6.1.3 基本初等函数的导数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

11 =2Ax+2+△x2' 所以比-2-22+4) 1 △x 所=是-2-22+a子 (2)x+2y+4=0点(-2，-1)在曲线fx)=2上. 2 因为m-2+A-2= -2+4x-(-1) △x △x 一-2十A方所以切线方程为y+1=方(x+2), 1 1 即x+2y+4=0. 例4：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, .切点P(1,1). f(1)=imL+A)'-L=1im[3+34x+(Ax)2]=3. △x .k=f(1)=3. .曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. (2)设切点为Q(x,),由(1)可知f(x)=3x号，由题意 可知o=f(,即安引=3话，又，=.所以 0-36,即 2-气-1=0解得=1或0=-分 ①当=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x- y-2=0. ②当。=号时，切点坐标为(-分，号）相应的切线 方程为+日+即341-0 对点训练4：由厂y=3x-2, 1y=x3, 解得↓或=2， F1y=1ly=-8, 从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),即切线与曲线 C的公共点除了切点处，还有另一公共点(-2，-8). 例5：B方法一：lin6+h）-八。-h h =+)-)+)--A h =lmo+h）-o）+1i f代xo)-f代o-h) h0 h h =f'(xo)+lim f[右+(-h)]-fxo) -h =f'(xo)+f'(x) =2f'(x). 方法二5+创九气 h =四[2×6+h),-2] 2h =21m6+h)--h) 2h =2f'(x). 课堂检测固双基 1.Cf'(0)=四0+4-30+4)-0+3x0 △x 17 =m（a)34=(4x-3)=-3. △x 2.C.y=f代x)的图像在，点P(5,f(5))处的切线方程为y=-x+ 8,可得y=f(x)在点P(5f(5)处的切点纵坐标和切线斜率分别 为f5)=-5+8=3f'(5)=-1, 则f(5)+f'(5)=2. 1 3Af(1)=1m1+4e-(-1) Ax=lim- 1 1+41, 所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+1=x-1, 即x-y-2=0,此即为切线方程. 4.B:函数y=f(x)在x=x处的导数为1， 则+-o:n+4)- 2△x =24x0 △x =(w)= 1 5.By=-3 x+42-3-(分2-30 ..y'=lim- △x (4)2+:4 =linp △x im(+2)= ∴y11=1,在点P1,-弓）的切线的斜率为1 6.1.3基本初等函数的导数 必备知识探新知 知识点二ar“-1 关键能力攻重难 例10x-()=ar=-4= ②y=派=寺y=()=号=手派 ③y'=(3*)'=3*ln3. ④y=(logx'=in5 1 (2)C(cosx)'=-sinx,.A不正确； (sinx)′=cosx,.B不正确； 2石D不正确 (E)'= 对点训练1：(1)Df代x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数， 所以f'(x)=0.所以f'(2)=0. (2)D)==3, 所以f'(x)=-3x4,所以f'(1)=-3. (3)①y'=(x)'=6x3 ②y'=(2*)'=2ln2. ③'=(logx)=1 aln 3' ④w=(=(y=-2 例2：B由于y,所以2石于是土=1，所 以曲线在点（子）处的切线的斜率等于1，切线方程为4x 6 4y+1=0. (2)x+y-2=0由题意知，y'=e,曲线在点(0,1)处的斜 常6==1，设P(m,)y=（(x>0)的导数为y=-(x> 1 1 0),曲线)=(x>0)在点P处的切线斜率=(m>0), 由题意知kk2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P 的坐标为(1,1)，k,=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0. 对点训练2：(1)y=xn3+1fx)=3f'(x)=31n3, .f'(0)=ln3, .所求切线方程为y=xn3+1. (2)C.y'=3x2, ∴.点(2,8)处的切线斜率k=f'(2)=12, ∴.切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, ∴.k=12,b=-16,.k-b=28 (3)D切线的斜率k=m子=-1f()= 3 设切点为(0)，则f'()=-1-之 =-1, .x=1或-1，∴.切点坐标为(1,1)或(-1，-1). 例3：易知P点在曲线y=x3上，当P点为切点时，由上面解 法知切线方程为12x-y-16=0. 当P点不是切点时，设切点为A(o,%),由定义可求得切 线的斜率为k=3x 3.0-8 A在线上心6=心名-23， x话-3x后+4=0，(x0+1)(x0-2)2=0,.x0=-1或 x=2(舍去)， y。=-1,k=3,此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 =0和3x-y+2=0. 课堂检测固双基 1.By'=2xy'x=3=1, .k=1,∴.a=45°，故选B. 2Cy=nx的定义域为(0，+)，且y=,设切点为(， 血o),则八o=,切线方程为y-n三(x-6),因 为切线过点(0,0)，所以-lnx。=-1得x。=e,故切线的斜率 为日 3.C设f)=c,g(x)=lhx,则'(x)=k,g()=。 设直线与曲线切点的横坐标为x。, 则有人6）解得k=。放选C f'(x)=g'() 1 4.3x-n3f"()=3x8'(w)=xn3 f'(x)-g(x)=3x2-1 xln 3' 5.1 .f(x)=x2g(x)=In x, f')=2g()=且x>0f'%)-ga)=2-=1, 即2x--1=0,解得x=1或x=分（舍去）. 故x=1. -17 6.1.4求导法则及其应用 必备知识探新知 知识点一f'(x)±g'(x）)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 知识点二y'。·u',y对uu对x 关键能力攻重难 例1：07=君-号=0 (2):y=↓= =5…y=-5x0 (3):y==23 Ex之 1 (4)y=1gx,∴.y'= xn 10' (5)八y=5,…y'=55. (6)y=comsin=c 对点训练1：C①(snx)'=omsx,正确：②()'=各子， 错误：③(g)”=山错误：国(hx)/=,正确：所以①0 正确，故选C. 例2：()Af(到=(+)=x+() 1 (2)Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'= 2xsin +xcos & 3)c-(} =(cosx)'-cosx·x --xsin -cossin +cosx x x- 对点训练2：(1)D因为f'(x)=sinx+xcos x-sinx= 0ms,所W(受）=0，故选D (2)Afx)=e2o+x·lnx, .f'(x)=lnx+1,f'(1)=ln1+1=1. (3)①y=(x3-2-x+3)′=(x3)'-(x2)′-x'+3′= 3x2-2x-1. ②方法一：因为y=2x2+3x3， 所以y'=(2x-2+3x-3)'=(2x-2)'+(3x-3)' 方法：y=(层+引=()+()= 2-22少4以号是 例3：(1)设y=u2,u=4-3x,则y'=2u,u'=-3,于是 yx'=y′·4'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24 (2)设y=c0s,u=2x-平，则y.'=-smu,4'=2, 于是.'=.'·4，'=-2sim2x-牙）， 即y=-2sin(2x-平） (3)设y=lnu,u=4x-1,则y.'= ,'=4,074 6.1.3基本初等函数的导数 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.借助教材实例了解利用定义求函数的导数.（数 学运算) 通过六个简单的常用函数的求导，体会导数 2.掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式 求解的一般方法及特殊到一般的思想 求简单函数的导数.（数学运算） 3.会解决与曲线的切线相关的问题.（数学建模） 必备知识探新知 知识点一几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)=c f'(x)=0 f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)=x f'(x)=3x2 )是 :号 f代x)=E 知识点二 基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=x“(aeQ,且a≠0) f'(x)= f(x)=sin x f'(x)= f(x)=cosx f'(x)= fx)=a*(a>0,且a≠1) f'(x)=a'lna f(x)=e" f'(x)= 1 f(x)=logx(a>0,且a≠1) f'(x)=xna f(x)=In x f'(x)= 知识解读：(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、 对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数 ●075 (2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y=x“的导数公式解决， (3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化， (4)各类考试中最常见的是求幂函数和以自然常数为底数的特殊指数函数y=e与对数函数 y=lnx的导数. 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一公式法求导数 例1.(1)①②y=·a:③y=3:④=l0g [分析]先将①②化为幂函数的形式再求导，③④直接用公式求导 (2)下列结论正确的是 A.若y=cosx,则y'=sinx B.若y=sinx,则y'=-cosx C若y则y为 规律方法： n若y=则y-号 运用基本初等函裁的 导数公式求导的注意 [规律方法] 事项 （1)对于简单的函 》对点训练1 数，直接套用公式. (1)f(x)=a3(a>0,a≠1)，则f'(2)= (2)对于较为复杂， A.8 B.12 C.8In 3 D.0 不能直接套用公式 (2)已知x)=号则'() 的，可先把题中函数 ( 恒等变形为基本初等 A.1 B.-1 C.3 D.-3 函数，再求导 (3)求下列函数的导数， ①=：2=2：③y=log:国r=2 076 题型二 导数公式的应用 例2.()曲线y=在点（子）处的切线方程为 () A.4x-4√3y+23-1=0 B.4x-4y+1=0 C.43x-4y+2-√3=0 D.4x+4y-3=0 (2)设曲线y=6在点(0.1)处的切线与线（>0)上点P处的切线垂直，则点P处 的切线方程为 》】对点训练2 (1)曲线f(x)=3在，点(0,1)处的切线方程是 (2)已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=x+b,则k-b= A.4 B.-4 C.28 D.-28 (3)若曲线)=上某点处的切线的倾斜角为子，则该点的坐标为 A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1，-1) ●易错警示 不能正确理解切，点的实质而致误 例3经过点P(2,8)作曲线y=子的切线，求切线方程 [错解]设f(x)=x3,由定义得∫'(2)=12，∴.所求切线方程为y-8=12(x-2), 即12x-y-16=0. [误区警示]曲线过点P的切线与在点P处的切线不同. [正解] [点评]在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率.其中切点 又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注 077 课堂检测固双基 1.面线y=在x=分处的切线的倾斜角a是 A.e B.-e ( c.1 D.-1 e A.0° B.45° 4.若f(x)=x3,g(x)=logx,则f'(x)-g'(x)= C.135° D.60° 2.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的5.已知f代x)=x2,g(x)=lnx,若'(x)-g(x)=1, 斜率为 ( 则x= A.e B.-e cI D.-1 e e 3.(2025·广州高二检测)已知直线y=x是曲 夯基提能作业 线y=lnx的切线，则k= () 请同学们认真完成练案[15] 6.1.4 求导法则及其应用 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.类比数和向量的四则运算，感受导数的四则运 1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 算法则，体会导数运算是导数发挥工具性作用 数的四则运算法则，求简单函数的导数（数 的基础. 学运算) 2.感受导数运算法则和基本初等函数导数公式综 2.能求简单的复合函数的导数.（数学运算） 合作用下的复合函数的求导法则 必备知识探新知 知识点一 导数的四则运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导 [f(x)±g(x)]'= 数的和（差） 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘 [f(x)g(x)]'= 上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数 的导数 两个函数的商的导数，等于分子上函数的导数乘分母 「flf'(g)=fg(g(x)≠0) .g(x) g(x)]2 上的函数减去分子上的函数乘分母上函数的导数，再 除以分母上函数的平方 知识解读：导数运算法则的提示 (1)对导数的运算法则只要求能熟练运用这些法则求简单函数的导数即可.