2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷2

2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：高考全部内容. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 , ,则 A. B. C. D. 2. 已知非零复数 满足 ,则 的虚部为 A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则下列结论不正确的是( ) A． B． C． D．在上的投影向量为 4. 已知圆锥的母线与底面所成的角为 ,表面积为 ,则该圆锥的体积为 A. B. C. D. 5. 记等比数列的前项和为，已知，，则( ) A． 15 B． 14 C． 13 D． 12 6. 已知ex－2y>lny－x＋ln2，则 (　　) A． x>2y B． x<2y C． x>ln2y D． x<ln2y 7. 已知函数 ,则不等式 的解集为 A. B. C. D. 8. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,以坐标原点 为圆心、 为半径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ,直线 与 的左支交于点 ,若 ,则 的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的是( ) A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B．样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为16 C．数据，，，，，，，，，的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 1,分别过 上的 两点作切线,两切线相交于点 ,则下列结论正确的是 A. 若线段 的中点为 ,则 轴 B. 若直线 过点 ,则点 到 轴的距离为 C. 若 ,则 D. 若直线 的斜率为 1,则点 的轨迹是直线 11. 已知函数 是定义在 上的奇函数, 为 的导函数, ,且 ,则 A. B. C. D. 三、填空题 ：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12.已知随机变量服从正态分布.若，则=_______. 13. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 , ,则 _____。 14. 已知 ,且 ,则 _____。 四、解答题 ：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中,角 所对的边分别为 。 (1)求 ； ( 2 )若 ， 为 的中点，则当 的长取得最大值时，判断 的形状。 16.如图,在四棱锥 中,底面 满足 底面 , 且 . （1）求四棱锥 的体积； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 17.已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围； （3）设时，证明：． 18.已知椭圆 的焦距为 为 的右焦点, 为坐标原点,过 且垂直于 轴的直线与 交于 两点 在 的上方),且 的面积为 。 (1)求 的标准方程。 (2)过点 且斜率存在的直线 与 交于不同的两点 ( 在 的左侧)。 (i) 证明: 直线 与 的斜率之差的绝对值为定值; (ii)设直线 与 轴分别交于点 , 且直线 相交于点 ,证明: 的面积为定值。 19. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,,,,,),例如:,对应,,,,,. 现对任意,定义莫比乌斯函数 (I)求,; (II)若正整数,互质,证明:; (III)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,,,,证明:. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷2 参考答案 1． 【答案】C 【解析】由 ,得 ,故 , 因此 ,故选 C。 2.【答案】D 【解析】 因为 ,且 ,所以 ,即 。 设 且 不同时为 0 ),则 ,解得 , 则 的虚部为 ,故选 3．【答案】A 【解析】【解析】易知，显然，故A错误； 易知：， 故B正确； 易知，故C正确； 在上的投影向量，故D正确. 4． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为 ,高为 ,母线为 ,则由题意得 ,解得 ,所以 , 所以该圆锥的体积 ,故选 B。 5． 【答案】A 【解析】【解析】因为数列为等比数列，则， 可得，解得或， 若，则公比， 可得，所以； 若，则公比， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 6． 【答案】C 【解析】由ex－2y>lny－x＋ln2，得ex＋x>2y＋ln 2y，即ex＋x>eln 2y＋ln2y. 令f(x)＝ex＋x，且f(x)＝ex＋x在R上单调递增，所以x>ln2y. 7． 【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,令 ,则 ,所以 为奇函数. 易知 因为 (当且仅当 ,即 时等号成立), (当且仅当 ,即 时等号成立), 所以 ,所以 在 上单调递增。 由 ,得 ,故 , 所以 ,(另解: 也可根据 , 将 转化为 , 再通过研究函数 的单调性,得到 ) 即 ,解得 故选 B。 8．【答案】D 【解析】设 的焦距为 ,由题知 , 又点 在 的渐近线 上,所以 ,可得 。 因为 ,所以 ,设 ,则 ,得 ,又点 在 上,所以 ,得 ,得 ,则 ,得 的离心率 。 9.【答案】ABD 【解析】对于，因为样本的方差，所以这个样本有20个数据，平均数是，所以这组样本数据的总和为正确； 对于，已知样本数据，，，的标准差为， 则，数据，，，的方差为， 所以其标准差为，故正确； 对于，数据，，，，，，，，，共10个数， 从小到大排列为，，，，，，，，，， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故C错误； 对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为， 则，，故D正确．故选ABD． 10. 【解析】选项 A: 设 ,因为 的焦点 到其准线的距离为 1, 所以 的方程为 ,故 ,所以 , 易知 , ,所以切线 的方程为 ,即 ,同理,切线 的方程为 ,两方程联立并求解,得 , 又线段 的中点 的横坐标为 ，故 轴， 正确。 选项 B:因为直线 过点 ，故可设直线 的方程为 ，代入 ， 得 ,则 , 将 代入 ,得 ,所以点 到 轴的距离为 3, B 错误。 选项 C: 若 ,则 得 ,故 , 又 ,所以 ,又 , 所以 ,所以 正确。 选项 D: 若直线 的斜率为 1,则可设直线 的方程为 ,代入 , 得 ,故 , 由 ,得 ,又 , , 所以点 的轨迹不是直线 , D 错误。 11．【答案】BC 【解析】选项 A: 对于 ,令 , 得 ,即 。 因为 ,所以 , 又 ,所以 ,因为 为奇函数,所以 为偶函数, 所以 ,故 错误; 选项 B : 令 ,则 ①, 所以 , 所以 ②, 由①-②得 , 所以 , 所以 3 是 的一个周期,故 ,故 B 正确; 选项 C: 因为 , 所以 ,故 C 正确; 选项 D: 易知 3 是 的一个周期,所以 , 在①中,令 ,得 , 所以 ,所以 , 所以 ,故 错误。 12.【答案】0.28 【解析】由题可得：; 故答案为： 13.【答案】 【解析】由 ,得 ,所以 , 所以数列 的公差 ,所以 . 14.【答案】 【解析】由题可得 ①, 由 ,得 , 所以 ②, ①+②得 ,得 。 因为 ,所以 ,所以 ,即 。 15.解: (1)由 , 得 , 即 。 所以 ,又 ,所以 。 利用正弦定理得 , 即 ,即 , 又 0,所以 ) 因为 ,所以 。 (2)由 是 的中点,得 , 所以 . 两边同时平方得 。 由余弦定理及已知条件可得 , 所以 。 又 , 所以 ,所以 ,当且仅当 时, 取得最大值 , 此时 为等边三角形。 16． 解： (1) 直角梯形 的面积为 , 四棱锥 的体积 (2)建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 则 , . 底面 , 平面 , 向量 是平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为 , 由 ,且 ,可得 令 , 则 , 面 与面 的夹角的余弦值为 . 17. 解：（1）当时，，， 则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以． 由不等式恒成立，得恒成立， 即在时恒成立， 令，，则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以的最大值为， 所以，即实数b的取值范围是． （3）解：由（2）知，在上恒成立， 当，时，在上恒成立， 取，由得，即， 则， 所以，，…，， 上式相加得，， 所以． 又因为当时，， 所以． 18.解:(1)设 的焦距为 ,由题知 ,则 。 得到 ,得到 3 (2 分) ,则 。 根据对称性得 ,所以点 , 所以 ,又 ,所以 ,(4 分) 所以 的标准方程为 。 (2)(i)由(1)知 。 设 , 联立 与 的方程得 ,化简整理得 , 则 ,(7 分) 。 故直线 与 的斜率之差的绝对值为定值 1 。(9 分) (ii) 设 ,则由 (i) 可知 ,所以 , 因此点 在定直线 上,所以 。(11 分) 直线 ,令 ,得 ,则 。 (13 分) 直线 ,令 ,得 ,则 , 所以 。 (15 分) 所以 ,所以 的面积为定值 8 。 (17 分) 19.【解析】解：(I)因为,所以. ,因为5的指数,所以. (II)(1)若或,因为,所以. (2)若,且存在质数,使得或的质因数分解中包含, 则的质因数分解中一定也包含,所以. (3)若,且不存在(2)中的,可设,,其中,,,,,,,均为质数, 则. 因为互质,所以,,,,,,,互不相等, 所以. 综上,. (III)因为,所以可设为偶数. 的所有因数,除了1之外都是,,,中的若干个数的乘积, 从个质数中任选个数的乘积一共有种结果, 所以 ， 所以. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $