6.3 利用导数解决实际问题-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[20] 第六章 导数及其应用 6.3[利用导数解决实际问题] b组·素养自测 二、填空题 7.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为 一、选择题 1.(2025·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油 x-940x(x>0),为使耗电量最小，则 y=3x- 精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果 其速度应定为 第x小时时，原油温度（单位：℃）为f(x)= 8.（2024·山东省实验中学高二期中)某商场销 3-x+8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时量 售某种商品，该商品的成本为3元/千克，每日 的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位： 变化率的最小值是 ( A.8 B.30 1 元/千克)满足关系式y=x-3+5(x-6)',其 中3<x<6,当销售价格为 元时，商场每 C.-1 D.-8 日销售该商品所获得的最大利润为 元 2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形 三、解答题 堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边 需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省， 9.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成 本为1万元，每生产1万件需要再投入2万 堆料场的长和宽应分别为（单位：米）( 元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件 A.32,16 B.30,15 并全部销售完，每万件的销售收人为(4-x)万 C.40,20 D.36,18 3.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立 元，且每万件国家给予补助(2e-2elnx-1) 方和最小，则应分为 万元.(e为自然对数的底数，是一个常数)》 A.2和6 B.4和4 (1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万 C.3和5 D.以上都不对 件)的函数解析式； 4.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则 (2)当月产量在[1,2e]万件时，求该公司在生 其表面积最小时，底面边长为 ( 产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万 A./V B.2V 元)及此时的月生产量值（万件）.（注：月利润 C.4 D.27 =月销售收人+月国家补助-月总成本) 5.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的 高为 A.23R 3 3 c n 6.某公司生产某种产品，固定成本为20000元， 每生产一单位产品，成本增加100元，已知总 营业收入R与年产量x的关系是R(x)= [400x- 2,0≤≤40 则总利润最大时，每 80000,x>400 年生产的产品是 A.100 B.150 C.200 D.300 154 10.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地 斗，其母线长20cm,要使其体积最大，则高为 逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静 水中的航行速度为v千米/时(8<v≤o).若 B.103 船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的 cm cm 3 3 航行速度的平方成正比，当v=12千米/时 时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为 c cm 0 cm 了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速3.已知圆柱的表面积为定值S,则当圆柱的容积 度v应为多少？ V最大时，圆柱的高h的值为 () A.VTS B.V6TS T 3下 C.vmS 3 D.VIS 3T 4.（2024·云南省云南师大附中高三月考)如图 所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两 部分组成，屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四 边形ABCD是正方形，点O为正方形ABCD的 中心，POL平面ABCD,下部的形状是长方体 ABCD-A'B'C'D' 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系 数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比， 比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为 10m,AB=8m的仓库，则当总造价最低时， P0= （) 4.4 -m B.43 5 男组·素养提升 ! C.4m 一、选择题 D.45m 1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年 二、填空题 最大规模的种植量是8万斤，每种植1斤藕， 5.(2025·高台第一中学高二期中)如图所示，某 成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)= 几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径 为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放 女+品如+行（✉是遂藕种植量，单位：万 入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与 斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2 外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值 万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年 为 需种植莲藕 )6.(2025·佛山高二开学考试)已知某公司生产 A.8万斤 B.6万斤 一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千 C.3万斤 D.5万斤 件，成本再增加3万元.假设该公司年内共生 2.（2025·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏 产该零件x千件并且全部销售完，每1千件的 155 销售收入为D(x)万元，且D（x)=:8.(2025·天津卷)已知函数∫(x)=ax- a6-60<s10 (In x)2. （1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线 195_1875 为使公司获得最大利润， x2,x>10, 方程； (2)f(x)有3个零点，x1,x2,x3且(x1< 则应将年产量定为 千件.（注：年利 x2<x3) 润=年销售收入一年总成本) ①求a的取值范围； 三、解答题 7.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小 ②证明n-la)n名<气 时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时) 133 的函数解析式可以表示为y=128000-80 +8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100 千米. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶 时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地 到乙地耗油最少？最少为多少升？ 156=1,同样与最小值是2相矛盾： ③当1<a<e时，函数fx)在[1，a)上有f'(x)<0,f(x)单调 递减，在(a,e]上有f'(x)>0,f(x)单调递增，所以，函数f(x)》 的最小值为a)=lna+1,由na+1=多，得a=E ④当a=e时，函数fx)在[1，e]上有f'(x)<0,f(x)单调递 减，其最小值为©)=2，这与最小值是相矛盾： ⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为 f代e)=1+g>2,仍与最小值是子多相矛盾： 综上所述，a的值为E 8.(1)因为f1)=0,故1-m-2+0=0,故m=-1,故f(x)= x-x-In x, 故f代x)≤x2-1即为x+nx≥1， 设s(x)=x+lnx,x>0,则s'(x)=1+>0,故s(x)在(0， +o)上为增函数， 而x+nx≥1即为s(x)≥s(1),故x≥1， 故原不等式的解集为[1，+o). (2)f(x)在(0，+o)上有极大值即为有极大值点. f（x)=2-(m+2)+m=2x-(m+2)x+m =(2x-m)(x-1) 若m≤0，则xe(0,1)时，f(x)<0,xe(1,+oo)时f(x)>0, 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍： 若0<%<1即0<m<2,则xe(受，时，f()<0, xe(0,2U(1,+o)时(x)>0, 故x=为f()的极大值点，符合题设要求； 若m=2,则xe(0,+o)时f(x)≥0，f代x)无极值点，舍； 若受>1即m>2,则xe(1,受）时(x)<0, xe(0,)U(受，+∞时(x)>0。 故x=1为f代x)的极大值点，符合题设要求 综上，m>0且m≠2. 练案[20] A组·素养自测 1.C瞬时变化率即为f'(x)=x2-2x,为二次函数，且f'(x)= (x-1)2-1,又xe[0,5], 故x=1时，f'(x)min=-1. 2.A要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽 为x米，则长为5米，因此新墙总长L=2x+5(x>0),则 L=2-令L=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为 2 侣=32（米），可使L最短 3.B设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x+(8 2 -x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8)，y'=48x-192.令y'=0, 即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时，y'<0;当4<x≤8 时，y'>0.所以当x=4时，y最小. 4.C如图，设底面边长为x(x>0), 则底面积S= V 4V 4 x,.h= 3x2 ·"×3+4x4+ S装=x·4 x 2 S表=x-45y x2 令S表=0得x=4V, 因为S表只有一个极值，故x=4为最小值点 5.A作轴截面如图所示，设圆柱体高为 2h,则底面半径为R2-h2,圆柱体体积 为V=T·(R2-h2)·2h=2πR2h -2mh3. 令V=0得2πR-6πh2=0, ∴A=R即当2h-2R时，圆柱休 3 的体积最大 6.D由题意，得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利润 P(x)=P(x)-C(x)= -20000.0≤x≤400， 300x-2 所以 l60000-100x,x>400 P'(x)= 300-x0≤x≤400，令P(x)=0,得x=30,易知x 1-100,x>400. =300时，总利润P(x)最大. 7.40由题设，知y'=x2-39x-40, 令y'>0,解得x>40或x<-1, 放函数y=了2-9：-40(x>0)在(40，+0)上单调递 增，在(0,40)上单调递减.∴当x=40时，y取得最小值.由此 得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 8.421设商场每日销售该商品所获得的利润为L元，则L= x-3)=[3+5x-6水x-3)=52-75e+360s 539(3<x<6),则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)= 15(x-4)(x-6),令>0，得3<x<4,令'<0，得4<x<6, 所以函数L=5x23-75x2+360x-539在(3,4)上单调递增，在 (4,6)上单调递减，所以x=4时，L取得最大值，最大值为 21元. 90)由题意可得对=4-+22四-士-小- =-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x>0) (2)f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2的定义域为[1,2e], 则f(x)=-2x+2(e+1)）-2e=-2(x-1)(x-e x 列表如下： x (1,e) e (e,2e] (x) × 0 一 f(x) 极大值 由上表得：f(x)=-x+2(e+1)x-2elnx-2在定义域[1， 2e]上的最大值为fe),且fe)=e2-2. 即月生产量在[1,2]万件时，该公司在生产这种小型产品中 所获得的月利润最大值为f(e)=e2-2,此时的月生产量值为 e(万件)· 10.设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k> 0),则y1=km2.当v=12时，y1=720,.720=k·122,得k =5,则y1=5w 设全程燃料费为y元，由题意，得y=f()=1·200 v-8 =1000m2 v-8 ÷f(）=2000(1-8)-1000w2-10002-16000 (v-8)2 (-8)2 令(v)=0,解得v=0(舍去)或v=16. 若o≥16，当v∈(8,16)时，f(v)<0,f(v)在(8,16)上单调 递减；当v∈(16，o]时，f(v)>0,f(v)在(16，o]上单调递 增.故当v=16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时 全程燃料费最省， 若o<16,则ve(8,o],且f()<0,f(v)在(8，o]上单调 递减.故当v=。时，y取得最小值，此时全程燃料费最省. 综上可得，若o≥16，则当v=16千米/时时，全程燃料费最 省；若o<16,则当v=o时，全程燃料费最省. B组·素养提升 ,B设销售的利润为，由题意，得g)=宫2+60 +2-1-之e0,8. 即=g2+62-1当=2时s2)=-1+子0 9 1=3解得a=2,故g()=日2+骨2-1，g()= +=x-6 3 当xe(0,6)时，g(x)>0,当x∈(6,8)时，g'(x)<0,所以函 数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以x=6 时，利润最大，故选B. 2.D设圆锥的高为xcm,则底面半径为√202-x(cm),其体 积为V=号m(202-)(0<x<20),V=号m·(400-3x), 号54=0（舍去.当0<<05 令P=0,解得x,=205,三 3 时，>0，当<20时.r<0当-0时，取最 3 大值. 3.B设圆柱的底面半径为r,高为h,则S=2r2+2πh. 所以h=S-2mr2 2Tr 又圆柱的体积()=mrh=(S-2r产) =1S-2mr 而"()=S-6C,而”(r)=0,得S=6r2,得h=2, 2 =V层所以=2层= 3π -21 即当圆柱的容积V最大时， 圆柱的高么为一 4.B如图，设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4. D 0 B D' A B 由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE. 在Rt△POE中，设∠PE0=0,则有P0=4tan0,PE=4 cos 0' 以上部屋顶面积为5三4Sa匹4。下部主体的高度为力 =10-4tan0, 所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k· 2-sin 0) cos 0+80k. 设0=20<0受）所以r(02。 令f(0)=0,得sn0=7,所以0=石 则当0<0<石时，(0)<0(0)在(0，石上单调递减： 6 当石<0<时，f(0)>00)在（石，受上单调递增： 所以当0=石时，0)有最小值，此时总造价最低，P0=4 6 3 m. 32 27 根据题意，画出图形： 由题意，设小圆柱体底面半径为cos0, 则高为1+sm0,0e(0,受） 小圆柱体体积V=T·cos20·(1+simn0). 设sin0=t,te(0,1), 则V=π·(1-t)(1+t)=π·(-t-t2+t+1). 则V=T·(-32-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1) 32匹 当=写时，=2器 6.25设年利润为W(x),W(x)=xD(x)-（3x+5) 36x-0-5,0<≤10， 190-1875-3x,x>10. 当0≤0时，r)=86-6=6+6=, 10 所以W(x)在(0,6)上单调递增，在(6,10]上单调递减，最大 值为W(6)=3.6×6 0-5=94万元 当>10时，W(x=190-1875-3x=190-(L875+3x≤ 190-2 875.3x=190-2×75=40, 5 当且仅当875=3，即x=25时，等号成立 综上所述，当x=25千件时，年利润最大， 7.(1)当x=40千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 40 25(小时).耗油(280×402-高×40+8)×25=17.5 (升) 所以当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小 时，设耗油量为f(x)升， 依题意得代x)=（128000 80t+8x100 133 12n2+0-50<s120. f=高-0-g0120 令f(x)=0,得x=80. 当xe(0,80)时，f(x)<0,fx)是减函数； 当xe(80,120]时，f(x)>0,f(x)是增函数. .当x=80时，fx)取到极小值f(80)=11.25(升). 因为fx)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值 所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油最少，最少为11.25升 8.(1)当a=1时f(x)=x-(nx)2,x>0, 则(x)=1-2n,则f(1)=1,且1)=1， x 则切点(1,1)，且切线的斜率为1， 故函数f代x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=, (2)①令fx)=ax-(lnx)2=0,x>0, 得a=(nx)? x 设g(x)=(mx)2 ,x>0, x 2血x.x-(nx)2 则g(x)= 血x(2-n x2 由8()=0解得x=1或e,其中g)=08(e)=号： 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减； 当1<x<e2时，g'(x)>0,g(x)在(1，e2)上单调递增； 当x>e2时，g'(x)<0,g(x)在(e2,+o)上单调递减。 且当x0时，g(x)→+0：当x→+o时， g(x）0. 如图作出函数g(x)的图象， -21 y=g(x) 4 e2 y=a 01e2 要使函数f(x)有3个零点， 则方程a=g(x)在(0，+oo)内有3个根，即直线y=a与函数 g(x)的图象有3个交点. 结合图象可知，0<a<4 故a的取值范图为(0，号) ②由图象可知，0<x1<1<2<e2<x3, 设nx1=t1,lnx2=t2,n3=53,则t1<0<t2<2<, rae1=t①， 满足{ae2=②， lae3=③， 由②③可得[血a+与=2m, IIn a+t =2ln a, 两式作差可得t3-t2=2(lnt3-nt2), 则由对数均值不等式可得2=专二6>5， In t;Int, 则4<4，故要证(h名-n名)·n名<。 即证华-。号只需证4一≤行 4e 即证-名≤义因为名<0，斤=ae<a,则- -t1<a, 周4导微天导合 e 设函数p(t)= 话1>2，则9()=“ (2-沙 e 当2<t<4时，p'(t)>0,则(t)在(2,4)上单调递增： 当t>4时，p'(t)<0,则p(t)在(4，+o)上单调递减； 故e(0=4(4)=乌即4()≤9 而由4e2-16e+16=4(e-2)2>0, 可知9<。兰成立，故命题得证