第2章 一元二次方程 单元测试 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.关于x的一元二次方程x2+bx﹣8＝0的根的情况，下列判断正确的是(　　) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 2.方程：2(x+3)2＝8的解是(　　) A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝5，x2＝1 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝1，x2＝﹣7 3.用20 cm长的铁丝，折成一个面积为24 cm2的矩形，则矩形的宽为(　　) A.8 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 4.下列方程是关于x的一元二次方程的是(　　) A.x2﹣2x B.x(x﹣2)＝x2 C.x2＝3(x+2) D.ax2+bx+c＝0 5.方程y2＝﹣a有实数根的条件是(　　) A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.a为任何实数 6.已知一元二次方程式(x﹣2)2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？(　　) A.9 B.﹣3 C.6 D.﹣6 7.用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣2)2＝1 B.(x+2)2＝1 C.(x﹣2)2＝3 D.(x+2)2＝3 8.已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为(　　) A.﹣5 B.﹣7 C.5 D.7 9.若a，b，c是实数，且b﹣3a＝2，3ab+c2+5＝4c，则6a+c＝(　　) A.0 B.2 C.﹣4 D.4 10.若a，b是方程x2+2x﹣2016＝0的两根，则a2+3a+b＝(　　) A.2016 B.2015 C.2014 D.2012 11.在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学(　　) A.42位 B.43位 C.45位 D.46位 12.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是(　　) A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 二、填空题 13.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一根为x＝﹣1，则k的值为 　  　． 14.已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　 　． 15.已知2x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝　  　． 16.两个连续奇数的积为143，求这两个连续奇数．若设较小的奇数为x，则所列方程为　 　． 17.如图，线段OA、OB(OA＜OB)的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是 　 　，此时线段BQ的最小值为 　　  ． 三、解答题 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 19.用指定的方法解下列方程： (1)4x2﹣144＝0(直接开平方法)； (2)x2﹣4x﹣3＝0(配方法)． 20.解下列方程： (1)x2+3x﹣4＝0； (2)2x2﹣4x﹣1＝0． 21.解方程：x(2x+4)＝2x+4． 22.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值．解答过程如下： 解：x2+4x+5＝(x2+4x+4)+1＝(x+2)2+1. ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+5有最小值，是1． (1)仿照上述方法，求代数式x2﹣6x+12的最小值； (2)﹣x2+8x﹣1有最 　 　(直接填“大”或“小”)值，是 　 　(直接填空)． 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.关于x的一元二次方程x2+bx﹣8＝0的根的情况，下列判断正确的是(　　) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】∵Δ＝b2﹣4×(﹣8)＝b2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2.方程：2(x+3)2＝8的解是(　　) A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝5，x2＝1 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝1，x2＝﹣7 【答案】C 【解析】∵2(x+3)2＝8， ∴(x+3)2＝4， 则x+3＝2或x+3＝﹣2， 解得：x＝﹣1或x＝﹣5. 故选：C． 3.用20 cm长的铁丝，折成一个面积为24 cm2的矩形，则矩形的宽为(　　) A.8 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 【答案】D 【解析】设矩形的长为x cm，则宽为10﹣x cm．由题意得x(10﹣x)＝24， 解得x1＝4(不合题意)，x2＝6， 所以矩形的宽为10﹣6＝4 cm． 故选：D． 4.下列方程是关于x的一元二次方程的是(　　) A.x2﹣2x B.x(x﹣2)＝x2 C.x2＝3(x+2) D.ax2+bx+c＝0 【答案】C 【解析】A、不是整式方程，是分式方程，故本选项不合题意； B、由原方程化简得﹣2x＝0，未知数的最高次数是1，故本选项不合题意； C、由原方程可得x2﹣3x﹣6＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、方程二次项系数a可能为0，故本选项不合题意. 故选：C． 5.方程y2＝﹣a有实数根的条件是(　　) A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.a为任何实数 【答案】A 【解析】∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0， ∴a≤0. 故选：A． 6.已知一元二次方程式(x﹣2)2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？(　　) A.9 B.﹣3 C.6 D.﹣6 【答案】C 【解析】(x﹣2)2＝3， x﹣2或x﹣2， 所以x1＝2，x2＝2， 即a＝2，b＝2， 所以2a+b＝4+226． 故选：C． 7.用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是(　　) A.(x﹣2)2＝1 B.(x+2)2＝1 C.(x﹣2)2＝3 D.(x+2)2＝3 【答案】C 【解析】方程移项得：x2﹣4x＝﹣1， 配方得：x2﹣4x+4＝3，即(x﹣2)2＝3． 故选：C． 8.已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为(　　) A.﹣5 B.﹣7 C.5 D.7 【答案】C 【解析】把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：1+k﹣6＝0， k＝5. 故选：C． 9.若a，b，c是实数，且b﹣3a＝2，3ab+c2+5＝4c，则6a+c＝(　　) A.0 B.2 C.﹣4 D.4 【答案】A 【解析】∵b﹣3a＝2， ∴b2﹣3ab＝2b，即3ab＝b2﹣2b， ∵3ab+c2+5＝4c， ∴b2﹣2b+c2+5﹣4c＝0， ∴(b﹣1)2+(c﹣2)2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2， ∴1﹣3a＝2， ∴3a＝﹣1， ∴6a+c＝﹣2+2＝0. 故选：A． 10.若a，b是方程x2+2x﹣2016＝0的两根，则a2+3a+b＝(　　) A.2016 B.2015 C.2014 D.2012 【答案】C 【解析】∵a是方程x2+2x﹣2016＝0的实数根， ∴a2+2a﹣2016＝0， ∴a2＝﹣2a+2016， ∴a2+3a+b＝﹣2a+2016+3a+b＝a+b+2016， ∵a、b是方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣2， ∴a2+3a+b＝﹣2+2016＝2014． 故选：C． 11.在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学(　　) A.42位 B.43位 C.45位 D.46位 【答案】D 【解析】设这个班有x位同学，则每人需赠送出(x﹣1)件礼物， 根据题意得：x(x﹣1)＝2070， 整理得：x2﹣x﹣2070＝0， 解得：x1＝﹣45(不符合题意，舍去)，x2＝46， ∴这个班有46位同学． 故选：D． 12.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是(　　) A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 【答案】D 【解析】设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1， 根据题意可得：(x﹣1)2+(x+1)2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5(不合题意舍去)， 则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3， 故这个三位数是：321， 当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1， 根据题意可得：(x﹣1)2+(x+1)2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5(不合题意舍去)， 则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1， 故这个三位数是：123， 同理可得：这个三位数可以为：±123或±321． 故选：D． 二、填空题 13.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一根为x＝﹣1，则k的值为 　  　． 【答案】﹣3 【解析】把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+k＝0得1+2+k＝0， 解得k＝﹣3， 即k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 14.已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　 　． 【答案】3 【解析】∵关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2， ∴x1x2＝3． 故答案为：3． 15.已知2x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝　  　． 【答案】±4 【解析】由题意可得|m|﹣2＝2， 解得，m＝±4． 故答案为：±4． 16.两个连续奇数的积为143，求这两个连续奇数．若设较小的奇数为x，则所列方程为　 　． 【答案】x(x+2)＝143 【解析】依题意得：较大的数为x+2， 则有：x(x+2)＝143． 故答案为：x(x+2)＝143． 17.如图，线段OA、OB(OA＜OB)的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是 　 　，此时线段BQ的最小值为 　　  ． 【答案】(0，1) 3 【解析】∵x2﹣6x+8＝0， ∴(x﹣2)(x﹣4)＝0， ∴x＝2或4， ∵线段OA、OB(OA＜OB)的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根， ∴OA＝2，OB＝4， ∴A(﹣2，0)，B(﹣4，0)，AB＝2， 设P(0，t)，过点Q作QT⊥y轴于点T．则△AOP≌△PTQ， ∴OP＝QT＝t，OA＝PT＝2， ∴Q(﹣t，t+2)， ∵B(﹣4，0)， ∴BQ， ∵2＞0， ∴t＝1时，BQ的值最小，最小值为3，此时P(0，1)． 故答案为：(0，1) 3． 三、解答题 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】解：根据根与系数的关系得α+β＝2，αβ＝﹣m， ∵α+2β＝5， 解得β＝3，α＝﹣1， ∴m＝3×(﹣1)＝﹣3， 即m的值为﹣3． 19.用指定的方法解下列方程： (1)4x2﹣144＝0(直接开平方法)； (2)x2﹣4x﹣3＝0(配方法)． 【答案】解：(1)4x2﹣144＝0， x2＝36， x＝±6， 所以x1＝6，x2＝﹣6. (2)x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， (x﹣2)2＝7， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． 20.解下列方程： (1)x2+3x﹣4＝0； (2)2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】解：(1)x2+3x﹣4＝0， 则(x﹣1)(x+4)＝0， 则x﹣1＝0或x+4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4. (2)2x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣2x， ∴x2﹣2x+11，即(x﹣1)2， ∴x﹣1＝±， ∴x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 21.解方程：x(2x+4)＝2x+4． 【答案】解：x(2x+4)＝2x+4， x(2x+4)﹣(2x+4)＝0， (2x+4)(x﹣1)＝0， ∴2x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝1． 22.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值．解答过程如下： 解：x2+4x+5＝(x2+4x+4)+1＝(x+2)2+1. ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+5有最小值，是1． (1)仿照上述方法，求代数式x2﹣6x+12的最小值； (2)﹣x2+8x﹣1有最 　 　(直接填“大”或“小”)值，是 　 　(直接填空)． 【答案】解：(1)x2﹣6x+12＝(x2﹣6x+9)+3＝(x﹣3)2+3， ∵(x﹣3)2≥0， ∴(x﹣3)2+3≥3， ∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+12有最小值，是3. (2)﹣x2+8x﹣1＝﹣(x2﹣8x+16)+15＝﹣(x﹣4)2+15， ∵(x﹣4)2≥0， ∴﹣(x﹣4)2≤0， ∴﹣(x﹣4)2+15≤15， ∴当x＝4时，﹣x2+8x﹣1有最大值，是15. 故答案为：大 15． 学科网（北京）股份有限公司 $