6.2.1 导数与函数的单调性-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[17] 第六章 导数及其应用 6.2[6.2.1 导数与函数的单调性] b组·素养自测 二、填空题 7.（2024·沙市区校级期中)函数y=x3-x2-x 一、选择题 1.下列函数中，在(0，+0)内为增函数的是( 的单调增区间为 A.y=sinx B.y=xe2 8.(2025·无锡期末)函数f(x)=x+2c0sx(0≤ C.y=x3-x D.y=Inx-x x≤2π)的单调递减区间为 2.y=xlnx在(0,5)上是 ( 三、解答题 A.单调增函数 9.求函数y=x3-2x2+x+1的单调区间. B.单调减函数 C在0，。)上单洞递减，。5上单调递增 D.在0，上单调递增，在。5上单调递减 3.(2025·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其 图像如图所示，则导函数'(x)的图像可能是 10.求下列函数的单调区间： f(x)=3x2-2In x. 4.(2024·江苏省宿迁市期中)函数f(x)= lnx的单调递减区间为 ( A.（-∞，5) B.(0,5) C.(5,+∞) D.(0,+∞) 5.（2025·吉林省四平市期末)三次函数f(x)= ax3-1在R上是减函数，则 ( A.a=1 B.a=2 C.a≤0 D.a<0 6.（2024·宁夏部分重点中学联考)若函数f(x) =-cosx+ax为增函数，则实数a的取值范围 为 () A.[-1,+0) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) —148 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.已知函数x)=了+a+c,旷(-1)=0(a 1.已知定义在R上的函数x)=3am++a ≠1). +1有三个不同的单调区间，则实数a的取值 (1)试用含a的代数式表示b; 范围是 (2)试确定函数f(x)的单调区间. .(-0,-1)U(1,+0） B.[-1,0)U(0,1] C.(-1,1) D.(-1,0)U(0,1) 2.(2025·上城区校级模拟)定义在R上的可导 函数f(x),已知y=e")的图像如图所示，则y =f(x)的增区间是 0 A.(-0,1) B.(-0,2) C.(0,1) D.(1,2) 3.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2022,对任 意x∈R,都有f'(x)<2x成立，则不等式f(x) 8.(2024·湖北重点中学联考)设函数f(x)=xe >x2+2018的解集为 () (k≠0) A.（-2,2) B.(-2,+0) C.(-0,-2) D.（-0,+∞） (1)求函数f(x)的单调区间； 4.(多选题)下列图像中，可以作为函数f(x)= (2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增， 言+a2+(公-1)x+1(aeR)的导两数 求k的取值范围。 f'(x)的图像的是 n 二、填空题 5.在R上可导的函数f(x)的图像 如图所示，则关于x的不等式x f'(x)<0的解集为 2025·苏州期末已知函数(x)=在风 间(m,m+2)上单调递减，则实数m的取值范 围为 -149（3)解法-=( =（x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)y (x+1)3 =x+1-(x-1)。2 (x+1) (x+1)2 解法二y==+1:2=1-2 x+1-x+1 +1 -( 8.设f(x)=ax2+brx+c(a≠0)， 则f'(x)=2ax+b. 所以x2f'(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+ bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1, ra-b=O, ra=2, 所以b-2c=0,解得b=2, Lc=1, lc=1, 所以f代x)=2x2+2x+1. 练案[17] A组·素养自测 1.B对于B,y=xe2,则y'=e2,.y=xe2在R上为增函数，在 (0,+∞)上也为增函数，选B. 2.Cy'=x'·lnx+x·(nx)'=lnx+l, 当0<<时，n<-1,即y<0, y在(0，日)上单调递减 当。<5时h>-1,y>0, y在（日小上单调递增 3.B由f代x)的图像可得，在y轴的左侧，图像下降f代x)递减， 即有导数小于0，可排除C,D; 再由y轴的右侧，图像先下降再上升，最后下降， 函数八x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A;则B正确。 故选B. 4B易知，函数)定义域为0，+)"()=-是+日 令f'(x)<0得0<x<5.故f(x)的单调递减区间为(0,5).故 选B. 5.Df'(x)=3a2,要使f(x)在R上为减函数，则f'(x)≤0在 R上恒成立，即a≤0，又a=0时，f'(x)=0恒成立，所以a≠ 0.综上a<0. 6.B由题意可得，f'(x)=sinx+a≥0恒成立，故a≥-sinx恒 成立.因为-1≤-sinx≤1，所以a≥1.故选B. 7(-0,-分）(1，+）由y=2--f"(到=3x 2x-1=3(x+3）x-1) 令f'(x)>0,解得x>1或x<-号 函数x)的单调递增区间是(-，一弓），山，+)。 放答案为(-0，-写)(1，+0) 8( 函数y=x+2cosx,∴.y=1-2simx<0, .'sinx2 又.xe[0,2π]， ()放答案为列石 9.函数y=x3-2x2+x+1的定义域为R,y'=3x2-4x+1=(x 1)(3x-1). 令y'=0得x=1或x=3 1 x=1和x=3把定义域分为三个区间，y在各区间上的正负 列表如下： (3 1 (1,+0) 2 0 0 y 单调递增 单调递减 单调递增 所以y=x-2x+x+1的单调递增区间为(-0，了）和(1， +女)，单调递减区同为兮， 10.函数的定义域为D=(0,+∞). f'(=6x-子，令'()=0，得名 3, 去) 用x1分割定义域D,得下表： o 3 (+ f'(x) 0 + f(x) :函数f(x)的单调递减区间为0,3) ,单调递增区间 为原力 B组·素养提升 1.D根据题意知，f'(x)=a2+2x+a,若函数f(x)=了ar+ x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax2+2x+a=0 有两个不相等的实根，△=4-4a2>0,且a≠0， 解得-1<a<1,且a≠0. 故实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1). 2.B由题意如图f'(x)>0,则y>1,对应的区间是(-0,2) 故函数y=f(x)的增区间为(-∞，2)， 故选B. 9 3.C令F(x)=f(x)-x2-2018,则F'(x)=f'(x)-2x<0, .F(x)在R上为减函数， 又F(-2)=f代-2)-4-2018=2022-2022=0. .当x<-2时，F(x)>F(-2)=0, 不等式f(x)>x2+2018的解集为(-0，-2). 4.ACf'(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f'(x)的图像开 口向上.当a≠0时f'(x)不是偶函数，其图像不关于y轴对 称，∴f'(x)的图像可以为C项图.当a=0时，f'(x)=x2-1, 为A项图.故选AC. 5(-*,-1U(0,1)由”(x)<0,可得>0， 或 Lf'(x)<0 <0,。由题图可知当-1<x<1时，f(x)单调递减. f'(x)>0, f'(x)<0,当x<-1或x>1时，f(x)单调递增f'(x)>0,则 -1<x<1{x<-1或x>,解得0<x<1或x<-1, x>0.或x<0, ∴xf'(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1). 6[-1,1f'(x)=x-3)(x+12 e 令f'(x)<0,解得：-1<x<3, 故fx)在(-1,3)上递减，故(m,m+2)≤(-1,3)， 故m≥；解得：-1≤m≤1，故答案为[-1,1山。 lm+2≤3， 7.(1)依题意，得f'(x)=x2+2ax+b, 由f'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. (2)由(1)得x)=子+a2+(2a-1) 故f'(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1), .a≠1，.-1≠1-2a. 令f'(x)=0,得x=-1或x=1-2a ①当a>1时，1-2a<-1, 当x变化时f'(x)与代x)的变化情况如下表： x (-0,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+o) f'(x) f(x) 由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(-o,1-2a)和 （-1,+o),单调递减区间为(1-2a,-1) ②当a<1时，1-2a>-1,同理可得函数f(x)的单调递增区间为 （-∞，-1)和(1-2a,+∞)，单调递减区间为(-1,1-2a). 综上，当a>1时，函数f代x)的单调递增区间为(-o,1-2a) 和(-1，+∞)，单调递减区间为(1-2a,-1): 当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(-0，-1)和(1- 2a,+0),单调递减区间为(-1,1-2a). 8.（1)f'(x)=(1+kx)e“,由f'(x)=(1+kx)e“=0,得x= (≠0).若k>0,则当x(-,-)时'()<0，函 数)单调递减，当(-+时，()>0，函数 单调递增；若k<0,则当xe(-0,-）时f”(x)>0,函数 )单调递增，当x(-名，+时(x)<0,函数代x)单调 递减当&>0时，增区间为(-，+，减区间为 (-0,)当<0时，增区间为(-0，)诚区间 为名，+ (2)解法一：由(1)知，若k>0,则当且仅当-名≤-1，即k≤ 1时，函数(x)在(-1,1)内单调递增，若k<0,则当且仅当 -大≥1，即k≥-1时，函数f(x)在(-1,1)内单调递增综 上可知，函数f(x)在(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是 [-1,0)U(0,1]. 解法二：.·f(x)在(-1,1)内单调递增，.f'(x)≥0在(-1， 1)内恒成立. 令g(x)=kx+1,则g(x)≥0在(-1,1)内恒成立， 若k>0,则g(-1)≥0，.-k+1≥0， .k≤1，.0<k≤1. 若k<0,则g(1)≥0，.k+1≥0，.k≥-1， .∴.-1≤k<0. .∴.k的取值范围是[-1,0)U(0,1] 练案[18] A组·素养自测 1.B根据导数的性质可知，若函数y=f(x)在这点处取得极 值，则f'(x)=0,即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x) =x3在R上是增函数f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值，即充分性不成立. 故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点 处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2.Cf'(x)的符号由正变负，则f(x。)是极大值，f'(x)的符号 由负变正，则代x)是极小值.由图像易知有两个极大值点，两 个极小值点. 3.C由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负 右正，又函数f(x),x∈R有唯一的极值，故当x∈(-∞，1)时， f'(x)≤0；当xe(1,+∞)时f'(x)0. 4.D由题意得f'(x)=3x2-12,由f'(x)=0得x=±2，当x∈ (-∞，-2)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，当x∈(-2,2) 时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减，当x∈(2，+∞)时，f'(x) >0,函数f(x)单调递增，所以a=2. 5.D函数f代x)=x(x-c)2的导数为f'(x)=(x-c)2+2x(x- c)=(x-c)(3x-c), 由f(x)在x=2处有极大值，即有f'(2)=0,即(c-2)(c-6) =0, 解得c=2或6，若c=2时，f'(x)=0,可得x=2或3， .2 由代x)在x=2处导数左负右正，取得极小值， 若c=6f'(x)=0,可得x=6或2， 由f(x)在x=2处导数左正右负，取得极大值， 综上可得c=6. 0