6.2.2 第2课时 函数最值的求法-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

.f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,.a=1. fx)=x3-3x-1f'(x)=3x2-3, 由f'(x)=0解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值 f-1)=1, 在x=1处取得极小值f代1)=-3. :直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点，又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1). 8.(1)当a=-2时，fx)=(1+2x)ln(1+x)-x, 故（✉）-2(1+0+2-1=2m1+0-+1 1+x 因为y=2(1+)y=:+1在(-1，+0)上为增 函数， 故f'(x)在(-1，+∞)上为增函数，而f'(0)=0, 故当-1<x<0时f'(x)<0,当x>0时：f'(x)>0, 故f代x)在x=0处取极小值且极小值为f代0)=0，无极大值， (2f()=-h1+)+g-1=-ah1+)- (a+1)x,x>0, 1+x 设)=-1+0.9，>0， 则(x)=异- a+=-a(x+l)+a+L= (1+x)2 ax +2a+1 (1+x)2 当a≤-号时，()>0，放()在(0，+)上为增函数。 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0, 所以f(x)在[0，+0)上为增函数，故f(x)≥f0)=0. 当-7<a<0时，当0<<-2a+时，'()<0， a 故s()在(0，-2a）上为减函数，故在(0,2。上() <s(0), 即在(0，-2。)/'()<0)为减函数。 放在(0,2。x)<0)=0,不合题意，合 当a≥0，此时s'(x)<0在(0，+o)上恒成立， 同理可得在(0，+∞)上f(x)<f(0)=0恒成立，不合题意， 含综上，a≤分 练案[19] A组·素养自测 1.Ay'=6x2-6x-12,由y=0→x=-1或x=2(舍去).x= -2时y=1;x=-1时y=12;x=1时y=-8. ymx=12,ymin=-8.故选A. 2Bf'(x)=1-2nx=0,xe[0,受]时simx=方，=石 —2 当xe[0,石)时f'(x)>0fx)是增函数： 当xe(晋]时/'()<0x)是减函数， 即x=石x)取最大值，故选B 3.By'=e*-x·e=e(1-x),令y'=0, x=1f0)=04)41)=e=日 .f代1)为最大值.故选B. 4.C由题意，f'(x)=(x2+a+2x)·e. 因为函数f(x)有最小值且e>0, 所以函数存在单调递减区间， 即f(x)<0有解. 所以x2+2x+a=0有两个不等实根， 所以函数y=f(x)的零点个数为2， 故选C. 5.Bf'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,可得a=x2. .x∈(0,1)，.0<a<1,故选B. 6B由题意)=6=-2，则x)=anx-是 则f(x)=g+2-匹+2 X x2· :当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极 值点， ∴.f(1)=a+2=0,即a=-2. f(x)=-2x+2 x2, 易得函数在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减， 故x=1处，函数取得极大值，也是最大值， 则r2)=22+2-7 22 故选B. 7.32令f'(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2, 列表得： -3(-3,-2) -2 (-2,2) (2,3) f'(x) 0 0 fx)17 极大值24 极小值-8 可知M=24,m=-8,.M-m=32, 故答案为32. 8.[-4,-2]f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=受 由题设得-2≤≤-1，故me[-4,-2], 9.(1)fx)=ax3+bx+c,∴f'(x)=3a2+b, :f(x)在点x=2处取得极值c-16, f'(2)=0, Lf(2)=c-16. 「12a+b=0. 即 L8a+2b+c=c-16. 化简得 2a+6=0,解得{a=l, 4a+b=-8. 1b=-12. (2)由(1)知fx)=x3-12x+cf'(x)=3x2-12, 令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2, 当x∈(-0，-2)或xe(2,+∞)时，f'(x)>0,f(x)在 (-0,-2)和(2，+0)上为增函数， 当xe(-2,2)时f'(x)<0f(x)在(-2,2)上为减函数 由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x) 在x2=2处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知16+c= 28得c=12, 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16= -4, 因此f代x)在[-3,3]的最小值为f代2)=-4. 10.f(x)=-3x+3a=-3(x2-a). 若a≤0，则f(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x=0时，有 最大值f0)=0. 若a>0,则令f(x)=0,解得x=±√a.xe[0,1],则只考 虑x=√a的情况. ①若0<a<1,即0<a<1, 则当x=a时，f代x)有最大值f(√a)=2a√a. x,f(x),f(x)变化情况如下表所示： x 0 (0,a) √a (a,1) f(x) 0 f代x) 0 2a/a 3a-1 ②若a≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f(x)≥0，函数f代x) 在[0,1]上单调递增，当x=1时，f(x)有最大值f(1)= 3a-1. 综上可知，当a≤0，x=0时，f(x)有最大值0： 当0<a<1,x=a时，fx)有最大值2a√a; 当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1. B组·素养提升 1.Af(x)=4- 14x-1 x x>0, 令f()>0,得>4：令r)<0,得0<x<子 所以当x=子时，函数有最小值为f)=4×子-h子=1 1 +ln4=1+2n2.故选A. 2.C函数fx)=-x3+3bx(b>0), f'(x)=-3x2+3b, 令f'(x)=0,当b>0时，可得x=±b, xe(-o,-b),xe(6,+o),f'(x)<0,函数是减函数，则 函数的极大值：f(6)=2bb, 当xe[0,1]时f(x)的值域为[0,1]， 可知6≤1时⑥-2b6,解得6= 2 当b≥1时，f1)=-1+3b=1,无解. 当b≤0时，xe[0,1]时，fx)的值域为[0,1]，不成立； 函数f(x)=-x+3bx,当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0 】,则6的值是受。 故选C. 2 3.D函数x)满足f()+2)= .[fx)]'= 令F(x)=fx),则F'()= A2)=42)=号 由f()+2)=号，得'()-2① x3 令(x)=e-2F(x),则p'(x=e-2F'(x)=e（x-2】 ∴.p(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， p(x)的最小值为p(2)=e2-2F(2)=0.∴.p(x)≥0. 又x>0,.f'(x)≥0. ∴f代x)在(0，+∞)上单调递增. ∴f代x)既无极大值也无极小值.故选D. 4.ACD对A,因为函数fx)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1) (x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时，f'(x)<0,当x∈(-∞，1)或x∈(3， +∞)时，f'(x)>0 函数f代x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 (3,+0)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，正确； 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f代x)在(0,1)上单调递增，所以f代x)> f代x2),错误； 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减， 所以f代1)>f2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,正确； 对D,当-1<x<0时f(2-x)-fx)=(1-x)2(-2-x)- (x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f2-x)>f代x),正确； 故选ACD. 5.2-2n2+2a令F'(x)=1-2=-2=0得x=2. 当x∈(0,2)时f'(x)<0,当x∈(2，+0)时，f'(x)>0, ∴.当x=2时F(x)min=F(2)=2-2ln2+2a. 6.[e,+o）fx)≥2即a≥2x2-2x2lnx. 令g(x)=2x2-2x21nx,x>0,则g'(x)=2x(1-2nx). 由g(x)=0得x=e2, 且0<x<e时，g'(x)>0:当x>e时g'(x)<0, .x=e时，g(x)取最大值g(e2)=e,.a≥e. 7.函数fx)=lnx+的定义域为(0，+∞)， f'(x)=1-a-x-a (1)a<0,f'(x)>0, 故函数在其定义域(0，+∞)上单调递增. （(2)xe[1,e]时，分如下情况讨论： ①当a<1时f'(x)>0,函数f(x)单调递增，其最小值为f1) =a<1,这与函数在[1，]上的最小值是相矛盾； ②当a=1时，函数f代x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f1) =1,同样与最小值是2相矛盾： ③当1<a<e时，函数fx)在[1，a)上有f'(x)<0,f(x)单调 递减，在(a,e]上有f'(x)>0,f(x)单调递增，所以，函数f(x)》 的最小值为a)=lna+1,由na+1=多，得a=E ④当a=e时，函数fx)在[1，e]上有f'(x)<0,f(x)单调递 减，其最小值为©)=2，这与最小值是相矛盾： ⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为 f代e)=1+g>2,仍与最小值是子多相矛盾： 综上所述，a的值为E 8.(1)因为f1)=0,故1-m-2+0=0,故m=-1,故f(x)= x-x-In x, 故f代x)≤x2-1即为x+nx≥1， 设s(x)=x+lnx,x>0,则s'(x)=1+>0,故s(x)在(0， +o)上为增函数， 而x+nx≥1即为s(x)≥s(1),故x≥1， 故原不等式的解集为[1，+o). (2)f(x)在(0，+o)上有极大值即为有极大值点. f（x)=2-(m+2)+m=2x-(m+2)x+m =(2x-m)(x-1) 若m≤0，则xe(0,1)时，f(x)<0,xe(1,+oo)时f(x)>0, 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍： 若0<%<1即0<m<2,则xe(受，时，f()<0, xe(0,2U(1,+o)时(x)>0, 故x=为f()的极大值点，符合题设要求； 若m=2,则xe(0,+o)时f(x)≥0，f代x)无极值点，舍； 若受>1即m>2,则xe(1,受）时(x)<0, xe(0,)U(受，+∞时(x)>0。 故x=1为f代x)的极大值点，符合题设要求 综上，m>0且m≠2. 练案[20] A组·素养自测 1.C瞬时变化率即为f'(x)=x2-2x,为二次函数，且f'(x)= (x-1)2-1,又xe[0,5], 故x=1时，f'(x)min=-1. 2.A要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽 为x米，则长为5米，因此新墙总长L=2x+5(x>0),则 L=2-令L=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为 2 侣=32（米），可使L最短 3.B设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x+(8 2 -x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8)，y'=48x-192.令y'=0, 即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时，y'<0;当4<x≤8 时，y'>0.所以当x=4时，y最小. 4.C如图，设底面边长为x(x>0), 则底面积S= V 4V 4 x,.h= 3x2 ·"×3+4x4+ S装=x·4 x 2 S表=x-45y x2 令S表=0得x=4V, 因为S表只有一个极值，故x=4为最小值点 5.A作轴截面如图所示，设圆柱体高为 2h,则底面半径为R2-h2,圆柱体体积 为V=T·(R2-h2)·2h=2πR2h -2mh3. 令V=0得2πR-6πh2=0, ∴A=R即当2h-2R时，圆柱休 3 的体积最大 6.D由题意，得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利润 P(x)=P(x)-C(x)= -20000.0≤x≤400， 300x-2 所以 l60000-100x,x>400 P'(x)= 300-x0≤x≤400，令P(x)=0,得x=30,易知x 1-100,x>400. =300时，总利润P(x)最大. 7.40由题设，知y'=x2-39x-40, 令y'>0,解得x>40或x<-1, 放函数y=了2-9：-40(x>0)在(40，+0)上单调递 增，在(0,40)上单调递减.∴当x=40时，y取得最小值.由此 得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 8.421设商场每日销售该商品所获得的利润为L元，则L= x-3)=[3+5x-6水x-3)=52-75e+360s 539(3<x<6),则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)= 15(x-4)(x-6),令>0，得3<x<4,令'<0，得4<x<6, 所以函数L=5x23-75x2+360x-539在(3,4)上单调递增，在 (4,6)上单调递减，所以x=4时，L取得最大值，最大值为 21元. 90)由题意可得对=4-+22四-士-小- =-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x>0) (2)f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2的定义域为[1,2e], 则f(x)=-2x+2(e+1)）-2e=-2(x-1)(x-e x 列表如下： x (1,e) e (e,2e] (x) × 0 一 f(x) 极大值练案[19] 第六章 导数及其应用 6.2[6.2.2第2课时 函数最值的求法] b组·素养自测 8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2，-1]上 一、选择题 的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值 1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最 范围是 三、解答题 大值、最小值分别是 ( 9.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极 A.12;-8 B.1;-8 值为c-16, C.12;-15 D.5;-16 (1)求a,b的值； 2.使函数(x)=x+2osx在[0，]上取最大值 (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[-3,3]上 的x是 的最小值， A.0 B. 6 c D. 3.函数y=xe,x∈[0,4]的最大值是( A.0 B.1 e 4.已知函数f(x)=(x2+a)e有最小值，则函数 y=(x)的零点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.不确定 5.函数fx)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值， 则a的取值范围为 ( ）10.a为常数，求函数f(x)=-x+3ax(0≤x≤ A.0≤a<1 B.0<a<1 1)的最大值 C.-1<a<1 D.0<a<2 1 6.当x=1时，函数fx)=adnx+么取得最大值 -2,则f'(2)= A.-1 c D.1 二、填空题 7.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3] 上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m= —152 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.已知函数f(x)=lnx+a 1.函数f(x)=4x-lnx的最小值为 (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间； A.1+2ln2 B.1-2ln2 C.1+In 2 D.1 -In 2 (2)若函数(x)在[1，e]上的最小值是，求a 2.(2025·梧州一模)设函数f(x)=-x3+3bx, 的值. 当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的 值是 A B.② w.t 2 e 0 2 3.（2025·潍坊高二检测)设函数f(x)满足 f()+2)2)-后则x>0时. f(x) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 8.(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m+2)x+ D.既无极大值也无极小值 mlnx,m∈R. 4.(2024·新课标I卷)设函数f(x)=(x-1)2 (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的 (x-4),则 解集； A.x=3是f(x)的极小值点 (2)若函数y=f(x)满足在(0，+o∞)上存在极 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) 大值，求m的取值范围； C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 二、填空题 5.若F(x)=x-2lnx+2a,则F(x)在(0，+0) 上的最小值是 6.已知函数f()=2hx+是(a>0).若当xe (0,+∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取 值范围是 -153