山东省泰安市2026年一轮复习方程与不等式专题----分式方程专项练习题

山东省泰安市2026年一轮复习方程与不等式专题----分式方程专项练习题 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 4．在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 6．某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（   ） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 8．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 9．已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 10．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 11．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 12．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（    ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 二、填空题 13．一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 14．若，则 ． 15．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 16．分式方程的解为 ． 17．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 18．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 三、解答题 19．解方程 (1)； (2)． 20．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 21．已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 22．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 23．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 24．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 2．B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 3．C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故选：． 5．C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是正确列出分式方程的关键．设原计划每天种植x万棵树，则实际每天种植万棵树，根据计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，结果提前5天完成任务，列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：B． 7．B 【分析】设小敏通过路段的速度是，则小敏通过BC路段的速度是，利用时间＝路程速度，结合小敏共用通过路段，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设小敏通过路段的速度是，则小敏通过路段的速度是， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小敏通过路段的速度是． 故选：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 8．D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 9．D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，当时，求得的值，最后根据时，原分式值为，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时分式无意义，即 ∴，故A正确， 当时，原分式值为0， ∴ 解得：，故B正确 ∴原分式为， ∵时，原分式值为， ∴，故C选项正确， ∵当时，分式的值为 ∴ 解得：，经检验，是原方程的解，故D选项不正确， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 11．D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 12．C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案． 【详解】解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴完成这项工程的规定日期是天； ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③． 故选：C． 13．30 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法． 设船在静水中的速度是，根据“轮船顺水航行所需要的时间和逆水航行所用的时间相同”可列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度是． 由题意得：． 解得． 经检验：是原方程的解． 即船在静水中的速度是． 故答案为：30． 14．6 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了解分式方程，熟练解分式方程的步骤是关键．去分母化为整式方程，解整式方程，并检验即可． 【详解】解： 去分母得到，． 解得，． 当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 18．2 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 19．(1)原方程无解． (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，且解出后必须检验． （1）先将分母转化为，确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程求解，最后检验； （2）先分解分母，确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程求解，最后检验． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 去括号， 合并同类项， 移项， 解得． 检验：当时，， 故是增根，原分式方程无解． （2）解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 去括号， 移项、合并同类项， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 20．任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 22．(1) (2)且 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）当时， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； （2）， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且， 即：且 【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． 23．(1)1200元 (2)购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多 【分析】（1）设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆，根据今年型车每辆售价今年型车的销量今年型车的销售额列关于的分式方程并求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设这批车获利元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取值时值最大，再求出此时的值即可． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 答：今年型车每辆售价1200元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆， 根据题意，得， 解得， 设这批车获利元， 则， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，则购进型车辆， 答：购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 24．(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $