第2章一元二次方程（单元测试·提升卷）数学湘教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B D B A D C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．-1 12．2029 13． 14．或7 15．8 16．1 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分） 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， 或， ，； （4）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 18．（6分） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解方程得： ，， 当时，原分式没有意义， 当时，． 19．（7分） 【答案】(1)该三角形是等腰三角形或直角三角形，理由见解析； (2)或． 【详解】（1）解：三角形第三条边长是方程的一个根， 解方程可得， ，， 分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为， 此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系， ， 该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）解：①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，， 作交于点， ， 则， ； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，， ． 综上，该三角形的面积为或． 故答案为：或． 20． （7分） 【答案】5 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 21.（8分） 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 22．（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 23．（10分） 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章一元二次方程·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 6．定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 7．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是 A． B． C． D． 10．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 13．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 14．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高 尺． 16．若，是方程的两个根，则代数式 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（6分）已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 19．（7分）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 20．（7分）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 21．（8分）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 23．（10分）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章一元二次方程·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：B． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得，， 当时方程有两个相等的负实数解， ∴， ∵， ∴， 整理得， ， 而， ∴， 即． 故选：B． 7．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 8．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 9．已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用公式法求出两个解，再观察可知，较大解中包含，最后利用的范围，求出解的范围． 【详解】解：∵一元二次方程的解为： ， ∴较大的根为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法和无理数取值范围，正确代入公式计算是关键． 10．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【答案】2029 【详解】解：是方程的一个根， 即， ． 故答案为：2029． 13．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 【答案】 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 14．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 【答案】或7/或 【详解】解：∵输入的值为4，则输出的值为7，且， ∴，解得， 若输出的值为13， 则当时，由得； 当时，由得，（舍去）， 综上，若输出的值为13，则输入的x值为或7， 故答案为：或7． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高 尺． 【答案】8 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 16．若，是方程的两个根，则代数式 ． 【答案】 【详解】解：是方程的根， ，即， ， ，是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， 或， ，； （4）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 18．（6分）已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解方程得： ，， 当时，原分式没有意义， 当时，． 19．（7分）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 【答案】(1)该三角形是等腰三角形或直角三角形，理由见解析； (2)或． 【详解】（1）解：三角形第三条边长是方程的一个根， 解方程可得， ，， 分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为， 此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系， ， 该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）解：①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，， 作交于点， ， 则， ； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，， ． 综上，该三角形的面积为或． 故答案为：或． 20．（7分）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 21．（8分）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 23．（10分）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章一元二次方程·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 6．定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 7．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是 A． B． C． D． 10．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 13．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 14．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高 尺． 16．若，是方程的两个根，则代数式 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（6分）已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 19．（7分）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 20．（7分）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 21．（8分）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 23．（10分）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$