专题03 空间向量及其应用的综合问题的9种模型（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题03 空间向量及其应用的综合问题的9种模型 考点1 空间向量的线性运算 考点2 空间向量共线、共面定理 考点3 空间向量数量积及其应用 考点4 向量法证明平行、垂直 考点5 异面直线所成的角 考点6 直线与平面所成的角 考点7 平面与平面所成的角（二面角） 考点8 距离问题 考点9 向量法解决探索性问题 考点1 空间向量的线性运算 解｜题｜策｜略 空间向量线性运算中的三个关键点 1．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【解析】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 2．已知三棱锥分别是棱的中点，点在线段上，且，设则________（用基底表示） 【答案】 【解析】∵，∴， 又M，N分别是对棱的中点，，    ∴ . 3．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 【答案】 【解析】由， 4.在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，如图， 因为为的中点，所以，故选C． 5.在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上，所以 ，故选D. 6.在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有，所以 ， 所以，所以，故选B. 考点2 空间向量共线、共面定理 解｜题｜策｜略 .证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y） 7．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【解析】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 8．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【解析】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 9．已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【解析】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 10．已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】/ 【解析】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即，计算得 11．已知，若四点共面，则实数__________． 【答案】 【解析】四点共面， 向量可由线性表示，即存在实数，使得， ，解得， ． 12.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】，即，整理得 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得 ，解之得，故选B 考点3 空间向量数量积及其应用 解｜题｜策｜略 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 13．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【解析】由题可知，，， 所以． 14．在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解析】设，则， 所以 因为， 所以 15．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为. 16．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 17.已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误；故选C 18．已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故，即， 又因为，所以，所以与的夹角为，故选C. 考点4 向量法证明平行、垂直 解｜题｜策｜略 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 19．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【解析】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 20．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【解析】因为， 所以. 21．已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【解析】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 22．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则______ 【答案】 【解析】为空间内三个不共面的向量， 可以作为空间的一个基底， 又平面和平面的法向量分别为和， 且，∴. 设，则， ∴，解得，. 23.在正三棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，以及与过且与同向的方向分别为轴建立空间直角坐标系.则，，，设，由，知，解得，故，故选：C 24.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点. (1)求证：平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 【解】（1）由AB＝AC，E为BC的中点，则AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1， 过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2， 所以E(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,2,0)，B(,0,0)，B1(,0,2)，A1(0,2,)，. 所以，，. 设平面A1B1BA的一个法向量为，则，若，则， 而，所以，又平面A1B1BA， 所以EF∥平面A1B1BA. （2）因为EC⊥平面AEA1，则为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1，则为平面BCB1的一个法向量. 因为，故，故平面AEA1⊥平面BCB1. 考点5 异面直线所成的角 解｜题｜策｜略 用向量法求异面直线所成角的步骤 25．已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【解析】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 26.已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 【答案】/ 【解析】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 27．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是_____.    【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 故 设异面直线和所成的角为，则，. 异面直线和所成的角是. 28.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为 . 【答案】 【解析】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0). 所以,, 所以， 所以，解得或（舍去）. 29.已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过的母线为，连接，则，又因为，所以，    以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故选A. 考点6 直线与平面所成的角 解｜题｜策｜略 利用空间向量求线面角的解题步骤 30．在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】由题意可得，又平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为， 31．如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】/ 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则. 32.如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 【答案】 / 【解析】由题意得圆锥的高长为， 所以其体积为； 由题意得平面，则，， 而，则两两相互垂直， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系如图． 如图，，，，则，，， 则直线与的夹角的余弦值为． 33.四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)F为的中点，G为PE的中点，证明：面PAB； (2)若面ABCD，，求AB与面PCD所成角的正弦值． 【解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形 不妨设 ，E、F分别为BC、PD的中点，，， ，， ∴四边形FGMN为平行四边形，， 面PAB，面PAB，面PAB； （2）面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 设面PCD的一个法向量为 取 设AB与面PCD成的角为 则 即AB与平面PCD成角的正弦值为. 34.如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，. (1)证明：平面平面； (2)若四棱台的体积为．求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）因为底面为平行四边形，，所以， 因为在中，， 由余弦定理可得，所以. 所以，所以为直角三角形，即. 又因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为四棱台的体积为，平面， 而， 所以， 所以，解得. 如图，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 而平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点7 平面与平面所成的角（二面角） 解｜题｜策｜略 向量法求平面与平面的夹角（二面角）的方法 （1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 35．已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成的角的大小为___________ 【答案】 【解析】， 直线与平面所成的角的大小为. 36．在四面体中，，且.则二面角的平面角的余弦值为________. 【答案】/ 【解析】在平面内过点作交于点. 因为，，平面， 所以平面， 如图以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则、、， 设平面的法向量为，，， 由，取， 又平面的一个法向量为， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 37．在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，即． 易知平面，故平面的一个法向量为， 则． 由图形可知二面角为钝二面角， ∴二面角的余弦值为． 38．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 【答案】/ 【解析】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 39.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 40.如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且.      (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 【解】（1）    过作平面，交圆于，连接，. 根据圆柱性质易得，. 故四边形是平行四边形，所以. 因为，所以. 因为和是圆中直径所对的圆周角. 所以. 又因为，所以，即. 所以四边形是矩形，故，. 又因为，，所以四边形是平行四边形. 所以. 故. （2）如图，设为圆柱的母线，则底面，连结，    以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为四边形为正方形，所以. 而，. 所以，解得. 所以，. 所以，，，，. 设平面的法向量为，设平面的法向量为. 又因为，， 所以，取，则， 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 考点8 距离问题 解｜题｜策｜略 利用向量法求点B到平面α的距离的步骤 41．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】/ 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 42．在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【答案】/ 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 43．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【解析】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 44．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 【答案】2或4 【解析】因为，所以点到平面的距离， 解得或. 45.如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∵N是的中点，∴. （1），则. 设点N到直线的距离为， 则. （2）设平面的一个法向量为，则由， 得， 令，则，即. 易知，设点到平面的距离为， 则. 46.如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离.    【解】解法一：如图，设DE的中点为O，BC的中点为F， 连接OP，OF，则OP⊥DE， 因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE， 所以OP⊥平面BCDE. 因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点， 所以DE∥BC. 因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以DE∥平面PBC. 又OF⊥DE， 所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 由得 令，所以. 因为， 设点O到平面的距离为d， 则. 因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于. 解法二：如图，    因为点D，E分别为，边的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面， 所以. 又，， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 因为平面平面， 作交于点G，则平面. 在中，， 所以，. 因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于. 考点9 向量法解决探索性问题 解｜题｜策｜略 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． 2.对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． 47．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【解析】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 48.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 【解】（1）取的中点为，连接， 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形， 所以，，， 所以，，所以， 所以平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 49.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.    (1)证明：BDCC1； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【解】（1）证明:如图所示，连接, 因为为棱台，所以四点共面， 又因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：取中点，连接， 因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即， 由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 假设点存在，设点的坐标为，其中， 可得                                       设平面的法向量，则， 取，可得，所以. 又由平面的法向量为， 所以，解得 由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即 故上存在点，当时，二面角的余弦值为.    1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用的综合问题的9种模型 考点1 空间向量的线性运算 考点2 空间向量共线、共面定理 考点3 空间向量数量积及其应用 考点4 向量法证明平行、垂直 考点5 异面直线所成的角 考点6 直线与平面所成的角 考点7 平面与平面所成的角（二面角） 考点8 距离问题 考点9 向量法解决探索性问题 考点1 空间向量的线性运算 解｜题｜策｜略 空间向量线性运算中的三个关键点 1．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 2．已知三棱锥分别是棱的中点，点在线段上，且，设则________（用基底表示） 3．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 4.在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5.在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 6.在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 考点2 空间向量共线、共面定理 解｜题｜策｜略 .证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y） 7．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 8．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 9．已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 10．已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 11．已知，若四点共面，则实数__________． 12.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 考点3 空间向量数量积及其应用 解｜题｜策｜略 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 13．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 14．在平行六面体中，，则__________. 15．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 16．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 17.已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 18．已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 考点4 向量法证明平行、垂直 解｜题｜策｜略 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 19．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 20．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 21．已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 22．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则______ 23.在正三棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 24.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点. (1)求证：平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 考点5 异面直线所成的角 解｜题｜策｜略 用向量法求异面直线所成角的步骤 25．已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 26.已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 27．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是_____.    28.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为 . 29.已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点6 直线与平面所成的角 解｜题｜策｜略 利用空间向量求线面角的解题步骤 30．在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 31．如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 32.如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 33.四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)F为的中点，G为PE的中点，证明：面PAB； (2)若面ABCD，，求AB与面PCD所成角的正弦值． 34.如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，. (1)证明：平面平面； (2)若四棱台的体积为．求直线与平面所成角的正弦值. 考点7 平面与平面所成的角（二面角） 解｜题｜策｜略 向量法求平面与平面的夹角（二面角）的方法 （1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 35．已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成的角的大小为___________ 36．在四面体中，，且.则二面角的平面角的余弦值为________. 37．在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 38．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 39.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 40.如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且.      (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 考点8 距离问题 解｜题｜策｜略 利用向量法求点B到平面α的距离的步骤 41．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 42．在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 43．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 44．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 45.如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 46.如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离.    考点9 向量法解决探索性问题 解｜题｜策｜略 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． 2.对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． 47．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 48.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 49.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.    (1)证明：BDCC1； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $