6.1.2 导数及其几何意义-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

068 课堂检测固双基 1.函数y=2x在区间[xo,x+△x]上的平均变化3.已知函数y=fx)=2x2的图像上的点P(1,2)及 率为 邻近点01+4,2+4A).则哈的值为 () A.x0+△x B.1+△x C.2+△x D.2 A.4 B.4x 2.(2025·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2- C.4+2(△x)2 D.4+2△x 1,当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变 4.函数f(x)=2-1在区间[1，m]上的平均变化 化率为 ) 率为3，则实数m的值为 A.2.1 B.1.1 夯基提能作业 C.2 D.0 请同学们认真完成练案[13] 6.1.2 导数及其几何意义 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.理解瞬时变化率与导数的概念，会用导数 的定义求函数在某点处的导数.（数学 充分理解瞬时速度的基础上，体会函数在某点的 运算) 瞬时变化率，进而理解导数的定义，体会运动变化 2.理解导数的几何意义，并能应用导数的几 和无限逼近的思想. 何意义解决相关问题.（逻辑推理） 必备知识探新知 知识点一瞬时变化率与导数 般地，设函数y=f(x)在x附近有定义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x无限接近于 0时，若平均变化率-+△)-八)无限接近于一个常数太，那么称常数人为函数八x)在 △x △x xo处的瞬时变化率此时，也称f(x)在x。处可导，并称k为(x)在x=x。处的导数，记作 为了简单起见，“当4x无限接近于0时6+△》-)无限接近于常数A“也帝用符号“一 △x (读作趋向T)表小为当Ax0时，心西+A-.成者与减+A-,即 △x △x 知识解读：对于y=f(x)在x=xo处的导数的理解要注意以下三点： (1)y=f(x)在x=x,处的导数即为函数y=f八x)在x=x。处的瞬时变化率，导数可以描述任何 事物的瞬时变化率，应用非常广泛 (2)y=f(x)在x=x处的导数表示为f'(xo)或yIx,函数在x=x处的导数f'(xo)只与x。有 关，与△x无关，函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变 量比值的极限，不是变量 069 (3)若极限li f。+△)-fo不存在，则称函数y=)在x=0处不可导。 △x (4)导数定义式的几种常见的变式： (x)i)()=lim) △x 2△x f()=r-A2)=）-fx+a2r(=m)=f -△x A-0 -△x x-x0 知识点二导数的几何意义 函数y=f(x)在点xo处的导数的几何意义，(xo)就是曲线y=f(x)在点(x,f(x))处（也称在 x=x处)的 ,从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一瞬时变化率（瞬时速度）的求法 例1，已知质点M按规律=2+3做直线运动（位移单位：m,时间单 （)当=2.4=001时求会 (2)当1=2,41=0.01时，求： (3)求质点M在t=2时的瞬时速度， 规律方法： [分析]先求△s,△s=s(t+△t)-s(t)=2(t+△1)2+3-(22+3)= 1.求运动物体瞬时速 度的三个步骤 41·4,+2(4),再求分，最后代值，4越接近于0，合就越接近某时刻的屏时 （1)求时间改变量 △t和位移改变量△s 速度， =s(t0+△)-s(to). (2)求平均速度v (3)求眸时速度，当 △t无限趋近于0时， 合无根造道于常发 即为眸时速度. 2米（当4x无限 趋近于0时)的校限 的方法 (1)在极限表达式 中，可把△x作为一 个裁来参与运算 (2)求出Ay的表达 △x 式后，△x无限趋近 于0，可令△x=0,求 出结果即可. [规律方法] 070 》对点训练1 (1)(2025·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s=5-3,若该质点在时 间段[1,1+△]内相应的平均速度为-3△t-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是 A.-3 B.3 C.6 D.-6 (2)已知物体的运动方程是S=-4t2+16t(S的单位为m;t的单位为 s),则该物体在t=2s时的瞬时速度为 () A.3 m/s B.2 m/s C.1 m/s D.0 m/s 题型二求函数在某点处的导数 例2求)=-x在=2处的导数 [分析]利用导数的定义求导，利用“三步法”求解 规律方法： 求函数y=f(x)在x= x,处的眸时变化率的 步骤 (1)求函数值的玫变 量△y=f(x0+△x)- f(xo). ·[规律方法] (2)求函裁的平均变 )对点训练2 化率 求函数y=x+在x=1处的导数 A虹/+△x)-fx) △x △x (3)当△x无限趋近 于0时，求A趋近的 △x 常数（即求k=m △y 的值).函数y=f(x) 在x=x处的眸时变 化率即为函数y= f(x)在x=x0处的切 线斜率. ●071 题型三导数的几何意义 例3.(1)求函数y=2++5在x=2处的切线斜率 (2)曲线f(x)=3x+x2在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=5x-1 B.y=-5x+1 C.y=5x+1 Dy3-1 规律方法： 求曲线y=f(x)在点 P(xo,f(xo))处的切 线方程，则点P的坐 标既满足曲线方程， 又满足切线方程.若 点P处的切线斜率存 在，则点P处的切线 方程为 [规律方法] y=f(xo)(x-xo)+ f(x):若曲线y= 》】对点训练3 f(x)在点P处的切线 (1)求函数y=2x+1在x=2处的切线斜率 斜率不存在（此时切 线平行于y轴)，则点 (2)曲线《x)=2在点(-2，-1)处的切线方程为 P处的切线方程为 =x0. 072 题型四 求曲线的切线方程 例4.已知函数)=，曲线Cy=x). (1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. 点斜式方 [分析](1)求(1)→求切点 程求切线 (2)设切点(xo,y) 求f(x) 由(o)=6-l xo-1 写切线方程 求f(o6) 规律方法： 解决过点M(x1,y1)与曲线y =f(x)相切的切方程问题的 常用方法 方法一：（1)设切点为 P(xo,yo),则yo=f(x),切 线斜率k=∫(xo). (2)由kpw=k,得方程k= f(o)=4-/o) X1-X0 (3)化简上述方程，得关于 x0的方程，可求得x ●[规律方法] (4)确定y0,k,利用点斜式 得切线方程 》对点训练4 方法二：(1)设切点为 典例4第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ P(x,y),则切线方程为 y-yo=h(x-xo). (2)建立方程组 [Yo =f(xo), k=f(xo), y1-yo=k(1-x0). (3)解方程组，得k,x0,yo, 从而得切线方程 073 ●易错警示 基于导数运算公式的形式化计算 例5.(2025·广东省东莞市检测)若函数y=八)在x=6处可导，则m +h)-f-)等 于 () A.f'(x) B.2f'(xo) C.-2f'(xo) D.0 [误区警示]由于不理解导数定义中△x,△y的含义，缺乏对导数定义的形式化认识，而错选 [正解] [点评]导数的形式化定义的本质 导数的形式化计算是大学数学中的一个重点内容，但在中学阶段，特别是在对极限要求不高的 前提下，不必深入研究，其本质就是对导数概念f'(xo)=im +△e）-n）=linx）-fo的 △x x-xo 理解.需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x=x。及其附近的函数值有关，与 △x无关 课堂检测 固双基 1.一物体的运动方程为f(x)=x2-3x,则f'(0)4.已知函数y=f(x)在x=xo处的导数为1， = fx+△)-f()= 则li ( A.△x-3 B.(△x)2-3△x U 2△x C.-3 D.0 A.0 R C.1 D.2 2.（2025·阜阳高二检测)函数y=f(x)的图像 在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8, 5.已知曲线y=之-3上一点P1,一》，则过 则f(5)+f'(5)= 点P的切线的斜率为 A号 B.1 C.2 D.0 A③ B.1 C.-1 3 D.、3 3.已知函数f(x)=-1,则曲线y=f(x)在(1， -1)处的切线方程是 ( 夯基提能作业 A.x-y-2=0 B.2x-2y+3=0 请同学们认真完成练案[14] C.x+y=0 D.x-y=0知i识点二h）-h(/s) t2-t1 关键能力攻重难 例1：aB签-③=0-号号-1 （2)=中在区间[-1,0]上的平均变化*为兴 1 0)-1)-2-1 1 0-(-1) 1—=-2 八)=+2在区间1,3]上的平均变化率为兰 △x 11 80.52b 1 3-1 八)=中2在区间[%+1小上的平均变化率为 △x f(x+1)-f()11 -1 (x0+1)-00+3x0+2(x+2)(x0+3) 对点训练1：(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平 均变化率为3×02+5=3×0.1-5=0.9 0.2-0.1 (2)f(+△x)-f(x)=3(x+△x)2+5-(3后+5)= 36+6x△x+3(△x)2+5-3x号-5=6x△x+3(△x)2. 函数f(x)在区间[xo,+△x]上的平均变化率为 6x△x+3(△x)2 =6x0+3△x, Ax 例2：(1)-10平均速度为A==2×32-(-2×2)。 △t 3-2 -10,故该物体在t=2到t=3时的平均速度为-10. (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 s(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 为(10）-0=10（米/秒）. 10-0 对点训练2：(1)C由题意，△y=f(1+△t)-f(1) =2(1+△t)+1-3=4△t+2(At)2, 所以A=4+2(△=4+2A. △t △t (2)C在0到。范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一 样，所以平均速度相同；在。到1范围内，甲、乙所用的时间相 同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度大于乙的平均速度. 例3：B由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B 机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，]上的平均 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 好.故选B. 课堂检测固双基 1.D由题意，可得平均变化率 f+4x)-)_2(o+△）-2=2， △x Ax 故选D. 2.A函数f代x)=x2-1的自变量x由1变成1.1，所以△x= 1.1-1=0.1,△y=(1.12-1)-(12-1)=0.21, 兰-品引-21故选 3.DA-21+△2-2×1=4+24x △x △x 4.2根据题意，函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化 率为之-m-12-山=m+1m+1=3则m=2 △x m-1 17 6.1.2导数及其几何意义 必备知识探新知 知识点-f(）)=6f()=+a》-】 △x 知识点二切线的斜率y-f(x)=f(x)(x-x) 关键能力攻重难 例1光-+-@ △t _2(t+△)2+3-(2P+3)=4+2AE △t 当t=2,y=Q01时，=4×2+2×0，.01=8,02(cm/s (2)当1=2,4=001时.会=4×2+2×001=802 (cm/s). (3)v=lim mA:=im(4t+2△)=4t=4×2=8(cm/s). 0△t0 对点训练1：(1)D该质点在t=1时的瞬时速度为-6， 故选D. (2)D△S=-4(2+△t)2+16(2+△t)+4×22-16×2 =-4(△t)2, :As=-4A)2=-4. △t △t =经-g-4a9)=0 .物体在t=2s时的瞬时速度为0m/s. 例2：△y=f(2+△x)-f(2)=(2+△x)3-(2+△x)- (23-2)=(△x)3+6(△x)2+11△x, =(Ax)2+6Ax+11, △x =(a)产+6a+1=1,即'(2)=n 对点训练2：因为△y=(1+△x)+1+A-(1+1)=△x+ 1 1+4e1, 所哈1中a △x 所以=一(1-1+a)=0 例3：(1)当x=2时，4y=(2+△)了+2+△+5 1 (2+7+5）=4+(△)2+22+公 -△x 所以=4+Ar4+2A 所以-四4+A-+7a】 1 4+042x0=号.所以隔数在=2处的切线斜毕为 15 二 (2)A曲线f(x)=3x+x在点(1，f(1))处的切线的斜率 为k=1im31+△x)++△x)°-(3+D=5f(1)=4.由点斜 △x 式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1. 对点训练3：(1)因为4y=2(2+4x)+2+△ -(2x2+) 75 11 =2Ax+2+△x2' 所以比-2-22+4) 1 △x 所=是-2-22+a子 (2)x+2y+4=0点(-2，-1)在曲线fx)=2上. 2 因为m-2+A-2= -2+4x-(-1) △x △x 一-2十A方所以切线方程为y+1=方(x+2), 1 1 即x+2y+4=0. 例4：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, .切点P(1,1). f(1)=imL+A)'-L=1im[3+34x+(Ax)2]=3. △x .k=f(1)=3. .曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. (2)设切点为Q(x,),由(1)可知f(x)=3x号，由题意 可知o=f(,即安引=3话，又，=.所以 0-36,即 2-气-1=0解得=1或0=-分 ①当=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x- y-2=0. ②当。=号时，切点坐标为(-分，号）相应的切线 方程为+日+即341-0 对点训练4：由厂y=3x-2, 1y=x3, 解得↓或=2， F1y=1ly=-8, 从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),即切线与曲线 C的公共点除了切点处，还有另一公共点(-2，-8). 例5：B方法一：lin6+h）-八。-h h =+)-)+)--A h =lmo+h）-o）+1i f代xo)-f代o-h) h0 h h =f'(xo)+lim f[右+(-h)]-fxo) -h =f'(xo)+f'(x) =2f'(x). 方法二5+创九气 h =四[2×6+h),-2] 2h =21m6+h)--h) 2h =2f'(x). 课堂检测固双基 1.Cf'(0)=四0+4-30+4)-0+3x0 △x 17 =m（a)34=(4x-3)=-3. △x 2.C.y=f代x)的图像在，点P(5,f(5))处的切线方程为y=-x+ 8,可得y=f(x)在点P(5f(5)处的切点纵坐标和切线斜率分别 为f5)=-5+8=3f'(5)=-1, 则f(5)+f'(5)=2. 1 3Af(1)=1m1+4e-(-1) Ax=lim- 1 1+41, 所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+1=x-1, 即x-y-2=0,此即为切线方程. 4.B:函数y=f(x)在x=x处的导数为1， 则+-o:n+4)- 2△x =24x0 △x =(w)= 1 5.By=-3 x+42-3-(分2-30 ..y'=lim- △x (4)2+:4 =linp △x im(+2)= ∴y11=1,在点P1,-弓）的切线的斜率为1 6.1.3基本初等函数的导数 必备知识探新知 知识点二ar“-1 关键能力攻重难 例10x-()=ar=-4= ②y=派=寺y=()=号=手派 ③y'=(3*)'=3*ln3. ④y=(logx'=in5 1 (2)C(cosx)'=-sinx,.A不正确； (sinx)′=cosx,.B不正确； 2石D不正确 (E)'= 对点训练1：(1)Df代x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数， 所以f'(x)=0.所以f'(2)=0. (2)D)==3, 所以f'(x)=-3x4,所以f'(1)=-3. (3)①y'=(x)'=6x3 ②y'=(2*)'=2ln2. ③'=(logx)=1 aln 3' ④w=(=(y=-2 例2：B由于y,所以2石于是土=1，所 以曲线在点（子）处的切线的斜率等于1，切线方程为4x 6