精品解析：江苏宿迁市沭阳县2025～2026学年度第一学期期末学情检测 八年级数学

2025~2026学年度第一学期期末学情检测 八年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题有且只有一个正确选项，请将正确选项的序号填涂在答题纸相应的位置上） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，掌握实数的分类是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数，不能写作两整数之比），逐一判断各选项即可． 【详解】0是整数，属于有理数，故A不符合题意； 3.14是有限小数，属于有理数，故B不符合题意； 是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； 是分数，属于有理数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段， 第二步为作线段， 在与中， ， ∴， 故选：D． 4. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，由图形可得，一定没有被书本遮住的点在第二象限，再逐项分析即可得出结果，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，一定没有被书本遮住的点在第二象限， A、在第四象限，故不符合题意； B、在第二象限，故符合题意； C、在第一象限，故不符合题意； D、在第三象限，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图得一次函数与的图象交于点， 二元一次方程组的解是 ． 故选：B． 6. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 7. 一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BB 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，该货车匀速行驶时，行驶速度不变，由此即可得出结果． 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是B． 8. 如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 【详解】解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案填写在答题纸上） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 11. 已知函数，当______时，是的正比例函数． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，推出为含30度角的直角三角形，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点D为等腰底边上一点，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 15. 沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据四个三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：5． 16. 已知一次函数，当时，的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数求最值． 由于，函数值随的增大而减小，当时，时，取得最大值．据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数值随的增大而减小， ∴当时，在时，取得最大值． 代入 得 ， 即当时，的最大值是． 故答案为： 17. 如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，勾股定理， 先根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点E所表示的数是． 故答案为：． 18. 如图所示正方形的边长为16，为中点，连接，把沿翻折至，延长，交于点，连接．则下列结论正确的有__________．（填序号即可） ①；②；③；④；⑤ 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定等知识，熟悉相关性质的运用是解题的关键． 根据“”可证明，则①正确；根据翻折的性质及可得，则②正确；设，分别表示出，进而推出，即，则③错误；设，则，再在中，利用勾股定理即可得到，则④正确；利用内角和，可推出，即，则⑤正确． 【详解】在正方形中，， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； 设， 又， ， 在中，， 在中，， ， ，故③错误； ， ，设， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得:， ，故④正确； 点为中点， ， ， 在中，， ， 由三角形内角和定理得:， ， ， 即， ，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（本大题有10个小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求算术平方根，零指数幂等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，乘方，绝对值，再计算加减； （2）分别计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 21. 依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． （1）求出图1中的值； （2）求出图2中的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）根据立方根的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据平方根的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，的立方根是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的平方根是和， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． （2）的周长为48． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵为等边三角形，是中线， ∴， ∴的周长． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，求的面积； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为__________； （3）已知为轴上一动点，当最大时，在图中画出此时点的位置并直接写出点坐标． 【答案】（1） 作图如下，即为所作， （2） （3） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了描点，关于原点对称点的特征，点到两定点距离之差小于等于两点间的距离，掌握点到两定点距离之差小于等于两点间的距离是解题的关键． （1）描点，连线即可； （2）由关于原点对称点的特征，直接写出坐标即可； （3）根据点到两定点距离之差小于等于两点间的距离，即，则当最大时，延长线与轴的交点即为点，再求直线方程得到点坐标即可． 【小问1详解】 解：的面积为：； 【小问2详解】 解：关于原点对称后为， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 当最大时，延长线与轴的交点即为点， 设直线的解析式为， ，解得， 故直线的解析式为， 令，即，解得， 即点． 24. 如图，有一张三角形纸片，，，． （1）折叠该纸片，使点与点重合．请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕，其中点在边上，点在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求出的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的做法，作出线段的垂直平分线即可； （2）连接，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，数形结合． 25. 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53=( )2= ； （2）= ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225；（2）；（3）41 075 【解析】 【分析】（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得； （2）根据所给的各式，得到规律，即可求解； （3）先根据规律，可求出3+23+33+…+193+203和13+23+33+…+93+103，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）； （3）由（2）得， 113+123+133+…+193+203 =13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103) = =44 100－3 025 =41 075． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方． 26. 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． （1）点运动几秒时，两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； 【小问2详解】 解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 27. 沭阳县是苏北地区首个拥有完整快速路环线的县级城市．其城区快速路环线是沭阳作为“中等城市”培育的重要交通支撑． 沭阳快速路一期工程的总造价由固定费用与按里程增加的可变费用组成．已知每公里道路的造价为0.56亿元，另外还有一次性固定投入1.09亿元（用于前期勘测、工程设计等）．设快速路一期的长度为公里，总造价为亿元． （1）直接写出与之间的函数关系式． （2）如果沭阳快速路一期全长5公里，求一期工程的总造价（单位：亿元）． （3）若工程预算最多为亿元，问在此预算下最多能建设多少公里的快速路？ 【答案】（1） （2）亿元； （3）公里 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用． （1）根据一次性固定投入和道路的造价求和即可得到函数关系式； （2）把代入函数解析式即可求出答案； （3）根据题意列不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 解：设快速路一期的长度为公里，总造价为亿元． ∵每公里道路的造价为0.56亿元，另外还有一次性固定投入1.09亿元（用于前期勘测、工程设计等）． ∴ 即与之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：当时， 即一期工程的总造价为亿元； 【小问3详解】 根据题意可得， 解得， 答：在此预算下最多能建设公里的快速路． 28. 在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】如图1，为的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ，． 【解法探究】小明同学提出了不同的证明思路： （1）小明：我想在图1中可以取中点，连接，则__________，在中，由勾股定理推理得到． 请帮小明写出完整的证明过程． 【灵活运用】如图2，为的斜边上的高，． （2）求线段的长； （3）在图2中点从点出发，以的速度向点运动．在点的运动过程中，设点的运动时间为秒，的面积为，写出随着变化的函数表达式及自变量的取值范围； （4）在图2中当点从点运动到点的过程中，运动时间为多少时，的面积为？ 【答案】（1）, 证明：取中点，连接， ，， 在中，根据勾股定理，得， 即， ． 故答案为：； （2）； （3）当时，；当时，； （4）秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，一次函数与几何结合，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，再结合勾股定理、平方差公式即可得证； （2）由（1）知，再代入计算即可得到的长； （3）根据题意，，再结合三角形面积公式化简计算即可； （4）根据（3）的表达式代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ，，即， 解得； （3）解：首先，， 点从点出发，速度是，运动时间为秒， 则，那么， 的面积， 因为， 所以， 又因为从运动到，所以自变量的取值范围是， 当时，； 当时，； （4）解：当时，分两种情况讨论： 当时，，移项可得，解得； 当时，，移项可得，解得； 运动时间为秒或秒时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学情检测 八年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题有且只有一个正确选项，请将正确选项的序号填涂在答题纸相应的位置上） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 3.14 C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 4. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 7. 一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案填写在答题纸上） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 函数中，自变量的取值范围是_____． 11. 已知函数，当______时，是的正比例函数． 12. 将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 13. 如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则____________． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 15. 沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 16. 已知一次函数，当时，的最大值是__________． 17. 如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________． 18. 如图所示正方形的边长为16，为中点，连接，把沿翻折至，延长，交于点，连接．则下列结论正确的有__________．（填序号即可） ①；②；③；④；⑤ 三、解答题（本大题有10个小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 21. 依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． （1）求出图1中的值； （2）求出图2中的值． 22. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，求的面积； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为__________； （3）已知为轴上一动点，当最大时，在图中画出此时点的位置并直接写出点坐标． 24. 如图，有一张三角形纸片，，，． （1）折叠该纸片，使点与点重合．请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕，其中点在边上，点在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求出的长． 25. 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53=( )2= ； （2）= ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 26. 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． （1）点运动几秒时，两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 27. 沭阳县是苏北地区首个拥有完整快速路环线的县级城市．其城区快速路环线是沭阳作为“中等城市”培育的重要交通支撑． 沭阳快速路一期工程的总造价由固定费用与按里程增加的可变费用组成．已知每公里道路的造价为0.56亿元，另外还有一次性固定投入1.09亿元（用于前期勘测、工程设计等）．设快速路一期的长度为公里，总造价为亿元． （1）直接写出与之间的函数关系式． （2）如果沭阳快速路一期全长5公里，求一期工程的总造价（单位：亿元）． （3）若工程预算最多为亿元，问在此预算下最多能建设多少公里的快速路？ 28. 在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】如图1，为的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ，． 【解法探究】小明同学提出了不同的证明思路： （1）小明：我想在图1中可以取中点，连接，则__________，在中，由勾股定理推理得到． 请帮小明写出完整的证明过程． 【灵活运用】如图2，为的斜边上的高，． （2）求线段的长； （3）在图2中点从点出发，以的速度向点运动．在点的运动过程中，设点的运动时间为秒，的面积为，写出随着变化的函数表达式及自变量的取值范围； （4）在图2中当点从点运动到点的过程中，运动时间为多少时，的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $