精品解析：浙江杭州市临平区2025-2026学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2025学年第一学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，下列四个选项中，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据盖住的点是第二象限的点，然后根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：小手盖住的点是第二象限的点， A．在第一象限，故本选项不符合题意； B．在第二象限，故本选项符合题意； C．在第三象限，故本选项不符合题意； D．在第三象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（ ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A. 金额是常量 B. 加油量是常量 C. 单价是常量 D. 单价是变量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题关键．根据加油过程中各量的变化情况进行判断即可． 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式两边加或减同一个数或式子不等号方向不变、乘或除以同一个正数不等号方向不变的性质，逐一判断选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴根据不等式性质，不等式两边同时加，不等号方向不变，得，故该选项成立，符合题意； 、由，，无法确定与的大小关系，故该选项不一定成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式性质，两边同时乘正数，不等号方向不变，得，故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，得，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再结合，即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵点是的平分线上一点，于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（ ） A. 小杭和小州都对 B. 小杭对，小州错 C. 小杭错，小州对 D. 小杭和小州都错 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 7. 下列不等式组的解为的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，需根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，分别计算各选项不等式组的解集，再与题目给定解集对比即可． 【详解】解：A选项：，解集为，不符合要求； B选项：，解集为，不符合要求； C选项：，解集为，不符合要求； D选项：，解集为，符合要求． 故选：D． 8. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（ ） A. 将点向右平移7个单位 B. 将点向右平移5个单位 C. 将点向右平移1个单位 D. 将点向右平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的平移，坐标与图形—轴对称，根据点的坐标的平移法则，并结合轴对称的性质逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，， ∴这四个点在同一条水平直线上，且点和点关于轴对称， A、将点向右平移7个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，从而可使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，符合题意； B、将点向右平移5个单位，得到，即，此时点与点不关于轴对称，故不符合题意； C、将点向右平移1个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； D、将点向右平移2个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； 故选：A． 9. 已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 随的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，结合已知条件和一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故本选项错误． B、∵一次函数中，， ∴随的增大而增大，故本选项错误． C、∵一次函数的图象过点， ∴当时，， ∴方程的解是，故本选项正确． D、∵随的增大而增大，且当时，， ∴当时，， 即不等式的解集是，故本选项错误． 故选：C． 10. 如图，在中，，点在上，连结，将沿折叠，点的对称点为，与交于点，设为，，关于的函数图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 当为等腰三角形时， D. 当点为中点时， 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得当时，，当时，，由折叠的性质得，，即可判断选项A、B；当为等腰三角形时， 当时，当时，由等腰三角形的性质即可判断选项C；由直角三角形的特征得，，即可判断选项D． 【详解】解：由图象得 当时，， 当时，， 时，， 时，， 由折叠得， ， ， 故选项A、B错误； 当为等腰三角形时， 当时，， ， ， 当时， ， ， ， 或， 故选项C错误； 点为中点， ， ， ， ， ， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的特征等；能根据图象进行求解是解题关键． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离．点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值，据此即可解答． 【详解】解：点到轴的距离为3． 故答案为：3． 12. 不等式2x-4＞0的解集是_______ 【答案】x＞2 【解析】 【分析】两边同时加4，再同时除以2，不等号不变． 【详解】解：∵2x-4＞0， ∴2x＞4， ∴x＞2． 故答案为：x＞2. 【点睛】本题考查根据不等式的性质求解不等式，在不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等式方向不变． 13. 若与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例定义，熟记正比例定义是解决问题的关键． 由与成正比例，设，再根据已知条件当时，，代入求出比例系数即可得到答案． 【详解】解：由与成正比例，设， 当时，，则， 解得， 则与之间的函数表达式为， 故答案为：． 14. 已知，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 15. 如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设，根据尺规作图痕迹，则可求得______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边对等角和垂直平分线的性质是关键．根据垂直平分线的性质和等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 故答案为： 16. 如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等判断和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，作，垂足为M．先根据等腰三角形三线合一的性质得，，推出，证明，得，，则，，再由勾股定理分别求、即可． 【详解】解：作，垂足为M．如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由，解得：． 由，解得：． 所以，原不等式组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案； （2）直接利用（1）中所画图形得出各点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得，，． 19. 如图，，点E和点F在线段BC上，. （1）求证：. （2）若，求BE的长 【答案】（1）见解析；（2）BE=11 【解析】 【分析】（1）由平行线得∠B=∠C，然后利用ASA即可判定△ABE≌△DCF，进而得到AE=DF； （2）由△ABE≌△DCF得BE=CF，然后利用线段的和差关系即可求出BE. 【详解】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（ASA） ∴AE=DF （2）∵△ABE≌△DCF ∴BE=CF ∵BC=BE+CF-EF ∴2BE=BC+EF=16+6=22 ∴BE=11 【点睛】本题考查全等三角形得到判定与性质，较为简单，找到全等三角形的判定条件是关键. 20. 杆秤是我国传统的计重工具，杆秤的应用方便了人们的生活．如图，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），秤钩所挂物体的质量为（千克），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （厘米） 1 2 4 7 11 12 （千克） 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25 3.50 （1）求关于的表达式； （2）小杭发现当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米时，秤钩所挂物体的质量是2.75千克，小杭的发现是否正确，请说明理由． 【答案】（1） （2）小杭的发现不正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入y与x之间的函数关系式，计算出y的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意设， 当时，；时，代入得： ， 解得：， 所以表达式为； 【小问2详解】 解：小杭的发现不正确．理由如下： 当时，． 所以小杭的发现不正确． 21. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2）DF＝． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20， 同理：CD2＝5， ∴AD2+CD2＝25， ∵AC＝AE+CE＝4+1＝5， ∴AC2＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝5， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF＝． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 22. 已知一次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差； （3）当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）函数的最大值与最小值的差为 （3）不变，定值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）将点坐标代入解析式即可求出结果； （2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； （3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ，解得． （2）解：∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2， ∴函数的最大值与最小值的差为． （3）解：定值为，理由如下： ∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴最大值与最小值的差为：． 23. 生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． （1）原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． （2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． （3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； 【小问2详解】 解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 24. 如图，直线，点在上，点到的距离为8，直角中，，；保持在绕点旋转的过程中，线段与始终有交点，交于点，连结． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，当点在上时，求证：平分； （3）直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，垂线段最短． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作交于点，则，，证明得，即可得出结论； （3）当最大时，最小；当最小时，最小；的最小值为8，根据勾股定理计算出的最小值，即可得的最大值． 【小问1详解】 解：当时， ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：作交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：当最大时，最小； 当最小时，最小；的最小值为8， 此时， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列四个选项中，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（ ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A. 金额是常量 B. 加油量是常量 C. 单价是常量 D. 单价是变量 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（ ） A. 小杭和小州都对 B. 小杭对，小州错 C. 小杭错，小州对 D. 小杭和小州都错 7. 下列不等式组的解为的是（） A. B. C. D. 8. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（ ） A. 将点向右平移7个单位 B. 将点向右平移5个单位 C. 将点向右平移1个单位 D. 将点向右平移2个单位 9. 已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 随的增大而减小 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 10. 如图，在中，，点在上，连结，将沿折叠，点的对称点为，与交于点，设为，，关于的函数图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 当为等腰三角形时， D. 当点为中点时， 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为______． 12. 不等式2x-4＞0的解集是_______ 13. 若与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为______． 14. 已知，且，则的取值范围是______． 15. 如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设，根据尺规作图痕迹，则可求得______．（用含的代数式表示） 16. 如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、的坐标． 19. 如图，，点E和点F在线段BC上，. （1）求证：. （2）若，求BE的长 20. 杆秤是我国传统的计重工具，杆秤的应用方便了人们的生活．如图，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），秤钩所挂物体的质量为（千克），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （厘米） 1 2 4 7 11 12 （千克） 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25 3.50 （1）求关于的表达式； （2）小杭发现当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米时，秤钩所挂物体的质量是2.75千克，小杭的发现是否正确，请说明理由． 21. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 22. 已知一次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差； （3）当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 23. 生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． （1）原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． （2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． （3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 24. 如图，直线，点在上，点到的距离为8，直角中，，；保持在绕点旋转的过程中，线段与始终有交点，交于点，连结． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，当点在上时，求证：平分； （3）直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $