专题02 空间向量的坐标表示的五种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题02 空间向量的坐标表示的五种题型 题型一：空间向量的坐标表示和运算 题型二：空间向量基本定理与向量坐标 题型三：空间向量平行的坐标表示 题型四：空间向量垂直的坐标表示 题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示 题型一：空间向量的坐标表示和运算 1．若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影求出点坐标，再求坐标即可. 【详解】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 2．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点和向量，且，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点的坐标表示向量坐标即可求解. 【详解】因为，且，所以， 又，所以点B的坐标是. 故选：D. 3．已知，，则直线与平面交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出线与平面交点的坐标，利用向量共线列出方程组，求出，从而求出答案. 【详解】设直线与平面交点的坐标是， 则，又，与共线， ∴存在实数使得，即，解得：， ∴. 故选：D 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 5．若向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的公式进行求解． 【详解】在方向上的投影向量为： ， 故选：D 6．设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案. 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 7．在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据点关于坐标轴及平面对称得出点，再应用空间向量的数量积坐标公式计算求解. 【详解】由已知得点关于轴的对称点为， 点关于坐标平面的对称点为， . 故选：A. 8．若，则（    ） A．22 B． C． D．29 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 9．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算即可得到答案. 【详解】因为向量， 所以. 故选：D. 10．已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由得，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 即， 所以，所以，解得. 故选：C 11．在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，代入坐标，即可得答案. 【详解】由题意 所以. 故选：A 12．在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得、的坐标，根据条件，列出等式，即可得答案. 【详解】设，则，， 因为， 所以，解得，则. 故选：A 13．已知空间直角坐标系中两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 14．在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积的坐标运算建立函数关系求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 当时，，此时点， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：D 15．已知向量，，则 . 【答案】0 【分析】先求与的坐标，再进行数量积运算即可. 【详解】由， 则， 则， 故答案为：0. 16．已知空间向量，则在坐标平面上的投影向量是 （用坐标表示）． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】因为空间向量，则在坐标平面上的投影向量是. 故答案为：. 17．已知点、，若，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标. 【详解】设，由可得， 则，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 题型二：空间向量基本定理与向量坐标 1．若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 2．已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底法和坐标表示的关系，利用待定系数法，即可求解. 【详解】在基底下的坐标为，得， 设向量在基底下的坐标是， 则， 所以解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B. 3．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 4．已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量在新基底下的坐标表示形式，结合原基底下的坐标，列出方程组，求解方程组即可得到新坐标. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 由空间向量基本定理可得，解得． 因此，向量以为基底时的坐标为． 故选：D 5．已知是空间的单位正交基底．若向量在基底下的坐标为，则向量的大小为（　　） A．3 B． C．9 D．6 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理及向量的数量积的运算可得. 【详解】因为向量在基底下的坐标为， 所以， 又因为是空间的单位正交基底．所以. ， 即. 故选：A 6．已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共面求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A 7．设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可设，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断. 【详解】当时，， 假设，显然无解， 则不共面，A不符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，，解得， 故，则共面，B符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：B． 8．若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基底概念，只需三个向量不共面即可，因此可以利用反证法证明. 【详解】若，，共面， 则，所以， 即，解得，，， 所以，若，，是空间的一组基底，则． 故选：B． 9．在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中两点距离公式计算可得，则可得为该正方体的体对角线，即可得该正方体的外接球球心坐标中点，再利用中点公式计算即可得. 【详解】， ， ， 则， 由为正方体的三个顶点，故为该正方体的体对角线， 则该正方体的外接球球心坐标中点，即为. 故选：B. 10．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 11．已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则 ． 【答案】4 【分析】利用空间向量基底的意义，结合相等向量列式求出即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. 故答案为：4 12．已知点A在基底下的坐标为，其中，，，则点A在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求出基底表示的对应向量作答. 【详解】令坐标原点为，依题意，，而，，， 因此， 所以点A在基底下的坐标为. 故答案为： 13．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 题型三：空间向量平行的坐标表示 1．已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，再利用模长公式即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B. 2．已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 3．已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共线向量和单位向量定义求解. 【详解】根据题意， 则与向量方向相同的单位向量是. 故选：B 4．已知空间向量，若 ，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出的值 【详解】因为 ，所以存在实数，使得， 即，所以，所以. 故选：A. 5．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 6．已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 7．已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】直接根据空间向量共线的条件可得. 【详解】由，共线，，，所以， 解得，得. 故选：C. 8．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 9．已知向量，若，则 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 所以. 故答案为： 10．已知空间向量，若，则 ． 【答案】 【分析】由向量平行的坐标运算求得即可求得的值. 【详解】因为，所以存在实数，使得，即， 所以，所以 故答案为： 11．已知，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可得到方程组，解出即可. 【详解】因，且， 显然，则，解得， 则. 故答案为：4. 12．向量，且，则 ． 【答案】 【分析】先利用向量垂直和平行的条件求出、，再计算向量的模长. 【详解】由，得，解得. 由，设，即，得，. 故，，则，其模长为. 故答案为： 13．已知空间向量，，且 ，则 . 【答案】6 【分析】根据空间向量平行公式计算求解. 【详解】因为 ，所以其对应坐标成比例，即，解得. 故答案为：6. 14．已知空间向量，.若，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得，，故. 故答案为：. 15．已知，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】应用向量的共线定理，结合其坐标列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则， 所以，可得. 故答案为：， 16．向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 17．已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值. 【详解】由题意知所在的直线平行， ，， 共线的充要条件是 显然，，符合题意. 当时，由，得 代入，得 综上，的值为1或. 故答案为：1或3. 题型四：空间向量垂直的坐标表示 1．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 2．若向量，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据得到，利用空间向量数量积的坐标表示即可求得答案. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A. 3．设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 4．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 5．已知向量，，若，则的值是（    ） A．或1 B．3或1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程，即可得. 【详解】由题设，则. 故选：D 6．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个向量垂直的坐标表示，数量积公式即可求值． 【详解】解：因为向量，，又， 则， 整理得到， 解得． 故选：D． 7．已知向量，，且与垂直，则的值为 【答案】 【分析】法一：根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，化简解方程即可；法二：利用转化法表示向量垂直，结合向量垂直的坐标表示，列方程，可得解. 【详解】法一：由已知，， 则，， 又与垂直， 则， 解得， 法二：由与垂直， 则， 又，， 则，，， 所以， 解得， 故答案为：. 8．已知向量，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式列出等式，求解即可. 【详解】因为，得，解得. 故答案为:. 9．在长方体中，，动点满足，当与垂直时，的值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可得到参数的值. 【详解】由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 可得，得， 所以，， 由，可得，即，解得或， 因为，所以实数的值为. 故答案为：. 10．已知是平行四边形所在平面外一点，若，，，给出以下四个结论： ①；②； ③是平面的一个法向量；④． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】利用空间向量的数量积的坐标表示判断①②③；由空间向量的坐标运算及向量共线的坐标表示判断④． 【详解】，，， 对于①，，则，①正确； 对于②，，得，②正确； 对于③，由①②知，，，平面， 得平面， 因此是平面的一个法向量，③正确； 对于④，，不共线，④错误. 所以正确结论的序号是①②③. 故答案为：①②③ 11．已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直的向量表示直接可得解. 【详解】由，，，则， 又在直线上， 所以，， 则， 又， 则，解得， 则， 即， 故答案为：. 12．已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的坐标表示直角利用公式求解； （2）根据向量垂直，数量积为零建立方程，解出即可； （3）利用共面向量的坐标表示建立方程组，解出即可. 【详解】（1）因为 所以， 则与同向的单位向量为. （2）因为， 解得，则， 又，而， 则，解得， 故实数k的值为 （3）若向量与向量，共面， 则，即 ， 则，解得， 则实数x的值为 13．已知空间向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值为. 【分析】（1）根据两向量平行，可求，的值，再求. （2）根据向量垂直，得到，的关系，结合二次函数的性质求的最小值及此时的值. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，所以，不存在，所以； 当时，可得，解得，，所以. （2）因为，所以，即， 所以当时，的最小值为. 14．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【详解】（1）， ， 设， ， 的值为2． （2）由（1），则， ， ， ． 15．已知空间向量. (1)若 ，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为 ， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示 1．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量夹角公式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，向量，； 对于B，向量，，则； 对于C，向量，，则； 对于D，向量，. 故选：B. 2．已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标表示及运算结合三角形面积公式计算即可. 【详解】易知, 所以，则， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：C 3．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解. 【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 由，得，解得， 若共线，得，解得，因此当不共线时，， 所以实数的取值范围为. 故选：C 4．在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，结合选项即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设，其中，则， 从而，， 所以， 当时，，则， 则， 所以， 因为，所以，结合选项可知符合题意. 故选：A 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得坐标，然后由空间向量夹角余弦坐标公式可得答案. 【详解】. 则. 故选：A 6．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 7．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 8．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 9．已知为坐标原点，,,则的值为 ；中，边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】第一小空可以直接用向量的夹角公式求得；第二小空可以使用向量中线定理写出中线的向量坐标，再求模. 【详解】①； ②在中，假设的中点为, 则上的中线可表示为,其模长为. 则上的中线长等于, 故答案为： 10．如果向量.那么 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的数量积的运算公式，以及向量夹角公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，可得且， 所以. 故答案为：. 11．已知向量，，则与夹角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】向量，，则， 因此，而，则， 所以与夹角的大小为. 故答案为： 12．已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知确定边上的中点坐标，应用空间两点距离公式求中线长，再由向量夹角的坐标运算求得，再由三角形面积公式及平行四边形的性质求面积. 【详解】由题设，边上的中点坐标是， 所以边上的中线长， 由题意得，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：， 13．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 14．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可. 【详解】设异面直线与的夹角为，则， . 故答案为： 15．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 16 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的坐标表示的五种题型 题型一：空间向量的坐标表示和运算 题型二：空间向量基本定理与向量坐标 题型三：空间向量平行的坐标表示 题型四：空间向量垂直的坐标表示 题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示 题型一：空间向量的坐标表示和运算 1．若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点和向量，且，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则直线与平面交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 7．在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 8．若，则（    ） A．22 B． C． D．29 9．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 10．已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 11．在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 12．在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 13．已知空间直角坐标系中两点，则（    ） A． B． C． D． 14．在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．已知向量，，则 . 16．已知空间向量，则在坐标平面上的投影向量是 （用坐标表示）． 17．已知点、，若，则点的坐标是 . 题型二：空间向量基本定理与向量坐标 1．若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知是空间的单位正交基底．若向量在基底下的坐标为，则向量的大小为（　　） A．3 B． C．9 D．6 6．已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A． B． C． D． 8．若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 11．已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则 ． 12．已知点A在基底下的坐标为，其中，，，则点A在基底下的坐标为 ． 13．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 题型三：空间向量平行的坐标表示 1．已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 3．已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，若 ，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 5．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 6．已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 7．已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 8．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，若，则 10．已知空间向量，若，则 ． 11．已知，若，则 ． 12．向量，且，则 ． 13．已知空间向量，，且 ，则 . 14．已知空间向量，.若，则 . 15．已知，则 ， ． 16．向量 且 ，则实数 . 17．已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 题型四：空间向量垂直的坐标表示 1．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．若向量，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 4．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 5．已知向量，，若，则的值是（    ） A．或1 B．3或1 C． D． 6．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，且与垂直，则的值为 8．已知向量，，且，则 . 9．在长方体中，，动点满足，当与垂直时，的值为 . 10．已知是平行四边形所在平面外一点，若，，，给出以下四个结论： ①；②； ③是平面的一个法向量；④． 其中正确的结论是 ．（填序号） 11．已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 . 12．已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 13．已知空间向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值. 14．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 15．已知空间向量. (1)若 ，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示 1．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 8．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 9．已知为坐标原点，,,则的值为 ；中，边上中线的长为 ． 10．如果向量.那么 . 11．已知向量，，则与夹角的大小为 . 12．已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 13．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 14．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 15．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $