六，不符合题意， ∴嘉嘉的说法错误； 淇淇的说法正确，理由如下： 根据题意得：a(a+8)＝84， 整理得：a2+8a﹣84＝0， 解得：a1＝6，a2＝﹣14（不符合题意，舍去）， ∵10月6日为周四，符合题意， ∴淇淇的说法正确． 22.阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴(x2﹣2xy+y2)+(y2﹣8y+16)＝0， ∴(x﹣y)2+(y﹣4)2＝0， ∴(x﹣y)2＝0，(y﹣4)2＝0， ∴x＝4、y＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0，求mn的值； (2)若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长； (3)已知x+y＝6，xy﹣z2﹣4z＝13，求x2+y2+z2的值． 【答案】解：(1)∵m2﹣4mn+5n2+4n+4＝0， ∴m2﹣4mn+(2n)2+n2+4n+4＝0， ∴(m﹣2n)2+(n+2)2＝0， ∴m﹣2n＝0，n+2＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣2， mn＝﹣4×(﹣2)＝8. (2)∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴a2﹣2a+1+b2﹣8b+16＝0， ∴(a﹣1)2+(b﹣4)2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4， 根据三角形三边关系，3＜c＜5， ∵a、b、c都是正整数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝1+4+4＝9. (3)∵x+y＝6， ∴y＝6﹣x， ∵xy﹣z2﹣4z＝13， ∴x(6﹣x)﹣z2﹣4z﹣13＝0， 整理得：x2﹣6x+9+z2+4z+4＝0， (x﹣3)2+(z+2)2＝0， ∴x﹣3＝0，z+2＝0， ∴x＝3，z＝﹣2， ∴y＝6﹣x＝3， ∴x2+y2+z2＝32+32+(﹣2)2＝22． 学科网（北京）股份有限公司 $