精品解析：安徽省亳州市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（一模）

亳州市普通高中2025—2026学年度第一学期高三期末质量检测 数 学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算以及模的计算，可得答案. 【详解】． 故选：A. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，则， 又，所以． 故选：D. 4. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由可知，集合A中所有元素均属于集合B，可对的取值进行分类讨论，求出的可能值，再代入检验是否成立即可. 【详解】当时，可得，此时，又，不符合，故舍去； 当时，，此时，又，不符合，故舍去； 当，则，此时，，满足，符合题意. 综上所述：. 故选：A. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，可求得，再利用向量的基底表示法，即可求解. 【详解】由，得， 将坐标代入得，解得， 故， 设， 则解得 即． 故选：C 6. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举反例否定充分性，利用正弦定理并结合题意证明必要性即可. 【详解】对于充分性，设，，显然满足甲， 此时，不是钝角三角形，故充分性不成立； 对于必要性，若是钝角三角形，则，则， 由正弦定理可知，则必要性成立， 即甲是乙的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 7. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 8. 已知函数，，若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意与二倍角公式求出，即，再结合与图象的对称性求解即可. 【详解】令，得， 即，解得或． 若，则，， 与矛盾，故舍去，则， 结合，得，即， 由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象， 由于图象的一条对称轴为，则， 又由于图象的一个对称中心为，得到． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P在C的左支上，，，则（ ） A. B. C. C的离心率为5 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可求得的值判断A；利用勾股定理求得，可求离心率判断BC；作，垂足为H，进而计算可求得的值判断D. 【详解】由双曲线的定义，得， 结合得，，所以，故A正确； 因为，所以， 在中，由勾股定理得， 设双曲线的半焦距为c，则，， C的离心率，，故B错误，C正确； 作，垂足为H， 因为，所以，所以， 则，， 所以，故D错误． 故选：AC. 10. 在正三棱台中，，，则（ ） A. B. C. 直线与平面ABC所成的角与二面角互余 D. 二面角与二面角互余 【答案】ACD 【解析】 【分析】将正三棱台放入正方体中，利用正方体的性质逐项判断即可. 【详解】根据正三棱台的对称性，可知， 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，，再结合正三棱台的对称性，可知， 故正三棱台的三条侧棱两两垂直， 将正三棱台补全得到的正三棱锥正好是棱长为2的正方体的一个角，如图． 对于A，由平面，平面，可知，故A正确； 对于B，由图知，是正方体棱长一半，即，故B错误； 对于C，取的中点M，连接，易得直线与平面所成的角即为， 二面角的平面角为，在中，与互余，故C正确； 对于D，连接，二面角的平面角为，， 二面角的平面角为，， 因为，所以与互余，故D正确． 故选：ACD 11. 设m，n是不小于3的正整数，从1至m这m个正整数中随机抽取3个不同的数组成最大的三位数a（如：抽到数字1，2，3，组成的最大的三位数为321），从1至n这n个正整数中随机抽取3个不同的数组成最大的三位数b，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用组合数与古典概型，可得其正误；对于B，根据概率的加法公式，可得其正误；对于C，根据全概率公式，可得其正误；对于D，由C写出概率公式，利用函数与导数，可得其正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，易知，则，故B正确； 对于C，设事件{不含数字}，，， 又，由全概率公式，得，故C错误； 对于D，与C项同理得， 又，故， 要证，即证，只需证， 令，， 由函数在上单调递增，且，， 则当时，，可得函数在上单调递增， 由，则恒成立，即，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为F，A是C上一点，且位于第一象限，若，则点A的纵坐标为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用抛物线定义求出点的横坐标，再利用抛物线方程求出其纵坐标. 【详解】抛物线的准线，设，则 解得，所以. 故答案为：6 13. 已知函数，当时，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的性质分析即可． 【详解】当时，， 解得：或； 当时，， 解得：； 综上，成立时，， 所以， 所以当，时，取得最大值， 最大值为， 故答案为：. 14. 设直线与曲线，的交点分别为P，Q，与x轴、y轴的交点分别为M，N，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反函数的意义可得曲线，关于直线对称，设Q，P在x轴上的投影分别为A，B，，可得，构造函数，利用导数求得最小值即可. 【详解】如图，由函数，互为反函数，可知其图象关于直线对称， 则曲线，关于直线对称， 设Q，P在x轴上的投影分别为A，B，， 则，可得，即， 则，，则， 设函数，则， 当时，，当时，， 故的极小值点为，，即的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）记为的前n项和，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造等差数列递推来证明即可； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 因为，当时，根据，则，所以， 则由题意可得：， 即．所以是公差为2的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 由于， 所以． 16. 某乡村企业加工的水果玉米相关产品有A，B两个品种，为了解市场行情，该企业对这两个品种的食用满意度进行了问卷调查，共收集到300份评分数据，其中A品种200份，B品种100份，整理成如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点值，不包含右端点值）． （1）估计A品种所得评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）以及B品种所得评分的中位数（结果四舍五入保留整数）； （2）客户评分不低于60的记为“满意”，低于60的记为“不满意”，补充下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析A，B两个品种的食用满意度是否有差异． 满意 不满意 总计 A品种 200 B品种 100 总计 300 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）平均数为，中位数为 （2）列联表见解析，没有差异 【解析】 【分析】（1）由频率和为1可求得，利用频率直方图的平均数计算公式可求得A品种的平均数，利用中位数的意义可求得B品种所得评分的中位数； （2）完善列联表，计算的值可得结论. 【小问1详解】 （1）由，解得， 估计A品种所得评分的平均数为． 由，解得． 估计B品种所得评分的中位数为． 【小问2详解】 列联表如下： 满意 不满意 总计 A品种 180 20 200 B品种 95 5 100 总计 275 25 300 零假设：A，B两个品种的食用满意度没有差异． ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立，即认为A，B两个品种的食用满意度没有差异． 17. 如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是，的中点，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得线线垂直，根据面面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 平面，平面，， 平面，平面，， 又，BC，平面ABC，平面， 又平面，平面平面． 【小问2详解】 平面，． 以B为原点，为x轴，为y轴，过点B且与平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，． 平面AMP，，即，解得， ，则， ，． 设平面PBN的法向量为， 则即取， 同理，平面PBC的一个法向量为．． 设二面角的大小为，则， 即二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． （1）求C的方程． （2）过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用离心率设出参数，根据已知点的坐标，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立方程化简可得一元二次方程，利用向量坐标运算，可得答案；（ii）设出直线方程，联立方程化简可得一元二次方程，利用三角形面积公式以及基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设C的半焦距为． ，，．① 将点代入C的方程，得．② 联立①②，解得，，的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设O为坐标原点．当直线PQ与x轴重合时，． 当直线PQ不与x轴重合时，设直线PQ的方程为， 与C联立，得，易知， 设，，则，， 由，得， ，即． 又，． 则，，． 又点也满足上式，的方程为，即W为椭圆． （ⅱ）设，，直线的方程为， 与W联立，得， 由，得， 则，．易知， 由椭圆的对称性可知，所求的面积． 又， 设，则， 当且仅当，即时，取等号． ，即所求的四边形的面积最大值为． 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间上存在唯一的极小值点； （2）若不存在零点，求a的取值范围； （3）当有两个不同的零点，时，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，可得在上单调递增，，当时，，进而可得结论． （2）由（1）可知，的最小值为，其中满足，由题意可得，进而可得，，构造函数求得值域，可求得a的取值范围； （3）由等价于，令，变形可得，构造函数，求导研究函数的性质，由题意有两个不同的实数根，，进而要证，只需证对任意成立，构造函数，，求导可证结论． 【小问1详解】 的定义域为，求导得， 因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增． 又，当时，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得． 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增，因此是在上唯一的极小值点． 【小问2详解】 由（1）可知，的最小值为，其中满足． 若在定义域内不存在零点，则． 由，可得，即，故． 易知函数上单调递减， 又，要使得，即，必须有． 令，则， 当时，，故在上单调递增， 因为，所以（1），即， 则，故a的取值范围是． 【小问3详解】 由，可得，等价于． 令，则，所以，． 设，则， 易知在上单调递减， 又，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 有两个不同的零点，，等价于方程有两个不同的实数根，， 其中，． 不妨令，则由的单调性可知， 要证明，即，，即． 因为，所以，而，又在上单调递减， 只需证明，即证明对任意成立． 设，， 则． 构造函数求导可证，当且仅当时，等号成立， 所以当时，有，，所以， 因此，当时，恒成立，上单调递减， 所以当时，，即， 也即．故原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州市普通高中2025—2026学年度第一学期高三期末质量检测 数 学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 8. 已知函数，，若，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P在C的左支上，，，则（ ） A. B. C. C的离心率为5 D. 10. 在正三棱台中，，，则（ ） A. B. C. 直线与平面ABC所成的角与二面角互余 D. 二面角与二面角互余 11. 设m，n是不小于3的正整数，从1至m这m个正整数中随机抽取3个不同的数组成最大的三位数a（如：抽到数字1，2，3，组成的最大的三位数为321），从1至n这n个正整数中随机抽取3个不同的数组成最大的三位数b，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为F，A是C上一点，且位于第一象限，若，则点A的纵坐标为________． 13. 已知函数，当时，，则的最大值为________． 14. 设直线与曲线，的交点分别为P，Q，与x轴、y轴的交点分别为M，N，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知数列中，，． （1）证明：等差数列； （2）记为的前n项和，求数列的前n项和． 16. 某乡村企业加工的水果玉米相关产品有A，B两个品种，为了解市场行情，该企业对这两个品种的食用满意度进行了问卷调查，共收集到300份评分数据，其中A品种200份，B品种100份，整理成如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点值，不包含右端点值）． （1）估计A品种所得评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）以及B品种所得评分的中位数（结果四舍五入保留整数）； （2）客户评分不低于60的记为“满意”，低于60的记为“不满意”，补充下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析A，B两个品种的食用满意度是否有差异． 满意 不满意 总计 A品种 200 B品种 100 总计 300 附：． 0.050 0010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是，的中点，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． （1）求C的方程． （2）过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间上存在唯一的极小值点； （2）若不存在零点，求a的取值范围； （3）当有两个不同的零点，时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $