6.1.1 函数的平均变化率-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

3.D因为数列{a,}满足a1=1,aan+1=2“(neN*), 当n=1时，a2=2,当n≥2，a4a-1=2-l,则8出=2， _1 所以数列{a.}的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列{an}的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以S1=1x1-?+2x1-?0)-21-1+2× 1-2 1-2 21010-2=2×21011-3=2102-3,故选D. 4.C由a+1=-a。-2,有a.+a+1=-2,则S1ol=a1+(a2+ a3）+…+(a1m+a1o1)=1-2×50=-99. 故选C. 5.A因为a=l,a,11+a a.(nEN'), 1 所以a.>0,S1m>2 < 'a+la 根据浆加法可得，士≤1+”分”出，当且仅当n=1时取 2 等号，.an≥ 4 n+1)2 ≤a=n+ 1±a1t2nt3…4≤+/ an n+3' n+1 由累乘法可得a,≤(n+1)(n+2)' 6 当且仅当n=1时取等号， 由裂项求和法得： 所似s<6(宁号+写子+日方+…+励 =6(}品)<3，即时<m<3. 故选A. 6.(1)证明：当n≥2时，因为Sn+1=4a.,所以Sn=4a-1,两式相 减得，aa+1=4an-4a-小 所以an+1-2an=2(an-2am-1）. 当n=1时，因为Sn1=4am,所以S2=4a1,又a1=4,故a2= 12,于是a2-2a1=4, 所以{a.+1-2a.}是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以a-24=2,两边除以2得，2=-会=1 又号-2，所以{径}是以2为首项1为公老的等老数列 所以号=n+1,即a,=(n+1):2 (2)若选①：bn=aa+1-a.,即bn=(n+2)·2+1-(n+1）: 2"=(n+3)·2" 因为Tn=4×2+5×22+6×2+…+(n+3)×2”, 所以2Tn=4×22+5×2+6×2+…+(n+3)×2"+1. 两式相减得，-Tn=4×2+(22+2+…+2")-(n+3) X2*1 =8+4×(2"-D-(n+3)×21=-(n+2)x21+4 2-1 所以T,=(n+2)×2+1-4. 若选②：b,=g,4,即b,=10g,”+1+1og,2 n =log,”+L+n n 所以7.=（子+hbe2++g”）+1+2+…+n) 2 3 + n 2 =lg,(n+1)+1+nn 2 若选3，二用6，=4（位） anan+l antian =4(）=4[m+22可 1 1 a1am+1/ =1- 1 （n+2)2-元 7.(1)设等比数列{an}的公比为g>0, 因为a1=1,S2=a3-1,即41+a2=a3-1, 可得1+g=92-1,整理得g2-9-2=0,解得q=2或q=-1 (舍去)， 所以s=号=2-1 (2)(i)证明：由(1)可知ak=2-1,且keN*,k≥2， 当n=a41=2≥4时，则：=2*-1<2-1=n- In-1=a1-1<ak ,即ak<n -1<ak+1 可知a4=2-1,bn=k+1, bm-1=b4+(a+1-a4-1)·2k=k+2h(2-1-1)=k(2- 1), 可得bn-1-ak·b.=k(2*-1)-(k+1)2-1=(k-1)2-1-k ≥2(k-1)-k=k-2≥0， 当且仅当k=2时，等号成立，所以b.-1≥ak·b; (i)由(1)可知：S.=2”-1=a+1-1, 若n=1,则S1=1,b1=1; 若n≥2，则a41-a4=2-, 当2-1<i≤2*-1时，b,-b-1=2k,可知{b,}为等差数列， 可得字4=2+222山=4=寸(3站 k1 2 -1)4-(3k-4)4-1], 所以26，=1+5x-2×4+8×-5×4++(3n 1)4°-(3n-4)4-]=3n-)4+1,且n=1,符合上式，综 9 上所述：26，=(3n-1)4+1 9 第六章导数及其应用 6.1导数 6.1.1函数的平均变化率 必备知识探新知 知识点一-（或）-） △xx2-1（△x 平均变 x2-x1 化率 4 知i识点二h）-h(/s) t2-t1 关键能力攻重难 例1：aB签-③=0-号号-1 （2)=中在区间[-1,0]上的平均变化*为兴 1 0)-1)-2-1 1 0-(-1) 1—=-2 八)=+2在区间1,3]上的平均变化率为兰 △x 11 80.52b 1 3-1 八)=中2在区间[%+1小上的平均变化率为 △x f(x+1)-f()11 -1 (x0+1)-00+3x0+2(x+2)(x0+3) 对点训练1：(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平 均变化率为3×02+5=3×0.1-5=0.9 0.2-0.1 (2)f(+△x)-f(x)=3(x+△x)2+5-(3后+5)= 36+6x△x+3(△x)2+5-3x号-5=6x△x+3(△x)2. 函数f(x)在区间[xo,+△x]上的平均变化率为 6x△x+3(△x)2 =6x0+3△x, Ax 例2：(1)-10平均速度为A==2×32-(-2×2)。 △t 3-2 -10,故该物体在t=2到t=3时的平均速度为-10. (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 s(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 为(10）-0=10（米/秒）. 10-0 对点训练2：(1)C由题意，△y=f(1+△t)-f(1) =2(1+△t)+1-3=4△t+2(At)2, 所以A=4+2(△=4+2A. △t △t (2)C在0到。范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一 样，所以平均速度相同；在。到1范围内，甲、乙所用的时间相 同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度大于乙的平均速度. 例3：B由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B 机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，]上的平均 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 好.故选B. 课堂检测固双基 1.D由题意，可得平均变化率 f+4x)-)_2(o+△）-2=2， △x Ax 故选D. 2.A函数f代x)=x2-1的自变量x由1变成1.1，所以△x= 1.1-1=0.1,△y=(1.12-1)-(12-1)=0.21, 兰-品引-21故选 3.DA-21+△2-2×1=4+24x △x △x 4.2根据题意，函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化 率为之-m-12-山=m+1m+1=3则m=2 △x m-1 17 6.1.2导数及其几何意义 必备知识探新知 知识点-f(）)=6f()=+a》-】 △x 知识点二切线的斜率y-f(x)=f(x)(x-x) 关键能力攻重难 例1光-+-@ △t _2(t+△)2+3-(2P+3)=4+2AE △t 当t=2,y=Q01时，=4×2+2×0，.01=8,02(cm/s (2)当1=2,4=001时.会=4×2+2×001=802 (cm/s). (3)v=lim mA:=im(4t+2△)=4t=4×2=8(cm/s). 0△t0 对点训练1：(1)D该质点在t=1时的瞬时速度为-6， 故选D. (2)D△S=-4(2+△t)2+16(2+△t)+4×22-16×2 =-4(△t)2, :As=-4A)2=-4. △t △t =经-g-4a9)=0 .物体在t=2s时的瞬时速度为0m/s. 例2：△y=f(2+△x)-f(2)=(2+△x)3-(2+△x)- (23-2)=(△x)3+6(△x)2+11△x, =(Ax)2+6Ax+11, △x =(a)产+6a+1=1,即'(2)=n 对点训练2：因为△y=(1+△x)+1+A-(1+1)=△x+ 1 1+4e1, 所哈1中a △x 所以=一(1-1+a)=0 例3：(1)当x=2时，4y=(2+△)了+2+△+5 1 (2+7+5）=4+(△)2+22+公 -△x 所以=4+Ar4+2A 所以-四4+A-+7a】 1 4+042x0=号.所以隔数在=2处的切线斜毕为 15 二 (2)A曲线f(x)=3x+x在点(1，f(1))处的切线的斜率 为k=1im31+△x)++△x)°-(3+D=5f(1)=4.由点斜 △x 式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1. 对点训练3：(1)因为4y=2(2+4x)+2+△ -(2x2+) 75●065 第六章导数及其应用 6.1导数 6.1.1 函数的平均变化率 素养目标定方向 课程目标 学法指导 理解函数平均变化率的概念，会求函数的平 从物理和几何背景认识平均变化率 均变化率.（数学抽象) 必备知识探新知 知识点一函数的平均变化率 般地，若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,名∈D,x1≠x2,y1=f(x),y2=f(x),则称△x= x2-x为自变量的改变量；称△y=y2-y(或Af=f代x)-f(x)为相应的因变量的改变量；称 为函数y=f(x)在以x1,x2为端，点的闭区间上的 知识解读：函数平均变化率的几何意义： (1)如图所示，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1, f),B(,).事实上，k=）-fx-4y x2-x1 y↑ fx) B∠y= A) 0 (2)Ax可以为正数，也可以为负数，但△x不可以为0，△y可以为0：Ay可以为0.当平均变化率 △x 等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数.例如函数)=在区间[-2,2]的平均变化 Ar 率是0，但它不是常数函数. 知识点二平均速度与平均变化率 从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移 xm与时间ts的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)这段时间内的平均速度为 .这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率. 066 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一求函数的平均变化率 例1.(1)如图所示，函数y=x)在[1,3]上的平均变化率为 () A.1 B.-1 C.2 D.-20i3 （2)求两数=中2在区间-1,0].1,31，+1上的平均 变化率。 规律方法： 求函数平均变化率的 解题策略 (1)求函数y=f(x)在 ·[规律方法] 区间[x,x2]上的平 )对点训练1 均变化率的解题 已知函数f(x)=3x2+5,求： 步骤 (1)f(x)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率； ①求函裁值的增量： (2)f八x)在区间[x,x,+△x]上的平均变化率. △f=fx2)-f(x1): ②求自变量的增量： △x=x2-X1 ③作商即得平均变化 *到 ●067 题型二求物体运动的平均速度 例2（)若某一物体的运动方程为s=-2,那么该物体在1=2到1=3时 的平均速度为 (2)设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为 5二4+16（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 [规律方法] 》】对点训练2 (1)已知一物体的运动方程为y=f(t)=22+1,其中t的单位是s,路程规律方法： 单位为m,那么物体在时间[1,1+△t]内的平均速度为 物体运动的平均速度 A.4 B.4△t 就是s=h(t)在该段时 C.4+2△t D.2△1 间内的平均变化率 (2)物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况如 图所示，下列说法正确的是 ( A.在0到。范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t。范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在o到，范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在。到，范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 ●易错警示 不能正确识图致误 例 .A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W,(), ,(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 () A.两机关单位节能效果一样好 w叶w, B.A机关单位比B机关单位节能效果好 W() C.A机关单位的用电量在[0，]上的平均变化率比B机关单0 位的用电量在[0，t。]上的平均变化率大 D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 [错解]选C.因为在(0，to)上，W(t)的图像比W2(t)的图像陡峭，∴.在 (0,)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大。 [误区警示]从图上看，两机关单位在(0，o)上用电量的平均变化率都 取负值， [正解] [点评]识图时，一定要结合题意弄清图像所反映的量之间的关系，特别 是单调性，增长（减少）的快慢等要弄清. 068 课堂检测固双基 1.函数y=2x在区间[xo,x+△x]上的平均变化3.已知函数y=fx)=2x2的图像上的点P(1,2)及 率为 邻近点01+4,2+4A).则哈的值为 () A.x0+△x B.1+△x C.2+△x D.2 A.4 B.4x 2.(2025·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2- C.4+2(△x)2 D.4+2△x 1,当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变 4.函数f(x)=2-1在区间[1，m]上的平均变化 化率为 ) 率为3，则实数m的值为 A.2.1 B.1.1 夯基提能作业 C.2 D.0 请同学们认真完成练案[13] 6.1.2 导数及其几何意义 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.理解瞬时变化率与导数的概念，会用导数 的定义求函数在某点处的导数.（数学 充分理解瞬时速度的基础上，体会函数在某点的 运算) 瞬时变化率，进而理解导数的定义，体会运动变化 2.理解导数的几何意义，并能应用导数的几 和无限逼近的思想. 何意义解决相关问题.（逻辑推理） 必备知识探新知 知识点一瞬时变化率与导数 般地，设函数y=f(x)在x附近有定义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x无限接近于 0时，若平均变化率-+△)-八)无限接近于一个常数太，那么称常数人为函数八x)在 △x △x xo处的瞬时变化率此时，也称f(x)在x。处可导，并称k为(x)在x=x。处的导数，记作 为了简单起见，“当4x无限接近于0时6+△》-)无限接近于常数A“也帝用符号“一 △x (读作趋向T)表小为当Ax0时，心西+A-.成者与减+A-,即 △x △x 知识解读：对于y=f(x)在x=xo处的导数的理解要注意以下三点： (1)y=f(x)在x=x,处的导数即为函数y=f八x)在x=x。处的瞬时变化率，导数可以描述任何 事物的瞬时变化率，应用非常广泛 (2)y=f(x)在x=x处的导数表示为f'(xo)或yIx,函数在x=x处的导数f'(xo)只与x。有 关，与△x无关，函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变 量比值的极限，不是变量