2026年山东省济南市中考数学自编模拟试题（一）

保密★启用前 山东省济南市中考数学模拟试题（一） 试卷总分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作（　　） A．﹣3m B．+3m C．﹣5m D．+5m 2．（4分）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）截至2026年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为（　　） A．16.4×107 B．0.164×109 C．1.64×108 D．1.64×109 4．（4分）数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 6．（4分）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 8．（4分）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。 11．（4分）如图，∠1的度数为 　 　 ． 12．（4分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为　 　 ． 13． （4分） 如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 　 ． 14． （4分）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　　 ． 15．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上，连结BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论： ①∠OCP＝∠OBE； ②OE＝OP； ③当CE＝CB时，BP＝EF； ④点A与点F之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：|21|（π﹣2028）0． 17.（7分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 19．（8分）“神舟二十号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m． （1）求A、C两点之间的距离； （2）求OD长． （结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24） 20．（8分）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 21．（9分）2026年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 51≤x＜61 a 5% 第2组 61≤x＜71 10 m 第3组 71≤x＜81 15 15% 第4组 81≤x＜91 40 40% 第5组 91≤x＜101 b n 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　 　 ，n＝　 ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第　 　 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 22．（10分）2026年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 23．（10分）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 25．（12分）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．【探究感悟】 如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A1恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是　　 ； 【深入探究】 小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A1恰好落在边BC上，记A1D1（D1为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD1，小明再次发现：线段EF与AD1的长度之和存在最小值，请求出此时线段CG的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 山东省济南市中考数学模拟试题（一） 试卷总分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作（　　） A．﹣3m B．+3m C．﹣5m D．+5m 答案B． 解： 如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作+3m． 故选：B． 2．（4分）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 答案 A 解：从正面看，可得图形如 A所示． 故选：A． 3．（4分）截至2026年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为（　　） A．16.4×107 B．0.164×109 C．1.64×108 D．1.64×109 答案C． 解：1.64亿＝164000000＝1.64×108． 故选：C． 4．（4分）数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 答案 B 解：A 是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误； B 左右折叠对称是轴对称图形，将图形旋转180°后与原来图形重合，故是中心对称图形，故B正确； C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D错误； 故选：B． 5．（4分）知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 答案A 解：∵m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n， ∴33m＝3n， ∴3m＝n， 故选：A． 6．（4分）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案A 解：∵点P（1﹣2a，a）在第二象限， ∴， 解得：a； 故选：A． 7．（4分）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 答案 D 解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°， 得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°， 得∠3＝24°． 故选：D． 8．（4分）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 答案 C 解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． 9．（4分）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案B 解：由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN， ∴PA垂直平分线段MN，故②正确， ∴PA平分MPN，故③正确， 无法判断△AMN，四边形AMPN是菱形，故①④错误． ∵PM＝PN，AP⊥MN， ∴MO＝ON， ∴cos∠MPN，故⑤正确． 故选：B． 10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案D 解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。 11．（4分）如图，∠1的度数为 　 　 ． 答案 100°． 解：∠1＝45°+55°＝100°． 故答案为：100°． 12．（4分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为　 　 ． 答案 解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果， ∴灯泡能发光的概率为：， 故 答案 13． （4分） 如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 　 ． 答案 20° 解：延长FA与直线b交于点H， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠2＝∠H， ∵a∥b， ∴∠3＝∠H， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°， 若∠1＝40°，则∠2的度数是20°． 故∠2的度数是20° 14． （4分）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　　 ． 答案． 解：当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n， ∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上， ∴m＝﹣2n， ∴， 15．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上，连结BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论： ①∠OCP＝∠OBE； ②OE＝OP； ③当CE＝CB时，BP＝EF； ④点A与点F之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 答案 ①②④． 解：∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD， ∵CF⊥BE， ∴∠COP＝90°＝∠BFP， ∵∠CPO＝∠BPF， ∴∠OCP＝∠OBE，故①符合题意； ∵∠COP＝90°＝∠BOE，OC＝OB， ∴△COP≌△BOE（ASA）， ∴OP＝OE，故②符合题意； 当CE＝CB时，CF⊥BE， ∴EF＝BF，∠BFP＝90°， ∴BP＞BF＝EF， 故③不符合题意； 如图，取BC的中点R，连接AF，RF， ∵∠CFB＝90°， ∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上， 当A，F，R共线时，AF最小， ∵AB＝BC＝4， ∴RF＝RB＝2， ∴， ∴， ∴点A与点F之间的距离的最小值为， 故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：|21|（π﹣2028）0． 解：原式 （7分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：3x﹣6＜x+2， 2x＜8， x＜4， ∴﹣2＜x＜4， 18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF． 19．（8分）“神舟二十号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m． （1）求A、C两点之间的距离； （2）求OD长． （结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24） 解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E， 在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°， ∵sin∠ABE，cos∠ABE， ∴0.60，0.80， ∴AE＝3m，BE＝4m， ∴CE＝6m， 在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m． （2）过点A作AF⊥CD，垂足为F， ∴FD＝AO＝1m， ∴CF＝5m， 在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m． ∴OD＝24.5m． 20．（8分）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 解：（1）CD与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠ABC＝∠BCD＝60°， ∴∠OCD＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD与⊙O相切； （2）如图，过点O作OH⊥BC于H， ∵OB＝OC＝2，∠OCB＝30°， ∴OH＝1，BH＝CH， ∴BC＝2， ∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△BOC21． 21．（9分）2026年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 51≤x＜61 a 5% 第2组 61≤x＜71 10 m 第3组 71≤x＜81 15 15% 第4组 81≤x＜91 40 40% 第5组 91≤x＜101 b n 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　 　 ，n＝　 ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第　 　 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 解：（1）总人数＝40÷40%＝100（人）， ∴a＝100×5%＝5（人），b＝100﹣5﹣10﹣15﹣40＝30（人）， m10%，n30%． 直方图如图所示： 故答案为：10%，30%； （2）中位数处于第4组的分数段内； 故答案为：4； （3）3000×30%＝900（人）． 答：估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数为900人 22．（10分）2026年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元； （2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯， 根据题意得：w＝60m+80（40﹣m）＝﹣20m+3200， ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m（40﹣m）， ∴m≤10， ∴当m＝10时，w取得最小值，此时40﹣m＝40﹣10＝30（盏）． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 23．（10分）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标． 解：（1）由题意可知，点A（m，6）在一次函数y＝2x+4的图象上，则 6＝2m+4，解得m＝1， ∵点A（1，6）在反比例函数的图象上， ∴，解得k＝6， 则m＝1，k＝6； （2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图， 则∠AME＝∠AND＝90°， ∴ME∥ND， ∴△MAE∽△NAD， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵xD＝4，xA＝1， ∴DN＝3， 则，解得ME＝1， ∴xE＝1+1＝2， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数y＝2x+4的图象与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∵CM＝1， ∴M（0，3）， 过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图， 则∠AGC＝∠CKP＝90°， ∵∠GAC+∠ACG＝∠ACG+∠PCK＝90°， ∴∠GAC＝∠PCK， ∵∠BAN＝45°， ∴△ACP为等腰直角三角形， ∴AC＝CP， 则△GAC≌△KCP（AAS）， ∵点A（1，6），C（0，4） ∴AG＝CK＝1，CG＝PK＝2， ∵CM＝1， ∴点M与点K重合，OM＝3， ∴点P（2，3）， 设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ，解得， ∴y＝﹣3x+9， 设点N（m，﹣3m+9）， ∵四边形OMDN是平行四边形， ∴xD＝0+m﹣0＝m，yd＝3﹣3m+9＝﹣3m+12， 则D（m，﹣3m+12）， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 解：（1）①∵A（3，3）为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②因为正比例函数y＝kx经过点A（3，3）， ∴3k＝3， ∴k＝1， ∴正比例函数表达式为y＝x， 设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，PD， ∴PC＝PD﹣CD ， ∴当t时，线段PC的长度取得最大值； （2）∵二次函数y＝ax2+bx经过点A（3，3）， ∴9a+3b＝3，即b＝1﹣3a， 令ax2+bx＝0， 解得x1＝0，， ∵二次函数与x轴的一个交点为B（m，0），m＞4， ∴m， ∴， ∵a＜0， ∴b＞﹣4a， ∴1﹣3a＞﹣4a，a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0． 25．（12分）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．【探究感悟】 如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A1恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是　8﹣4　 ； 【深入探究】 小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A1恰好落在边BC上，记A1D1（D1为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD1，小明再次发现：线段EF与AD1的长度之和存在最小值，请求出此时线段CG的长． 解：【探究感悟】∵正方形ABCD，边长为4， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∠DBA＝45°， ∴， 由折叠可知∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝4， ∴∠BA1E＝90°，， ∵∠DBA＝45°， ∴△A1EB为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：8﹣4； 【深入探究】①当A1C＝BC时，如图，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G， 则四边形ADFG为矩形， ∴DF＝AG，FG＝AD＝4， ∵BC＝CD， ∴A1C＝CD， 又∵折叠， ∴AD＝A1D，∠DA1E＝∠A＝90°， ∴A1C＝CD＝A1D， ∴△A1CD为等边三角形， ∴∠DA1C＝60°， ∵A1F⊥CD， ∴30°，， ∴，∠GA1E＝180°﹣∠DA1E﹣∠DA1F＝60°， ∴， 在Rt△A1GE中，EG， ∵AG＝DF＝2， ∴BG＝AB﹣AG＝2， ∴BE＝BG+EG； ②当A1C＝A1B时，如图：作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，作A1H⊥BC于点H， 则，四边形CFA1H为矩形，四边形BGFC为矩形， ∴AF＝CH＝2，BG＝CF，FG＝BC＝4， ∴A1G＝FG﹣A1F＝2， 在Rt△A1FD中，， ∴∠A1DF＝30°， ∴∠FA1D＝60°，， ∴，∠EA1G＝180°﹣∠DA1F﹣∠DA1E＝30°， 在Rt△A1GE中，EG， ∴BE＝BG+EG＝4， 综上：； 【拓展延伸】连接AA1，A1D，A1D交AD1于点O，作FK⊥AB，则四边形ADFK为矩形， ∴FK＝AD＝AB，∠FEK+∠KFE＝90°， 由折叠可知AE＝A1E，A1D1＝AD，AA1⊥FE，∠GA1E＝∠DAB＝90°，OA＝OA1，OD＝OD1， ∴∠A1AB+∠FEA＝90°，A1D＝AD1， ∴∠BAA1＝∠KFE， 又∵∠FKE＝∠ABC＝90°，FK＝AB， ∴△EFK≌△A1AB（AAS）， ∴EF＝AA1， ∴EF+A1D＝AA1+A1D， 作点A关于BC的对称点A'，连接A1A'，连接A'D交BC于点M， 则A'B＝AB＝CD，A1A'＝AA1， ∴EF+A1D＝AA1+A1D＝A'A1+A1D≥A'D， ∴当点A1在A'D上时，即点A1与点M重合时，EF+A1D＝A'D值最小； 如图： ∵∠DCA1＝∠A'BA1＝90°，∠CA1D＝∠BA1A'，A'B＝CD， ∴△CDA1≌△BAA1（ASA）， ∴CA1＝BA1， ∴A1为BC的中点， ∴， 设AE＝A1E＝x， 则BE＝AB﹣AE＝4﹣x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理，得：x2＝22+（4﹣x）2， 解得， ∴， ∴BE＝AB﹣AE， ∴∠ABC＝∠C＝90°＝∠GA1E， ∴∠BEA1＝∠CA1G＝90°﹣∠BA1E， ∴△EBA1∽△A1CG， ∴，即， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $