2026年山东省济南市中考数学自编模拟试卷 （二）

保密★启用前 山东省济南市中考数学模拟试题（二） 试卷总分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 2．（4分）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56用科学记数法表示为(　　) A.1.56×10-5 B.0.156×10-5 C.1.56×10-6 D.15.6×10-7 4．（4分）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 6．（4分）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA，若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．50° B．120° C．130° D．140° 8．（4分）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 9．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为； ④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2． 其中，所有正确结论个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。 11．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 12．（4分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 13．（4分）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度． 14．（4分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 13题 14题 15题 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为　 　 cm． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：． 17.（7分）求不等式组：的所有整数解． 18．（7分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 19．（8分）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积． 21．（9分）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，A＝8.5环，B＝　 　 环，可以看出，B （填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，1.75，　 　 ，可以看出，B （填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填　 　 环，②处应填　 　 环，③处应填　 　 环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数　 　 选手B射击成绩的中位数（填＞，＜或＝），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 m25 m50 m75 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3） 请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 22．（10分）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 23．（10分）如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点． （1）求出直线AC对应的函数表达式； （2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集． 24．（12分）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176． 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）； （2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）． 25．（12分）【问题呈现】 如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的数量关系　　 ； 【类比探究】 （2）如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cos54°≈0.59，cos72°≈0.31）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若P是正十边形A1A2⋯A10外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为 　 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省济南市中考数学试卷(二) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 答案A． 解：4的相反数是﹣4． 故选：A． 2．（4分）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（　　） A． B． C． D． 答案C 解：由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽大于圆柱底面直径相等， 符合这一条件的是C选项几何体， 故选：C． 3．（4分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56用科学记数法表示为(　　) A.1.56×10-5 B.0.156×10-5 C.1.56×10-6 D.15.6×10-7 答案　C 解：0.000 001 56＝1.56×10-6． 故选：C． 4．（4分）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 答案C 解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故是轴对称图形，故正C确； D．不是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 5．（4分）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 答案A 解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 6．（4分）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 答案B 解：A．∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为x＞2，故此选项不符合题意； B．∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意； C．判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为x＜﹣1，故此选项不符合题意； D．判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（4分）如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA，若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．50° B．120° C．130° D．140° 答案 C 解：由条件可知∠CDO＝90°，∠O＝∠EDB＝40°， ∴∠ACD＝∠CDO+∠O＝90°+40°＝130°； 故选：C． 8．（4分）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 答案 C 解：摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球， ∴至少有1个球是红球， 故选：C． 9．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 答案A 解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线， ∴∠BAG＝∠DAG． ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB＝6， ∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4． 故选：A． 10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为； ④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2． 其中，所有正确结论个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案 B 解：由图象和题意可知：a＞0，， 当x＝0时，y＝c＝2， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0，abc＞0；故①错误， 当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c， ∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2， ∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确； 作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A， 则：O'（﹣2，0）， ∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长， ∵A（0，2）， ∴， ∴OP+AP的最小值为，故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0， ∴， ∴点（x2，y2）离对称轴远， ∴y1＜y2，故④正确； 所以正确的结论：②③④，共3个． 故答案为B 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。 11．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 答案80°． 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°﹣50°×2＝80°， ∴顶角为80°． 故填80°． 12．（4分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 答案 解：把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品分别记为A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种， ∴甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是， 故答案， 13．（4分）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度． 答案 36． 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°， 在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°， ∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF ＝180°﹣72°﹣72° ＝108°﹣72° ＝36°． 故答案为：36． 14．（4分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 答案． 解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2相交于点A（4，6）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为　　 cm． 答案． 解：如图，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm，连接BD交AC于J， ∴∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3， DJ＝BJ＝AJ•tan30°， 设运动时间为t，则AM＝t，，，即， ∴△ADM∽△CAN， ∴∠ADM＝∠CAN， ∴∠APM＝∠DAP+∠ADM＝∠DAP+∠CAN＝30°， ∴∠APD＝180°﹣30°＝150°， 作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK，DK， ∴，∠AOD＝60°，， ∴∠AKD+∠APD＝180°， ∴P在⊙O上，且在弧AD上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：． 解：原式＝3﹣1+4 ＝3﹣1 ＝6． 17.（7分）求不等式组：的所有整数解． 解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 18．（7分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD＝5， ∴∠D＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD＝5， ∴BF＝BC+FC＝5+5＝10． 19．（8分）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 解：设PH＝x万千米， ∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′， ∴BH， ∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′， ∴AH， ∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米）， ∴， 解得x≈38， 即PH≈38（万千米）， 答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米． 20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积． （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CBD＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：连接OD， ∵∠CAB＝30°，AB＝4， ∴∠DOB＝2∠CAB＝60°，OD＝OBAB＝2， ∴S扇形OBD， ∴扇形OBD的面积为． 21．（9分）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，A＝8.5环，B＝　 　 环，可以看出，B （填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，1.75，　 　 ，可以看出，B （填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填　 　 环，②处应填　 　 环，③处应填　 　 环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数　 　 选手B射击成绩的中位数（填＞，＜或＝），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 m25 m50 m75 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 解：（1）9， ∵9＞8.5， ∴B的平均成绩略高； [（10﹣9）2×3+（9﹣9）2×2+（8﹣9）2×3]＝0.75， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；B：0.75；B； （2）选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为7.5，即m25＝7.5； 则中位数为9，即m50＝9， 选手B的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为10， 可以发现选手A射击成绩的中位数＝选手B射击成绩的中位数， 故答案为：7.5；9；10；＝； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 22．（10分）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 23．（10分）如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点． （1）求出直线AC对应的函数表达式； （2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集． 解：（1）把A（m，1）代入得m＝﹣6， ∴点A的坐标为（﹣6，1）， 把C（3，n）代入， 得n＝4， ∴点C的坐标为（3，4）， 把点（﹣6，1）和（3，4）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线AC对应的函数表达式； （2）由作图可得DA＝DC，即DA2＝DC2， 设点D的坐标为（0，d）， 则62+（1﹣d）2＝32+（4﹣d）2， 解得d＝﹣2， ∴DA2＝DC2＝62+（1+2）2＝45，AC2＝（3+6）2+（4﹣1）2＝90， ∴DA2+DC2＝AC2， ∴△DAC是等腰直角三角形； （3）令x+3， 解得x1＝﹣6，x2＝﹣3， 由图象可得关于x的不等式的解集为x＜﹣6或﹣3＜x＜0． 24．（12分）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176． 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）； （2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）． 解：（1）过点M作MP⊥l， ∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米， ∴∠MNP＝10°，MP＝0.27， ∵MP⊥l，sin10°≈0.174， 在Rt△MNP中，，， ∴（米）； （2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0）， ∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米， ∴B（5，﹣2.4）， 把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2， 得﹣2.4＝25a， ∴a， ∴yx2； （3）车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米， ∴10÷2﹣1＝4， ∴当x＝4时，， 则OG＝1.536， ∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864， 限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564 （米）， ∵涉及安全问题， ∴h＝3.564≈3.5（米）． 25．（12分）【问题呈现】 如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的数量关系　　 ； 【类比探究】 （2）如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cos54°≈0.59，cos72°≈0.31）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若P是正十边形A1A2⋯A10外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为PA1+PA3＝2PA2•sin72°　 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 解：（1）， 如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q， ∵∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，∠QA3A2+∠A2A3P＝180， ∴∠A2A1P＝∠A2A3Q， 又∵四边形A1A2A3A4是正方形， ∴A2A1＝A2A3， ∴△QA3A2≌△PA1A2， ∴∠A1A2P＝∠A3A2Q，A2P＝A2Q， 又∵四边形A1A2A3A4是正方形， ∴∠A1A2A3＝90°， ∴∠PA2Q＝90°， ∴△A2PQ是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：PA2； （2）正五边形的一个内角为， 如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A作AT⊥PQ于点T， 同理可得△QA3A2≌△PA1A2， ∴∠PA2Q＝∠A1A2A3＝108°，A2P＝A2Q， ∴， ∵PA1＝11，PA3＝49， ∴PQ＝PA3+A3Q＝PA3+PA1＝60， ∴， ∴； （3）如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q过点A2作A2T⊥PQ于点T， 同理可得， ∴， ∴A2T＝PA2cos72°， ∵2PT＝PA3+PA1， ∴PA2cos72°， ∴PA1+PA3＝2PA2•sin72°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $