6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

3.C令F(x)=f(x)-x2-2018,则F'(x)=f'(x)-2x<0, .F(x)在R上为减函数， 又F(-2)=f代-2)-4-2018=2022-2022=0. .当x<-2时，F(x)>F(-2)=0, 不等式f(x)>x2+2018的解集为(-0，-2). 4.ACf'(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f'(x)的图像开 口向上.当a≠0时f'(x)不是偶函数，其图像不关于y轴对 称，∴f'(x)的图像可以为C项图.当a=0时，f'(x)=x2-1, 为A项图.故选AC. 5(-*,-1U(0,1)由”(x)<0,可得>0， 或 Lf'(x)<0 <0,。由题图可知当-1<x<1时，f(x)单调递减. f'(x)>0, f'(x)<0,当x<-1或x>1时，f(x)单调递增f'(x)>0,则 -1<x<1{x<-1或x>,解得0<x<1或x<-1, x>0.或x<0, ∴xf'(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1). 6[-1,1f'(x)=x-3)(x+12 e 令f'(x)<0,解得：-1<x<3, 故fx)在(-1,3)上递减，故(m,m+2)≤(-1,3)， 故m≥；解得：-1≤m≤1，故答案为[-1,1山。 lm+2≤3， 7.(1)依题意，得f'(x)=x2+2ax+b, 由f'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. (2)由(1)得x)=子+a2+(2a-1) 故f'(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1), .a≠1，.-1≠1-2a. 令f'(x)=0,得x=-1或x=1-2a ①当a>1时，1-2a<-1, 当x变化时f'(x)与代x)的变化情况如下表： x (-0,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+o) f'(x) f(x) 由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(-o,1-2a)和 （-1,+o),单调递减区间为(1-2a,-1) ②当a<1时，1-2a>-1,同理可得函数f(x)的单调递增区间为 （-∞，-1)和(1-2a,+∞)，单调递减区间为(-1,1-2a). 综上，当a>1时，函数f代x)的单调递增区间为(-o,1-2a) 和(-1，+∞)，单调递减区间为(1-2a,-1): 当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(-0，-1)和(1- 2a,+0),单调递减区间为(-1,1-2a). 8.（1)f'(x)=(1+kx)e“,由f'(x)=(1+kx)e“=0,得x= (≠0).若k>0,则当x(-,-)时'()<0，函 数)单调递减，当(-+时，()>0，函数 单调递增；若k<0,则当xe(-0,-）时f”(x)>0,函数 )单调递增，当x(-名，+时(x)<0,函数代x)单调 递减当&>0时，增区间为(-，+，减区间为 (-0,)当<0时，增区间为(-0，)诚区间 为名，+ (2)解法一：由(1)知，若k>0,则当且仅当-名≤-1，即k≤ 1时，函数(x)在(-1,1)内单调递增，若k<0,则当且仅当 -大≥1，即k≥-1时，函数f(x)在(-1,1)内单调递增综 上可知，函数f(x)在(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是 [-1,0)U(0,1]. 解法二：.·f(x)在(-1,1)内单调递增，.f'(x)≥0在(-1， 1)内恒成立. 令g(x)=kx+1,则g(x)≥0在(-1,1)内恒成立， 若k>0,则g(-1)≥0，.-k+1≥0， .k≤1，.0<k≤1. 若k<0,则g(1)≥0，.k+1≥0，.k≥-1， .∴.-1≤k<0. .∴.k的取值范围是[-1,0)U(0,1] 练案[18] A组·素养自测 1.B根据导数的性质可知，若函数y=f(x)在这点处取得极 值，则f'(x)=0,即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x) =x3在R上是增函数f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值，即充分性不成立. 故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点 处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2.Cf'(x)的符号由正变负，则f(x。)是极大值，f'(x)的符号 由负变正，则代x)是极小值.由图像易知有两个极大值点，两 个极小值点. 3.C由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负 右正，又函数f(x),x∈R有唯一的极值，故当x∈(-∞，1)时， f'(x)≤0；当xe(1,+∞)时f'(x)0. 4.D由题意得f'(x)=3x2-12,由f'(x)=0得x=±2，当x∈ (-∞，-2)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，当x∈(-2,2) 时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减，当x∈(2，+∞)时，f'(x) >0,函数f(x)单调递增，所以a=2. 5.D函数f代x)=x(x-c)2的导数为f'(x)=(x-c)2+2x(x- c)=(x-c)(3x-c), 由f(x)在x=2处有极大值，即有f'(2)=0,即(c-2)(c-6) =0, 解得c=2或6，若c=2时，f'(x)=0,可得x=2或3， .2 由代x)在x=2处导数左负右正，取得极小值， 若c=6f'(x)=0,可得x=6或2， 由f(x)在x=2处导数左正右负，取得极大值， 综上可得c=6. 0 6.Dy'=3x2-2a,因为函数在(0,1)内有极小值， 所以y'=3x2-2a=0在(0,1)内必有实数解， 记fx）=3x2-2a,如图 y=f(x) 0 所以0)=-2a<0解得0<a<号，故选D f1)=3-2a>0, 。1 7.c<4“f'()=-x+c且f)有极值， ∴f'(x)=0有不等的实数根， 即△=1-4c>0,解得c<4 1 8.3函数fx)=x3+a f=-是 x=1是函数f代x)的一个极值点， ∴f'(1)=0,即3-a=0,∴.a=3.故答案为3. 9.(1).f(x)=2x3+3x2+ax+b, f'(x)=6x2+6x+a, 曲线y=f代x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=-12x+1, 所以f(0)=b=1,f'(0)=a=-12, fx)=2x3+3x2-12x+1; (2)由(1)得f'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1), 令f'(x)=0,x=-2或x=1, f'(x)>0,x<-2或x>1,f'(x)<0,-2<x<1, f(x)递增区间是（-∞，-2)，（1，+∞)，递减区间 是(-2,1)， x)的极大值为f代-2)=21，极小值为f1)=-6. 10.(1):f'(x)=(2x+3)e+(x2+3x+1)e=(x2+5x+4)e* =(x+1)(x+4)e, .当xe（-∞，-4)U(-1,+0)时f'(x)>0: 当x∈(-4，-1)时，f'(x)<0,∴.f代x)的单调递增区间为 (-0,-4)和(-1，+0)，单调递减区间为(-4，-1). (2)由(1)可知f(x)在x=-4处取得极大值，在x=-1处 取得极小值，八)的极大值为-4)=5e·=三，极小值 为-1)=-e1=- e B组·素养提升 1.A了'()=子+a,若x)在=1处取得极值，则/() 2+a=0,解得a=-2. 故)=2nx-2x'()=2-2,()>0,解得0<x< 1,令f'(x)<0,解得x>1,故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1， +0)上单调递减，x=1是极大值点，符合题意.故选A. 2.Af'(x)=3x2-2px-9, 2 由)=0得P=2 "Lf1)=0,lq=-1. .f'(x)=3x2-4x+1. 令f'()=0得x=了或x=1, 易得x=了时)有极大值号x=1时)有极小值0 3.D“f(x)=2c(e-1 e e)2ge女fe) f(x)=2-令f(x)=0,则x=2e xe】 ∴.x∈(0,2e)时，f(x)>0,fx)单调递增； xe(2e,+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减. ∴.f代x)的极大值为f代2e)=2ln2e-2=2ln2,选D. 4.AD由f代x)=2x3-3a2+1,得f'(x)=6x(x-a). 当a>1时，f(x)在（0，a)上单调递减，在 (-o,0)和(a,+0)上单调递增； f(x)的极大值f(0)=1>0,f(x)的极小值 f(a)=1-a3<0,所以f代x)有三个零点，故A正确； 当a<0时，f(x)在（a,0)上单调递减，在 (-0,a)和(0，+∞)上单调递增，x=0是极小值点，故B 错误； 任何三次函数不存在对称轴，故C错误； 当a=2时fx)=2x3-6x2+1=2(x-1)3-6(x-1)-3,关 于点(1，-3)中心对称，故D正确.故选AD. 5(3,号)f()=-ax+2. ∴x1,x2是f'(x)=0的两个根， 由0<x1<1<名<3，结合二次函数的性质得： f'(0)=2>0, /')=1-a+2<0,解得3<a<号 f'(3)=9-3a+2>0. 6(0,）由题知，x>0f()=nx+1-2a,由于函数x) 有两个极值点，则f'(x)=0有两个不等的正根，即函数y= lnx+1与y=2ax的图像有两个不同的交点(x>0),则a>0; 设函数y=lnx+I上任一点(xo,1+nx。)处的切线为l,则 6,=y=,当1过坐标原点时，1+1n=1,令2a= 1 .1 1a=2…0<a<2 7.(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a<0时，对x∈R,有f'(x)>0, ∴.当a<0时，f(x)的单调增区间为(-o,+∞)； 当a>0时，f'(x)>0解得x<-√a或x>a. 由f'(x)<0解得-√a<x<a; ∴.当a>0时f代x)的单调增区间为(-o,-√a)； (√a,+∞)：f(x)的单调减区间为(-a,√a). (2).f代x)在x=-1处取得极大值， .f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,.a=1. fx)=x3-3x-1f'(x)=3x2-3, 由f'(x)=0解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值 f-1)=1, 在x=1处取得极小值f代1)=-3. :直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点，又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1). 8.(1)当a=-2时，fx)=(1+2x)ln(1+x)-x, 故（✉）-2(1+0+2-1=2m1+0-+1 1+x 因为y=2(1+)y=:+1在(-1，+0)上为增 函数， 故f'(x)在(-1，+∞)上为增函数，而f'(0)=0, 故当-1<x<0时f'(x)<0,当x>0时：f'(x)>0, 故f代x)在x=0处取极小值且极小值为f代0)=0，无极大值， (2f()=-h1+)+g-1=-ah1+)- (a+1)x,x>0, 1+x 设)=-1+0.9，>0， 则(x)=异- a+=-a(x+l)+a+L= (1+x)2 ax +2a+1 (1+x)2 当a≤-号时，()>0，放()在(0，+)上为增函数。 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0, 所以f(x)在[0，+0)上为增函数，故f(x)≥f0)=0. 当-7<a<0时，当0<<-2a+时，'()<0， a 故s()在(0，-2a）上为减函数，故在(0,2。上() <s(0), 即在(0，-2。)/'()<0)为减函数。 放在(0,2。x)<0)=0,不合题意，合 当a≥0，此时s'(x)<0在(0，+o)上恒成立， 同理可得在(0，+∞)上f(x)<f(0)=0恒成立，不合题意， 含综上，a≤分 练案[19] A组·素养自测 1.Ay'=6x2-6x-12,由y=0→x=-1或x=2(舍去).x= -2时y=1;x=-1时y=12;x=1时y=-8. ymx=12,ymin=-8.故选A. 2Bf'(x)=1-2nx=0,xe[0,受]时simx=方，=石 —2 当xe[0,石)时f'(x)>0fx)是增函数： 当xe(晋]时/'()<0x)是减函数， 即x=石x)取最大值，故选B 3.By'=e*-x·e=e(1-x),令y'=0, x=1f0)=04)41)=e=日 .f代1)为最大值.故选B. 4.C由题意，f'(x)=(x2+a+2x)·e. 因为函数f(x)有最小值且e>0, 所以函数存在单调递减区间， 即f(x)<0有解. 所以x2+2x+a=0有两个不等实根， 所以函数y=f(x)的零点个数为2， 故选C. 5.Bf'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,可得a=x2. .x∈(0,1)，.0<a<1,故选B. 6B由题意)=6=-2，则x)=anx-是 则f(x)=g+2-匹+2 X x2· :当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极 值点， ∴.f(1)=a+2=0,即a=-2. f(x)=-2x+2 x2, 易得函数在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减， 故x=1处，函数取得极大值，也是最大值， 则r2)=22+2-7 22 故选B. 7.32令f'(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2, 列表得： -3(-3,-2) -2 (-2,2) (2,3) f'(x) 0 0 fx)17 极大值24 极小值-8 可知M=24,m=-8,.M-m=32, 故答案为32. 8.[-4,-2]f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=受 由题设得-2≤≤-1，故me[-4,-2], 9.(1)fx)=ax3+bx+c,∴f'(x)=3a2+b, :f(x)在点x=2处取得极值c-16, f'(2)=0, Lf(2)=c-16. 「12a+b=0. 即 L8a+2b+c=c-16. 化简得 2a+6=0,解得{a=l, 4a+b=-8. 1b=-12.练案[18] 第六章 导数及其应用 6.2[6.2.2第1课时 函数的导数与极值] 化组·素养自测 实数a的取值范围是 一、选择题 A.(0,3) B.(-0,3) 1.已知函数y=f(x)在定义域内可导，则函数y C.(0,+∞) D.（0,2 =f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x) 二、填空题 在这点处取得极值的 ( A.充分不必要条件 7已知函数)=宁-++有极值，则 B.必要不充分条件 c的取值范围为 C.充要条件 D.非充分非必要条件 8.若x=1是函数f(x)=x+a的一个极值点， 2.函数f(x)的定义域为R, +f) 则实数a= 导函数f'(x)的图像如图 ! 三、解答题 所示，则函数f(x)() 9.设函数fx)=2x3+3x2+ax+b,曲线y=f(x) A.无极大值点，有四个极 在点(0，f(0))处的切线方程为y=-12x+1. 小值点 (1)求f(x)的解析式： B.有三个极大值点，两个 (2)求f(x)的极值. 极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 3.已知函数y=f(x),x∈R有唯一的极值，且x= 1是f(x)的极小值点，则 () A.当x∈(-0,1)时，f'(x)≥0；当x∈ (1,+∞)时，f'(x)≤0 B.当x∈（-0,1)时，f'(x)≥0；当x∈10.(2024·重庆渝东六校高二联考)设函数 (1,+∞)时，f'(x)≥0 f(x)=(x2+3x+1)e. C.当xe（-∞，1)时，f'(x)≤0；当x∈ (1)求函数f(x)的单调区间； (1,+∞)时，f'(x)≥0 (2)求函数f(x)的极值. D.当x∈（-∞，1)时，f'(x)≤0；当x∈ (1,+∞)时，f'(x)≤0 4.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则 a= A.-4 B.-2 C.4 D.2 5.已知函数f(x)=x(x-c)2,在x=2处取得极 大值，则实数c的值是 房 B.2 C.2或6 D.6 6.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值，则： 150 8组·素养提升 三、解答题 7.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. 一、选择题 1.(2025·河北省邯郸市期中)已知函数f(x)= (1)求f(x)的单调区间： (2)若f代x)在x=-1处取得极大值，直线y= 2lnx+ax在x=1处取得极值，则实数a= m与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围. A.-2 B.2 C.0 D.1 2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切 于点(1,0)，则f(x)的极值为 A极大值为号极小值为0 B.极大值为0，极小值为号 C极小值为-27，极大值为0 D极大值为-号，极小值为0 3.已知函数fx)=2ef(e)lnx-。(e是自然对 数的底数)，则f(x)的极大值为 )8.(2024·全国甲卷理)已知函数f(x)=（1 A.2e-1 B.-1 ax)In(1+x)-x. e (1)当a=-2时，求f(x)的极值； C.1 D.2In 2 (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 4.(多选题)设函数f代x)=2x3-3ax2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的 对称中心 二、填空题 5.已知)=分2-2+2x+1,是f) 的两个极值点，且0<x,<1<x2<3,则实数a的 取值范围为 6.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点， 则实数a的取值范围是 151