6.2.1 导数与函数的单调性-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

●083 6.己利用导数研完函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.通过对曲线割线的斜率和切线的斜率的关系的 再认识，体会曲线的切线的斜率的变化趋势，通 1.借助教材实例了解函数的单调性与导数的 过数形结合感受数值变化与单调性的关系： 关系.（数学抽象）》 2.通过导函数符号的特征体会单调性与导数的 2.能利用导数判断函数的单调性、求函数的 关系 单调区间.（数学运算） 3.高中阶段的导数问题基本上都与多项式函数有 3.能利用导数研究与函数单调性相关的问 题.（数学运算、逻辑推理) 关，而三次函数的导函数是二次函数，因此研究 三次函数的图像与性质时，多涉及求解相应一 元二次方程、一元二次不等式. 必备知识 探新知 知识点用导数研究函数的单调性 1.导数与函数单调性的关系 般地，(1)如果在区间(a,b)内， ,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一 点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a,b)上是，如图1所示. (2)如果在区间(a,b)内， ,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处 切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a,b)上是 ,如图2所示. 图1 图2 知识解读：导数与函数单调性关系的深入理解 (1)若在区间(a,b)上有(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增；若在区间(a,b)上有f(x)'< 0,则f(x)在该区间上单调递减. (2)若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立；同理，若函数f(x)在 区间(a,b)上是减函数，则f(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立. (3)对于函数f(x)来说，f(x)>0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件；f(x)<0是 f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数，但f(0)=0,所以在x= 0处不满足(x)>0. (4)当函数f(x)的单调递增（或递减）区间有多个时，各区间之间不能用“U”连接，用“，”或 “和”连接。 2.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 ,这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得一，函数 的图像就比较“平缓”. 084 规律：函数值增长快慢与导数的关系： 常见的对应情况如下表所示. f(x)的图像 f'(x)变化规律 ∫'(x)>0且越来越大 f'(x)>0且越来越小 ∫'(x)<0且越来越小 f'(x)<0且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一导数与原函数图像的关系 例L)(2025:临沂高二检测)f(x)是函数y=)的导函数，若y f'(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 () 规律方法： 1.函数的图像与函数 的导裁关系的判断 方法 (2)(2025·山东省枣庄市期中)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的 （1)对于原函数，要 图像如图所示，则导函数∫'(x)的图像可能为 重点考查其图像在娜 个区间内单调递增， 在娜个区间内单调 o 递减 (2)对于导函裁，则 应考查其函数值在哪 个区间内大于零，在 哪个区间内小于零， 并考查这些区间与原 [规律方法] 函数的单调区间是否 》对点训练1 一致. (1)已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y= 2.利用导数证明或判 ∫'(x)的图像如下图所示，则该函数的图像是 ( ）断函数单调性的思路 y 求函裁∫(x)的导数 ∫'(x):(1)若x∈ [a,b)时f'(x)>0, 0 则y=f(x)在(a,b)上 B 单调递增：(2)若x ∈(a,b)时f'(x)< 0,则y=f(x)在(a, b)上单调递减： (3)若恒有f'(x)= 0,则y=f(x)是常裁 函数，不具有单调性. ●085 (2)(2025·阜阳高二检测)函数y=x)在定义域(-，3内可导，其 图像如图，记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)<0的解集为 题型二 利用导数求函数的单调区间 规律方法： 例2求下列各函数的单调区同 1.利用导数求函数单 (1)fx)=2x3-3x2; 调区间的步骤如下： 2) (1)求函裁f(x)的定 义域 (2)求导裁f(x) 1 (3)f(x)=cos+2,(,); (3)在定义域内解不 (4)f(x)=e+ax. 等式P(x)>0,得单 调递增区间；在定义 [分析]可按照求函数单调区间的步骤进行求解，其中：(1)要注意单 域内解不等式P(x) 调区间的写法；(2)要注意导数的求法；(3)要注意正弦函数的性质；(4)要注 <0,得单调递减 意对参数a进行讨论. 区间. 2.与利用函数单调性 的定义判断函数的单 调性或求函数的单调 区间相比，利用导戴 求函数的单调区间显 得更加简单易行，其 实质是转化为解不等 式问题，但也女须首 先求出函数的定义 域，在定义域内解不 等式，另外，利用导 数适合求一些高次函 数的单调区间，其单 调区间有时不止一 个，这时在写出它们 的单调区间时，不能 将各个区间用并集符 号连接 3.当函数f(x)的解析 式中含有参数时，可 能需要对参数进行分 类讨论才能确定其单 调区间. P[规律方法] 086 》对点训练2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)=x3-3x+1; (2)=+6>0. 题型三已知函数的单调性求参数的范围 例3，已知函数八x)=-x-1为增函数，求实数a的取值范围， [分析](x)单调递增→(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围 规律方法： 已知f代x)在区间(a, b)上的单调性求参数 范围的方法 (1)利用集合的包含 关系处理f(x)在(a, ·[规律方法] b)上单调递增（减）的 》对点训练3 问题，则区间(a,b) (1)若函数f(x)=x-ax-1的单调递减区间为(-1,1)，求a的取值 是相应单调区间的 范围； 子集 (2)若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减，求a的取值范围： (2)利用不等式的恒 成立处理f(x)在(a, (3)若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调，求a的取值范围. b)上单调递增（减）的 问题，则P(x)≥0 (f(x)≤0)在(a,b) 内恒成立，注意验证 等号是否成立 ●087 ●易错警示 利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误 例4.设函数f(x)=ax-”-2nx,且/'(2)=0，求函数x)的单调区间， [误区警示]解答本题常常因为忽视(x)的定义域而得到错误的单调区间. [正解] [点评]在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域， 在定义域的范围之内解决问题， 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是 4.(2025·重庆高二检测)函数f代x)= 2-hx A.（-∞，2) B.(0,3) 的单调递减区间为 C.(1,4) D.(2,+∞) A.（-1,1) B.(-0,1) 2.（2024·云南昆明高三一模)设'(x)是函数 C.(0,1) D.(1,+0) f(x)的导函数，y=f(x)的图像如图所示，则5.求函数f(x)=2lnx-ax的单调区间. y=f八x)的图像可能是 3-2-1 -3Z2=0123 32Z103 322-10123x D 3.(2023·新高考Ⅱ)已知函数f(x)=ae-lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]于是y'=y'·4'=4x- 4 即=(>) 4 (4)设y=e,u=x2,则y.'=e“,4'=2x, 于是y'=y'·w,'=e2·2x,即y=2xe2 对点训练3：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)' =2xcos 2x+2(-sin 2x).(2x)' 2xcos 2x -2x'sin 2x. (2)Bf'(x)= 1 2W√ax-I (ax-1)'=2ax- f'02a1 解得a=2. (3)10f'(x)=5(2x+1)·(2x+1)′=10(2x+1)4, ∴.f'(0)=10. 例4：(1)：fx)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a, 由题意可得f'(2)=12+a=13,f2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2):切线与直线y=-年+3垂直，….切线的斜率=4. 设切点的坐标为(xo少o),则f'(x)=3x后+1=4， .x0=±1. 由fx)=x3+x-16,可得%=1+1-16=-14，或%=- 1-16=-18. 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 对点训练4：1f'()=a-是f'()=a-1 又f1)=a, .切线l的斜率为a-1,且过点(1，a), .切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1) 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 例5：(1-2x)e1-xy'=e-2x+x(e-2)/=e-2x+xe-2 (1-2x)'=e-2r+xe-2x·(-2)=(1-2x)e-2 课堂检测固双基 1.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D. 2.A根据题意，f(x)=sin2x+e2, 则f'(x)=2cos2x+2e 2 3.Af'(x)=2x+1-, 所W(2)=号-a=-1,解得a=号 7 4.1函数f(x)=xe, 则f'(x)=e+xe*=(1+x)e, f'(0)=(1+0)e°=1. 故答案为1. 5因为)：所以e):号 又因为f'(x)=e·x-e=g(x-1) x x 所以f'(c)=e(c-业 c2 依题意知f代c)+f'(c)=0, 所以g+e(c-D=0. c2 所以2c-1=0,得c=2 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 必备知识探新知 知识点1(x)>0增函数f(x)<0减函数2.较 快较慢 关键能力攻重难 例1：(1)D由导函数图像可知函数f(x)在(-0,0)上增 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D. (2)D由f(x)的图像可知，y=f(x)在(-∞，0)上是增函 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-∞，0)上的图像 全部在x轴上方)，故排除A,C.从原函数图像上可以看出，在区 间(0，x)上原函数是增函数f'(x)>0;在区间(x1,x2)上原函 数是减函数f'(x)<0:在区间(x2,+∞)上原函数是增函数， f'(x)>0,故排除B.故选D. 对点训练1：(1)B由导数的图像可得，导函数f'(x)的值 在[-1,0]上逐渐增大，故函数f代x)在[-1,0]上增长速度逐渐 增大，故函数f(x)的图像是下凹型的.导函数f'(x)的值在[0， 1]上逐渐减小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图像 是上凸型的，故选B. (2)(-分，1U(2,3)函数y=fx)在区间(-3）和 区间(2,3)上单调递减，所以在区间(-弓，1和区间(2,3)上， y=f'(x)<0,所以W'(x)<0的解集为(-分，U(2,3), 例2：(1)函数定义域为R,且f(x)=6x2-6x 令f(x)>0,即6x2-6x>0. 解得x>1或x<0; 令f(x)<0,即6x2-6.x<0,解得0<x<1. 所以f(x)的单调递增区间是(-∞，0]和[1，+∞)，单调递 减区间是[0,1]. (2)函数)的定义域为(0，+0)，且f(x)=1-血 x2 令f(x)>0,即-血>0，得0<x<e: 令()<0，即l-nx<0,得x>e, 2 所以f(x)的单调递增区间是(0，e],单调递减区间是 e,+o). (3)函数f(x)的定义域为(0，m),且f(x)=2-im 令f(x)>0,即}-nx>0. 2 解得0<<君安语<<： 6 令f)<0,即 -mx<0,解得子<x<君 故x)的单润递塔区间是(0，]和[，，单泻递减区 间是[吾引 (4)函数定义域为R,且f(x)=e+a. ①当a≥0时，(x)=e+a>0恒成立f代(x)在R上单调递增； ②当a<0时，由f(x)=e+a>0,得e*>-a, 所以x>ln(-a), 由f(x)=e+a<0,得e*<-a,所以x<ln(-a) 所以f(x)在(ln(-a),+o)上单调递增，在(-o, 178 n(-a))上单调递减 综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(-o,+0),无 单调递减区间： 当a<0时f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+o),单调 递减区间是(-o,ln(-a)]. 对点训练2：(1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0. 即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1. ∴.函数f代x)的单调递增区间为(-0，-1)和(1，+0)， 令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. .函数f(x)的单调递减区间为(-1,1). (2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+), f')=(+)=1-合 令'(x)>0,则(x+万(x-万>0. x>6,或x<-万 函数的单调递增区间为(-∞，-√⑥)和（√b,+∞） 令f'(x)<0,则之(x+历(x-历<0， -万<x<6,且x≠0. 函数的单调递减区间为(-√万，0)和(0，b). 例3：由已知，得f(x)=3x-a. 因为f代x)在(-o,+0)上是增函数， 所以f(x)=3x2-a≥0在(-0，+0)上恒成立， 即a≤3ax2对xeR恒成立， 因为3x≥0，所以只需a≤0. 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x2-1在R上是增 函数，所以a≤0. 对点训练3：(1)f(x)=3x2-a. ①当a≤0时，f(x)≥0， ∴f(x)在(-∞，+∞)上为增函数.此时不满足题意 ②当a>0时，令3x2-a=0,得x=±3 3 当-@<x<时f)<0 )在(-上为减函数， )的单满递减区间为[-，哥。 -1,即a=3 (2)由题意，可知f(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立， 250688a 3-a≤0， 即a的取值范围是[3，+∞). (3)fx)=x3-ax-1,.f(x)=3x2-a. 由f()=0,得x=±o≥0， f代x)在区间(-1,1)上不单调， 0<<1,即0<a<3 故a的取值范围为(0,3). 例4：由已知得x>0,则函数f代x)的定义域为(0，+∞) :f“()=a+g-2,f'(2)=a+年-1=0，得a= 17 号)=号+2-5+2 f()>0,得0<<分或x>2.舒'()<0，得7<x<2. 故函数)的单调递增区间为(0，），(2，+)，单调递 减区间为（分，2 课堂检测固双基 1.D:fx)=(x-3)e, ∴f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e', 由f'(x)>0得x>2,∴.选D. 2.D根据导函数图像，y=f(x)的递增区间为(-3，-1)，(0， 1),递减区间为(-1,0)，(1,3)，观察选项可得D符合，故 选D. 3.C对函数f(x)求导可得，f(x)=ae- x 依题意，ae-≥0在(1,2)上恒成立， 即a≥1在(1,2)上恒成立， =ete(1,2),则g(x)=二e+e2= 设g(x)=1 (xe)2 e(x+1) (e*)2, 易知当xe(1,2)时，g(x)<0, 则函数g(x)在(1,2)上单调递减， 期a≥g(a=g)==e 故选C. 4.C函数)=-nx的定义域为(0，+)f'()=x- 士舒'()<0，即x士<0解得0<x<1,放选C 5.函数的定义城为0，+).且)=2-a (1)当a≤0时f(x)>0恒成立fx)在(0，+∞)上单调递增； (2)当a>0时，由f(x)=2-a>0,解得0<x<2 由(x)<0,解得x>2 a 所九)在0上单两遂增，在（名+]上单减 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，+o),无单调递 减区间： 当a>0时，(x)的单调递增区间是(0，名)，单调递减区间 是（品，+） 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时函数的导数与极值 必备知识探新知 知识点一1.f(x)<f(xo)极大值点f(x)>f(x)极 小值点极值2.(x)=0 知识点二极大值极小值 关键能力攻重难 例1：(1)CDE对于A,反例：设f(x)=Jx,f(x)≥f(0)=0,