寒假自查卷03 第十五章轴对称 2025-2026学年人教版八年级数学寒假查漏补缺练分章单元自查题（重庆适用）

寒假自查卷03 第十五章 轴对称 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第Ⅰ卷 一﹑选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列和平鸽的图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它是轴对称图形． 故选：D 2．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则n的值为（    ） A．5 B．−5 C．2 D．−2 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点的坐标特征为“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，据此即可获得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 故选：A． 3．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是. 故选：C． 4．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 5．如图，在中，，平分，，若，，则的长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，则，，求出，由等腰三角形的性质可得，，结合含角的直角三角形的性质得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，，平分， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，线段和的垂直平分线交于点A，在和中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键；结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的内角和定理得，即可求解． 【详解】解：线段和的垂直平分线交于点A， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点 P 为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 8．如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 9．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 10．如图，在中，，为边上一点，连接，，将沿折叠至所在平面内的，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，可得，即可证明，从而推出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 将沿折叠至， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 第Ⅱ卷 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在中，按如图方式作图，若，的周长为9，则边的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明△的周长可得结论． 【详解】解：点在线段的垂直平分线上， ， △的周长， ， ． 故答案为：5． 12．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，，且的面积是24，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再由等腰三角形的性质，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵的面积是24， ∴， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8 14．如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在与中，，点在边上，过点作，交的延长线于点．若，的面积为，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用三角形的面积可求出，证明，可得，即得，得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 三﹑解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 18．如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，过点作的垂线，与的交点为点F，即可作答． （2）根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，进行分析再补充完整，即可作答． 【详解】（1）解：点如图所示 （2）证明：平分， ； ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； (2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，则点C关于y轴的对称点的坐标为； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 20．光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，的度数为；当时，的度数为 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角得，再由是直角可得结论； （2）①延长，交于点G，作，求出，由三角形内角和定理可得结论； ②当时，的度数为；当时，的度数为 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴, 故答案为： （2）解：①延长，交于点G，作 ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴, ∴ ②当时，， ∴，此时，与重合， 当时，， ∴ ∴， ∴， 即的度数为； 当时，如图， 同理可得， ∴ ∵， ∴， 即的度数为． 21．如图，点在的边上，，． (1)求证：； (2)交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据得到，根据，得到，进而根据即可证明； （2）过点作于点，由（1）知，，得到，，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作于点， ， 由（1）知，， ，， 又于点， ， 又，， ， ， ． 22．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解（1）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与相交于两点，即为所求． （2）连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴，   ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 23．完成下列问题： (1)【阅读理解】如图①，是等边三角形，是边下方一点，，求线段 之间的数量关系； 部分解题思路：延长到点，使得，连接，根据，证得，得出是等边三角形，从而求得线段之间的数量关系． 请根据以上思路，求出线段之间的数量关系； (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图②，在中，，是内部一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由等边三角形知，，结合知，由知，证得，，再证是等边三角形得． （2）过点B作，交的延长线于点H，证出，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，即， （2）解：过点B作，交的延长线于点H， ∵． ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 24．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段长度：________，________； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，； 故答案为：，； （2）解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ． ． 解得； 情况2：当时，， ． ， 解得． 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； （3）解：假设存在点为线段中点的情况． 过点作交于点． 是等边三角形，， 是等边三角形． ， ． ， ，． 是中点， ． ， ，． ，， ， 解得． 当时，． ， ． 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 25．在中，，，点在边上． (1)如图1，过点的垂线经过点，请用含的式子表示； (2)如图2，过点的垂线交的延长线于点，交于点，若且．求证：； (3)如图3，点在边上，满足，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于，可证，得到，，再由是等腰直角三角形可得，，即得，得到，即可得，得到，，再证明，得，即得，即可求证； （）过点作，取，连接，可证，得到，即得到，可知当、、三点共线时，的值最小；记此时点为点，再由得到，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ，， ，， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 即， ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ； （3）解：如图，过点作，取，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ， 当、、三点共线时，的值最小； 记此时点为点， ∵，，， ∴， ． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $寒假自查卷03第十五章轴对称 (考试时间：120分钟，分值：150分) 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.下列和平鸽的图标中，是轴对称图形的是() 鸡长边 2.在平面直角坐标系中，点P(-2,-5)与点Q(m,n关于x轴对称，则n的值为() A.5 B.-5 C.2 D.-2 3.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为12cm,则ABC的周长为 () A.12cm B.15cm C.18cm D.21cm 4.如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形， ABC是一个格点三角形，图中与ABC成轴对称的格点三角形共有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,∠E=∠EBC=60°，若BE=I2,EG=8,则BC的长 为() 第1页共9页 G B A.16 B.18 C.20 D.22 6.如图，线段BC和DE的垂直平分线交于点A,在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=36°，DB⊥EB, 则∠BEC=() E B A.124° B.126 C.128 D.130° 7.如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为点E,点P为线段 BD上一动点.若∠A=50°，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，则∠CPE的度数为() A.75° B.80° C.85° D.90° 8.如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，点E、F在AD上相异两点，若ABC的面积为 12cm2,则图中阴影部分的面积为()cm2. B A.12 B.10 C.8 D.6 第2页共9页 9.如图，等边三角形纸片ABC的边长为4Cm,点D,E分别在AC,BC上，将△CDE沿直线DE折叠， 点C落在点C处，且点C在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为() A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm 10.如图，在ABC中，AC=BC,D为BC边上一点，连接AD,∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠至 ABC所在平面内的△ADB',连接B'C,若∠ACB'=Q,则∠CAB的度数是() B A.30°-a B. 2 c.30-9 0.15+0 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.在ABC中，按如图方式作图，若AC=4,△ACD的周长为9，则边BC的长度为一 D米 12.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D,C分别落在点D,C的位置上，ED与BC交于 点G.若LEFG=56°，则LAEG的度数为 第3页共9页 13.如图，在ABC中，AB=AC,BC=6,且ABC的面积是24，AB的垂直平分线EF分别交AB,AC边 于点E,F,若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+MD的最小值为」 14.如图，在ABC中，AB=AC,∠ADC=60°，AD=4,BD=1.5,则CD=一 B D 15.如图，在ABC与ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点D在BC边上，过点A作 AF⊥CE,交CE的延长线于点F.若CE=3,△AEC的面积为7.5，则AF=一；EF=一 16,如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,在AC边上取一点D,连接BD,点E为线段BD上一点，以 BE为斜边作等腰Rt△BEF,连接AE、AF、CE,AF交BD于G,M为CE上一点，连接AM;在下列结 论中： ①∠EAD=∠ABD;②若AE垂直平分GD,则∠AFE+∠ABD=45°；③若AE垂直平分GD,则 AD+GF=AB;④若∠FAM=45°，则EC=2EM； E D 其中正确的结论有 (填写正确结论的序号) 第4页共9页 三、解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17.如图，在ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D,且点D在AB的垂直平分线上，若LC=3LB, 求∠ADC的度数. D B 18.如图，点D为∠ABC的角平分线上一点，DE垂直BC于点E.点G在射线EC上，且DB=DG· A D B E GO (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AB的垂线交AB于点F(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)： (2)在(1)所作的图形中，求证：BF=EG,请完成下面的证明过程. 证明：BD平分∠ABC, :DE⊥BC,DF⊥AB .∠DEB=∠DFB=90° 在ABED和△BFD中， ② ∠1=∠2 ③ ∴△BED≌BFD(AAS ④ :DB=DG,DE⊥BC ⑤ :BF=EG 19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别A-3,4),B(-4,1),C(-1,2). 第5页共9页 3 2 10 2345x (1)在图中作出ABC关于x轴的对称图形△A,B,C,并写出点C关于y轴的对称点C,的坐标： (2)点P为y轴上一动点，且使得△PAC周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）： (3)点F在x轴上，若S4or=S。4C,请直接写出点F的坐标： 20.光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点0垂直于反射面MN的 直线叫做法线0C.入射光线A0,反射光线OB和法线0C都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别 位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（∠AOC),反射光线与法线的夹角叫做反射角 (∠BOC):入射角等于反射角，这就是光的反射定律.请你利用反射定律解决以下问题： C,法线 入射光线、 ②反射光线 LLL4 LZZ22224424L∠ A B A 309 D E M M反射面 反射面 KW 图1 图2 图3 (1)如图2，入射光线A0经镜面MN反射后的光线与墙相交于点B,若∠A0B=110°，则∠BON=一： (2)如图3，将支架平面镜CD(可调节角度)放置在水平地面MN上，激光笔AB发出的光束BE经过镜面 CD反射后与天花板形成的点记为F,激光笔AB与水平天花板PQ所成的锐角为30°，支架平面镜与地面的 夹角LDCM=a(0°≤a<75). ①若α=20°，求反射光束EF与天花板所形成的角∠AFE的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点F不与点A重合(CD足够长).请直接写出反射光束EF 与天花板所形成的角∠AFE的度数（用含a的式子表示）和的取值范围. 21.如图，点D在ABC的BC边上，∠1=∠2=∠3，AE=AB. 第6页共9页 3入 D B (1)求证：△ADE≌△ACB; (2)AB交DE于点F,若AB⊥DE,求证：CD=2DF. 22.综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》)，这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马"问题： 将军从A地出发到河边1饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，A,B是直线1同旁的两个定点.在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最 小 【问题解决】作点A关于直线1的对称点A,连接A'B交1于点P,则点P即为所求.此时，PA+PB的值最 小，且PA+PB=A'P+PB=A'B. B M B A : N 图1 图2 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形，使△ABC的周长最小. (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C; (2)若(1)中的∠M0N=30°，0A=10,求△ABC的最小周长. 23.完成下列问题： P B D 图① 图② 第7页共9页 (1)【阅读理解】如图①，ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC=120°，求线段DA,DB,DC 之间的数量关系； 部分解题思路：延长 DC到点E,使得 CE=BD,连接AE, 根据 ∠BAC+∠BDC=180° ,证得△ABD≌ △ACE,得出ADE是 等边三角形，从而求得 线段DA,DB,DC之间 的数量关系 请根据以上思路，求出线段DA,DB,DC之间的数量关系； (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题， 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=I35°，求证： PA=2PC. 24.如图，等边ABC的边长为6Cm,点P在边AB上以每秒1cm的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在 射线BC上以每秒3cm的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒. P 0 →0 备用图 (1)用含t的式子表示线段长度：BP= cm,BQ=」 cm: (2)当t为何值时，BPQ为直角三角形： (3)若运动过程中，线段P9与边AC交于点M,请问是否存在点M为线段P9中点的情况？若存在，请求出 此时的t值和MC的长度；若不存在，请说明理由 25.在ABC中，AB=AC,∠BAC=,点D在AC边上. 第8页共9页 图1 图2 ☒3 (1)如图1，过点D的垂线经过点B,请用含a的式子表示∠DBC; (2)如图2，过点D的垂线交CB的延长线于点E,交AB于点F,若a=45°且DE=AC,求证：AF=2CD; (3)如图3，点K在AB边上，满足AK=CD,连接CK,BD,若AB=AC=6,当BD+CK取得最小值时， 直接写出AK的值. 第9页共9页