6.1.4 求导法则及其应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

077 课堂检测固双基 1.面线y=在x=分处的切线的倾斜角a是 A.e B.-e ( c.1 D.-1 e A.0° B.45° 4.若f(x)=x3,g(x)=logx,则f'(x)-g'(x)= C.135° D.60° 2.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的5.已知f代x)=x2,g(x)=lnx,若'(x)-g(x)=1, 斜率为 ( 则x= A.e B.-e cI D.-1 e e 3.(2025·广州高二检测)已知直线y=x是曲 夯基提能作业 线y=lnx的切线，则k= () 请同学们认真完成练案[15] 6.1.4 求导法则及其应用 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.类比数和向量的四则运算，感受导数的四则运 1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 算法则，体会导数运算是导数发挥工具性作用 数的四则运算法则，求简单函数的导数（数 的基础. 学运算) 2.感受导数运算法则和基本初等函数导数公式综 2.能求简单的复合函数的导数.（数学运算） 合作用下的复合函数的求导法则 必备知识探新知 知识点一 导数的四则运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导 [f(x)±g(x)]'= 数的和（差） 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘 [f(x)g(x)]'= 上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数 的导数 两个函数的商的导数，等于分子上函数的导数乘分母 「flf'(g)=fg(g(x)≠0) .g(x) g(x)]2 上的函数减去分子上的函数乘分母上函数的导数，再 除以分母上函数的平方 知识解读：导数运算法则的提示 (1)对导数的运算法则只要求能熟练运用这些法则求简单函数的导数即可. 078 (2)函数的和（差）的导数运算法则，可推广到任意有限个可导函数的和（差），即[∫(x)±(x) ±…±fn(x)]'=∫'(x)±f'(x)±…±fn'(x). (3)函数的积与商的导数运算法则，要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积 的导数法则中是“+”，商的导数法则中分子上是“一” 常用结论 ①若c为常数，则[cf(x)]'=cf'(x). ②若a,b为常数，则[afx)±bg(x)]'=af'(x)±bg(x). aot 知识点二复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的 函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)求导法则：对于复合函数y=f(g(x)),y'.= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积 知识解读：复合函数求导的步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 关键能力】 攻重难 ●题型探究 题型一利用导数公式求函数的导数 例1求下列函数的导数 1)y=cs82)y(3y 规律方法： 简单函数求导的解题 (4)y=lgx:(5)y=5i;6)y=c0s(7-x 策略 (1)若所求函裁符合 [分析]若不能直接运用导数公式求导，可先对函数解析式化简再用公 导数公式，则直接利用 式求导 公式求解 (2)对于不能直接利 用公式的类型，一般 遵循“先化简，再求 导”的基本原则，避 免不女要的运算 失误 (3)要特别注意1 与lnx”"a与logx“ “sinx与cosx”的导裁 。[规律方法] 区别 ●079 》对点训练1 下列结论：①(sinx)'=cosx; ②()y=,③1b)/3国(1n)/=其中正确的有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型二利用导数的运算法则求函数的导数 例2.(1)(2024·广州市第十三中学期中)函数)=x+的导数 f'(x)= () A1月 B.1-1 C.1+ 1 D.1+1 (2)(2025·北京市十一学校期末)函数y=xsinx的导数为() A.y'=2x+cosx B.y'=xcosx C.y'=2xcosx D.y'=2xsinx+xcos x (3)(2024·北京八中期中)函数y=c0sx的导数是 ( 规律方法： 应用导数的四则运算 A.y'=sinx B.y'=-sin x 法则的思路方法及注 意事项 C.y'=sin x +cosx D.y'=-xcos x+cosx (1)熟记导裁的四则 运算法则，尤其是 P[规律方法] 积、商的求导法则 》对点训练2 (2)应用和、差、积、 (1)(2025·河南洛阳高二期末)已知函数f(x)=xsin x+cosx,则 商的求导法则求导数 时，在可能的情况 f'的值为 () 下，应尽量少用甚至 A罗 不用积或商的求导法 B.1 C.-1 D.0 则，应在求导之前， (2)(2025·福建南安侨光中学高三月考)已知f(x)=e22w+x·lnx,则 先利用代数、三角恒 f'(1)= () 等变形等知识对函数 A.1 B.e2020+1 C.e2020-1 D.e2020 进行化简，然后再求 (3)求下列函数的导数： 导，这样可以减少运 ①y=x3-x2-x+3; 算量，提高运算速 度，避免出错 2.3 ②w=+ （3)对于三个以上函 数的积、商的导数， 依次转化为“两个“ 函数的积、商的导数 计算 080 题型三 复合函数的求导 例3求下列函数的导数： (1)y=(4-3x)2; (2y=cs(2x-8引： (3)y=ln(4x-1); (4)y=e. [分析]先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求 导法则进行求导 规律方法： 求复合函数导数的步骤 ·[规律方法] 适当选取中间变量，正 )对点训练3 分解 确分解复合关系成y= f(u),u=g(x)的形式 (1)(2025·浙江省北仑中学高二检测)函数y=x2c0s2x的 导数为 分步逐层求导，即先求 导 A.y'=2xcos 2x-x'sin 2x y.,再求w B.y'=2xcos 2x -2x'sin 2x 计算y。·u',并把u= 回代 C.y'=x'cos 2x -2xsin 2x g(x)代入 D.y'=2xcos 2x +2x'sin 2x (2)(2025·福建福州一中高二检测)若f(x)=√ax-1,且 ∫'(1)=1，则a的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (3)(2025·湖北黄石高二检测)函数f(x)=(2x+1),则 f'(0)的值为 ●081 题型四综合应用问题 例4已知曲线八)=+ar+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x一 y-32=0. (1)求a,b的值； (2)如果曲线y=x)的某一切线与直线1：y=-子x+3垂直，求切点 坐标与切线的方程， [分析](1)由f(x)在点P处的切线方程可知f'(2),及f(2)=-6,得 到a,b的方程组，解方程组可求出a,b; (2)由曲线y=f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k=∫'(xo),从而解出 xo,求得切点坐标和k 规律方法： 1.导数的应用中，求 导数是一个基本解题 环节，应仔细分析函 数解析式的结构特 征，根据导数公式及 运算法则求导裁，不 具备导数运算法则的 结构形式时，先恒等 变形，然后分析题目 特点，探寻条件与结 ●[规律方法] 论的联系，选择解题 》对点训练4 途径. 已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1，f(1)处的切线为l,2.求参裁的问题一毅 则l在y轴上的截距为 依据条件建立参数的 方程求解. 082 ●易错警示 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键.一般从最外层开 始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数. 例院6 [正解] [点评]错解中对é2“求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全 课堂检测固双基 1.(2024·天津期末)函数f(x)=x+e的导数5.若函数(x)=C在x=c处的导数值与函数的 是 ( 值互为相反数，求c的值 A.f'(x)=e B.f'(x)=1+1 C.f'(x)=1+xe- D.f'(x)=1+e 2.(2025·大庆高二检测)已知f(x)=sin2x+ e2,则f'(x)= ( A.2cos 2x +2e2* B.cos 2x+e2 C.2sin 2x +2e2* D.sin 2x+e2* 3.(2025·泉州高二检测)已知f(x)=ln(2x+ 1)-ax,且f'(2)=-1,则a= B.5 c- -专 4.(2023·河北区一模)已知函数f(x)=xe, 夯基提能作业 f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)= 请同学们认真完成练案[16]4y+1=0. (2)x+y-2=0由题意知，y'=e,曲线在点(0,1)处的斜 常6==1，设P(m,)y=（(x>0)的导数为y=-(x> 1 1 0),曲线)=(x>0)在点P处的切线斜率=(m>0), 由题意知kk2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P 的坐标为(1,1)，k,=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0. 对点训练2：(1)y=xn3+1fx)=3f'(x)=31n3, .f'(0)=ln3, .所求切线方程为y=xn3+1. (2)C.y'=3x2, ∴.点(2,8)处的切线斜率k=f'(2)=12, ∴.切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, ∴.k=12,b=-16,.k-b=28 (3)D切线的斜率k=m子=-1f()= 3 设切点为(0)，则f'()=-1-之 =-1, .x=1或-1，∴.切点坐标为(1,1)或(-1，-1). 例3：易知P点在曲线y=x3上，当P点为切点时，由上面解 法知切线方程为12x-y-16=0. 当P点不是切点时，设切点为A(o,%),由定义可求得切 线的斜率为k=3x 3.0-8 A在线上心6=心名-23， x话-3x后+4=0，(x0+1)(x0-2)2=0,.x0=-1或 x=2(舍去)， y。=-1,k=3,此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 =0和3x-y+2=0. 课堂检测固双基 1.By'=2xy'x=3=1, .k=1,∴.a=45°，故选B. 2Cy=nx的定义域为(0，+)，且y=,设切点为(， 血o),则八o=,切线方程为y-n三(x-6),因 为切线过点(0,0)，所以-lnx。=-1得x。=e,故切线的斜率 为日 3.C设f)=c,g(x)=lhx,则'(x)=k,g()=。 设直线与曲线切点的横坐标为x。, 则有人6）解得k=。放选C f'(x)=g'() 1 4.3x-n3f"()=3x8'(w)=xn3 f'(x)-g(x)=3x2-1 xln 3' 5.1 .f(x)=x2g(x)=In x, f')=2g()=且x>0f'%)-ga)=2-=1, 即2x--1=0,解得x=1或x=分（舍去）. 故x=1. -17 6.1.4求导法则及其应用 必备知识探新知 知识点一f'(x)±g'(x）)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 知识点二y'。·u',y对uu对x 关键能力攻重难 例1：07=君-号=0 (2):y=↓= =5…y=-5x0 (3):y==23 Ex之 1 (4)y=1gx,∴.y'= xn 10' (5)八y=5,…y'=55. (6)y=comsin=c 对点训练1：C①(snx)'=omsx,正确：②()'=各子， 错误：③(g)”=山错误：国(hx)/=,正确：所以①0 正确，故选C. 例2：()Af(到=(+)=x+() 1 (2)Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'= 2xsin +xcos & 3)c-(} =(cosx)'-cosx·x --xsin -cossin +cosx x x- 对点训练2：(1)D因为f'(x)=sinx+xcos x-sinx= 0ms,所W(受）=0，故选D (2)Afx)=e2o+x·lnx, .f'(x)=lnx+1,f'(1)=ln1+1=1. (3)①y=(x3-2-x+3)′=(x3)'-(x2)′-x'+3′= 3x2-2x-1. ②方法一：因为y=2x2+3x3， 所以y'=(2x-2+3x-3)'=(2x-2)'+(3x-3)' 方法：y=(层+引=()+()= 2-22少4以号是 例3：(1)设y=u2,u=4-3x,则y'=2u,u'=-3,于是 yx'=y′·4'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24 (2)设y=c0s,u=2x-平，则y.'=-smu,4'=2, 于是.'=.'·4，'=-2sim2x-牙）， 即y=-2sin(2x-平） (3)设y=lnu,u=4x-1,则y.'= ,'=4, 于是y'=y'·4'=4x- 4 即=(>) 4 (4)设y=e,u=x2,则y.'=e“,4'=2x, 于是y'=y'·w,'=e2·2x,即y=2xe2 对点训练3：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)' =2xcos 2x+2(-sin 2x).(2x)' 2xcos 2x -2x'sin 2x. (2)Bf'(x)= 1 2W√ax-I (ax-1)'=2ax- f'02a1 解得a=2. (3)10f'(x)=5(2x+1)·(2x+1)′=10(2x+1)4, ∴.f'(0)=10. 例4：(1)：fx)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a, 由题意可得f'(2)=12+a=13,f2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2):切线与直线y=-年+3垂直，….切线的斜率=4. 设切点的坐标为(xo少o),则f'(x)=3x后+1=4， .x0=±1. 由fx)=x3+x-16,可得%=1+1-16=-14，或%=- 1-16=-18. 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 对点训练4：1f'()=a-是f'()=a-1 又f1)=a, .切线l的斜率为a-1,且过点(1，a), .切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1) 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 例5：(1-2x)e1-xy'=e-2x+x(e-2)/=e-2x+xe-2 (1-2x)'=e-2r+xe-2x·(-2)=(1-2x)e-2 课堂检测固双基 1.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D. 2.A根据题意，f(x)=sin2x+e2, 则f'(x)=2cos2x+2e 2 3.Af'(x)=2x+1-, 所W(2)=号-a=-1,解得a=号 7 4.1函数f(x)=xe, 则f'(x)=e+xe*=(1+x)e, f'(0)=(1+0)e°=1. 故答案为1. 5因为)：所以e):号 又因为f'(x)=e·x-e=g(x-1) x x 所以f'(c)=e(c-业 c2 依题意知f代c)+f'(c)=0, 所以g+e(c-D=0. c2 所以2c-1=0,得c=2 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 必备知识探新知 知识点1(x)>0增函数f(x)<0减函数2.较 快较慢 关键能力攻重难 例1：(1)D由导函数图像可知函数f(x)在(-0,0)上增 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D. (2)D由f(x)的图像可知，y=f(x)在(-∞，0)上是增函 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-∞，0)上的图像 全部在x轴上方)，故排除A,C.从原函数图像上可以看出，在区 间(0，x)上原函数是增函数f'(x)>0;在区间(x1,x2)上原函 数是减函数f'(x)<0:在区间(x2,+∞)上原函数是增函数， f'(x)>0,故排除B.故选D. 对点训练1：(1)B由导数的图像可得，导函数f'(x)的值 在[-1,0]上逐渐增大，故函数f代x)在[-1,0]上增长速度逐渐 增大，故函数f(x)的图像是下凹型的.导函数f'(x)的值在[0， 1]上逐渐减小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图像 是上凸型的，故选B. (2)(-分，1U(2,3)函数y=fx)在区间(-3）和 区间(2,3)上单调递减，所以在区间(-弓，1和区间(2,3)上， y=f'(x)<0,所以W'(x)<0的解集为(-分，U(2,3), 例2：(1)函数定义域为R,且f(x)=6x2-6x 令f(x)>0,即6x2-6x>0. 解得x>1或x<0; 令f(x)<0,即6x2-6.x<0,解得0<x<1. 所以f(x)的单调递增区间是(-∞，0]和[1，+∞)，单调递 减区间是[0,1]. (2)函数)的定义域为(0，+0)，且f(x)=1-血 x2 令f(x)>0,即-血>0，得0<x<e: 令()<0，即l-nx<0,得x>e, 2 所以f(x)的单调递增区间是(0，e],单调递减区间是 e,+o). (3)函数f(x)的定义域为(0，m),且f(x)=2-im 令f(x)>0,即}-nx>0. 2 解得0<<君安语<<： 6 令f)<0,即 -mx<0,解得子<x<君 故x)的单润递塔区间是(0，]和[，，单泻递减区 间是[吾引 (4)函数定义域为R,且f(x)=e+a. ①当a≥0时，(x)=e+a>0恒成立f代(x)在R上单调递增； ②当a<0时，由f(x)=e+a>0,得e*>-a, 所以x>ln(-a), 由f(x)=e+a<0,得e*<-a,所以x<ln(-a) 所以f(x)在(ln(-a),+o)上单调递增，在(-o, 178