5.5 数学归纳法-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

052 课堂检测固双基 1.计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格5.如图所示，是毕达哥拉斯的生长程序：正方形 每年降低号，现在价格为810元的计算机3 上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角 形的直角边上再连接正方形…如此继续.一 年后的价格可降低为 ( 共得到1023个正方形，设初始正方形的边长 A.300元 B.900元 为√2，则最小正方形的边长为 C.2400元 D.3600元 2.有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯？”通 过计算得到的答案是 A.2 B.3 C.4 D.5 3.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称 “孙子定理”，该定理涉及的是数的整除问题， 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日 常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展 做出了巨大贡献.现有这样一个整除问题：将 1到2019这2019个整数中能被5除余2且 被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列， 构成数列{an},那么此数列的项数为( A.58 B.59 C.60 D.61 4.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量 月平均增长率为P,则今年12月份的月产量比 去年同期增加的比率为 A.(1+p)2 B.(1+p)12-1 夯基提能作业 C.(1+p)" D.12p 请同学们认真完成练案[11] 5.5 数学归纳法 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.借助教材实例了解数学归纳法的原理.（数学 1.充分运用多米诺骨牌的影像或者实验体会数 抽象) 学归纳法的含义， 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 2.通过一些实际案例，认真体会归纳奠基和归 （逻辑推理) 纳递推的内涵以及归纳法推理的结构化 3.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数 特征. 有关的数学问题.（数学运算、逻辑推理) ●053 必备知识探新知 知识点数学归纳法的定义 一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n=no时，命题成立； (2)在假设n=k(其中k≥no)时命题成立的前提下，能够推出n=k+1时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于，的所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 知识解读：1.步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n=k(k∈N,k≥o)时命 题成立”起着已知的作用，证明“当=k+1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有 关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入归纳假 设，此时n=k+1时命题成立也是假设，命题并没有得证 2.一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项及前项和等问题都可以用数学归纳 法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决 3.第一个值no是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值no都是1. 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一对数学归纳法的理解 例1.(1)用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)m时，归纳奠基中%的取值应为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)一个关于自然数n的命题，如果证得当n=1时命题成立，并在假设当n=k(k≥1且k∈ N*)时命题成立的基础上，证明了当=k+2时命题成立，那么综合上述，对于() A一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 》对点训练1 (2024·广东佛山期末)用数学归纳法证明“1， 的1，+。+·士一>。”时，由左室到斥+人李 2n34 式左边的变化是 () A.增加2(k+1 一项 B塔加2水+7利2+2两项 C增加水十和十2两项，同时减少中一项 D.以上结论都不正确 题型二归纳一猜想一证明 例2（(2025·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列1a是正数组成的数列，其前n项和为S, 对于一切neN*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)计算a1,a2,a3,并由此猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想. 054 [分折]1)由题意-02》，令n=1,因为3：a,可求出a的 值，再反复代入，分别求出2,3，总结出规律写出通项公式； (2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当=k时成立，然后 利用已知条件验证n=k+1时也成立，从而求证. 规律方法： 用裁学归纳法求戴列 通项公式的一般步骤 1.由已知条件求出裁 [规律方法] 列的前几项 》对点训练2 2.依据求出的前几项 (2025·甘肃武威高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*). 猜想裁列的通项. 3.用数学归纳法证明 (1)计算a1,a2,a3,a4; 上面的猜想是正 (2)猜想α，的解析式，并用数学归纳法证明你的结论. 确的. 题型三用数学归纳法证明等式 例3.用数学归纳法证明： $$： 1 + 3 \times 2 + 5 \times { 2 ^ { 2 } } + \cdots + \left( 2 n - 1 \right) \times { 2 ^ { n - 1 } } = 2 ^ { n } \left( 2 n -$$ $$\left. 3 \right) + 3 \left( n \in { N ^ { * } } \right) .$$ [分析]按照数学归纳法证题的步骤进行证明. 规律方法： 用数学归纳法证明等 式时，一是弄清n取 第一个值 $$n _ { 0 }$$ ，时等式两 端项的情况；二是弄 清从 n=k 到 n=k+1 等式两端的项是如何 [规律方法] 变化的，即增加了哪 〉对点训练3 些项，减少了哪些 用数学归纳法证明： 项；三是证明 n=k+ $$\frac { 1 ^ { 2 } } { 1 \times 3 } + \frac { 2 ^ { 2 } } { 3 \times 5 } + \cdots + \frac { n ^ { 2 } } { \left( 2 n - 1 \right) \left( 2 n + 1 \right) } = \frac { n \left( n + 1 \right) } { 2 \left( 2 n + 1 \right) } ， \left( n \in { N ^ { * } } \right)$$ 1时结论也成立，要 设法将待证式与归纳 假设建立联系，并向 n=k+1 时证明目标 的表达式进行变形. 规律方法： 用数学归纳法证明不 等式和证明恒等式注 题型四用数学归纳法证明不等式 意事项大致相同，需 例4.用数学归纳法证明： $$1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } < 2 - \frac { 1 } { n } \left( n \ge 2 \right) .$$ 要注意的是 (1)在应用归纳假设 [分析]按照数学归纳法的步骤证明，由 n=k 到 n= +1 的推证过程 证明过程中，方向不 可应用放缩技巧，使问题简单化. 明确时，可采用分析 法完成，经过分析我 到推证的方向后，再 用综合法、比较法等 其他方法证明. (2)在推证 'n=k+ 1时不等式也成立” 的过程中，常常要将 表达式作适当放缩变 形，以便于应用归纳 假设，变换出要证明 的结论. [规律方法] 056 》对点训练4 用数学归纳法证明：1+++…+上<2anN)】 25n ●易错警示 未用归纳假设而致误 例5用数学归纳法证明：2+2++2=2(2-1)(n>2,neN). [错解](1)当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(22-1)=6，等式成立. (2)假设n=k时，结论成立，即2+2+…+2-1=2(2-1-1)，那么由等比数列的前n项和公式，得 2+2+…+2+2_21-22=2(2-1）. 1-2 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，等式对任意n>2,n∈N*都成立. [误区警示]错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式.由于未用归纳假 设，造成使用数学归纳法失误 [正解] 057 [点评]在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. 其中，第一步是递推的基础，验证n=no时结论成立的no不一定为1，根据题目要求，有时可为 2,3等：第二步是递推的依据，证明=k+1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就 不是数学归纳法 课堂检测固双基 1.用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=5.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1. (n+1)(2n+1)时，在验证n=1成立时，左边所 (1)写出a1,a2,a3,并推测a.的表达式； 得的代数式是 ( (2)用数学归纳法证明所得的结论. A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.(2025·玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归 纳法证明1-号+}-+…+1 'n-1 n 22+时若已假设0- 2n 2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再 证n= 时等式成立 () A.n=k+1 B.n=k+2 C.n=2k+2 D.n=2(k+2) 3.某命题与自然数有关，如果当n=k(k∈N*) 时该命题成立，则可推得n=k+1时该命题也 成立，现已知当n=5时该命题不成立，则可推 得 () A.当n=6时，该命题不成立 B.当n=6时，该命题成立 C.当n=4时，该命题不成立 D.当n=4时，该命题成立 4卫知a)-1+分+写+…+aeN).计算 得2)=f(4)>2f(8)>子16)>3， 夯基提能作业 f32)>子，由此推测，当n>2时，有 请同学们认真完成练案[12]2-a盏灯，所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381, ..a=3. 3.A能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的 数，故a.=2+(n-1)35=35n-33.由a.=35n-33≤2019， 得≤58+号.4eN,故比数列的项数为58 4.B由题意，今年12月份的月产量为a(1+p)2,则增加的比 率为a1+p）严-a=(1+pm1. :记初始正方形的边长为a1,经过(n-1)次生长后的正方 形的边长为a.,经过(n-1)次生长后正方形的个数为b., 由题可知，数列，}是以D为首项，二为公比的等比数列， a。=22) 2 =2- 由题意可知，6.=1+2+2+…+2-1=1·(2°-山=2”-1 2-1 令bn=2”-1=1023,解得n=10. 绿小正方形的边长为。=21号6 5.5数学归纳法 关键能力攻重难 例1：(1)C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故no的 值应为3. (2)B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题 对一切正奇数成立. 对点训练1：当=时，左边中+中2++ 1 1 当n=+1时，左边女2+中与…+-司 1 +(k+1)+k+(k+)+(+1,故不等式左边的变化是增加 2+和水+2两项，同时减少十 本1一项 例2：(1)曲2-2区得8-02》由8可求得。 =2,a2=6,a3=10,由此猜想an}的通项公式a,=4n-2, nEN*. (2)①当n=1时，a1=2,等式成立； ②假设当n=k(keN*)时，等式成立，即ak=4k-2, 5a41=51-S=@41+2)》2_(a4+2)2 8 8 .（ak+1+ae)(ak+l-ak-4)=0. 又ak+l+ak≠0，.ak+l-ak-4=0, a+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 当n=k+1时，等式也成立 由①②可知，a.=4n-2对任何neN*都成立. 对点训练2：(1)依题设可得，当n=1时，S1=a1 即a1=S,=1-a1,即a1=2’ 11 11 故a=2=1×24=6=2×3 11 11 a=12=3×4a4=20-4x5 2)猜想a 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立 ②假设当n=k(keN)时，猜想成立， 7 即a:=k+D当n=k+1时，S1=l-(k+1)a 即Sk+ak+1=1-(k+1)a+r 又81-a=在所以4+01-(+1a… 从而a4+1=(k+1)(k+2)(k+1)[(h+1)+1可 即n=k+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立. 例3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2×(2-3)+3=1，左 边=右边，所以等式成立 (2)假设当n=k(k∈N)时，等式成立，即1+3×2+5×2 +…+(2k-1)×2-1=2(2k-3)+3. 则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2-1+ (2k+1)×2=2*(2k-3)+3+(2k+1)×2*=2*(4h-2)+3= 2+[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时，等式成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立. 对点训练3：()当=1时，左边=女3-写右边-号 1 1 =3,左边=右边，等式成立 22 【2)假设当n=k(keN)时等式成立，即有X3+X5+… k(k+1) (2k-1)(2k+1)2(2k+1)1 则当n=k+1时， 1222 2 (k+1)2 1x3+3x5+…+(2k-1)(2k+1）+(2k+1)(2h+3) k(k+1) (k+1)2-(k+1)(k+2) 2(2k+1六+(2k+1)(2k+3)=2(2k+3) 即当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可得，对于任意的neN*等式都成立. 例4：0)当0=2时.1+宁子<2-日号合题成立 (2)假设n=k时命题成立，即1+分+京+…+京< 1 1 2-k 11 1 1 当n=k+1时，1+交+交+…+京+k+1)< 1 111 2- +<2=k+k(k+1)2k”kk+1 =2- +命题成立. 由(1)(2)知原不等式在n≥2时均成立 对点训练4：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 边，不等式成立 (2)假设当n=(k≥1且keN*)时，不等式成立，即1+ 2亚 万*… 则当n=k+1时， 1+1+1 1<2+1 25 +…+ R√+I √R+I -2压++1（®2+(B+I)2+I √k+I k+1 =2(k+=2+1 h+1 所以当n=k+1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立 例5：(1)当n=3时，左边=2+2=6，右边=2(22-1)=6， 等式成立； (2)假设n=k时，结论成立，即2+22+…+2- =2(2-1-1), 那么n=k+1时，2+22+…+2-1+2=2(2-1-1)+2= 2·2-2=2(2-1)=2[2k)-1-1]. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，等式对任意n>2,n∈N*都成立 课堂检测固双基 1.C当n=1时，2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故 应选C. 2.B由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥2)为偶数 时命题为真， 则还需要用归纳假设再证n=k+2, 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数， 故选B. 3.C若n=4时，该命题成立，由条件可推得n=5命题成立. 它的逆否命题为：若n=5不成立，则n=4时该命题也不 成立 4仪2)>”2自变量的取值依次为2,4=2,8=2,16=2， 32=2,…,故为2”.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，…，故 右边为2，即2)>“2 5（1)将n=12,3代入3，+a,=2n+1中得a1=号=2-2 1 7 115 猫想4，=2- (2)①由(1)知当n=1时，命题成立； ②假设n=k时，命题成立，即a:=2-2 1 则当n=k+1时，a1+a2+…+a4+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+…+a=2k+1-ak, ∴.2k+1-a+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 62a1=4-文a=2-2 1 即当n=k+1时，命题成立 根据①②得neN*,a.=2- 都成立 章末整合提升 要点专项突破 例1：由a+1-an=3"-n, 得a.-a,-1=3"-1-(n-1), a-1-a-2=3"-2-(n-2), a3-a2=32-2,a2-a1=3-1. 当n≥2时，以上n-1个等式两端分别相加，得(an-a.-1) +(am-1-am-2）+…+（a2-a1） =3"-1+3-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+2+1], 3(1-3-)n(n-1) 即an-a1= 1-3 2 又a=1a.=x3nn2- 2 -2 显然a1=1也适合上式， 17 a,的通项公式为a,=分×3”-an》-分 2 例2：a1=2,aa+1 2n+1a., n =2×2 a 1 0=2×3 2· … a,=2×n am-1n-1' 以上n-1个等式左右两边分别相乘得=n·2”-1, a. 即an=n·2"， 且n=1时，a1=2也适合上式， ∴.am=n·2". 01两边取倒数得上-1=1， 例3：(1)由a.=1+a,- an an-1 小数别日提首项为士-了公关为1的等老数列 l a . 12n-1 =于+(n-1)=n-2= 2 2 .a.=2n-T (2)a+1=3an+2, .am+1+1=3(an+1). 又a1+1=2≠0， ∴.数列{a.+1}是首项为2，公比为3的等比数列. a+1=23"-.an=2·3-1-1. 明南已号+女=2得8=且60， b.2 3 取n=1,由S,=b,得b=2 由于bn为数列{Sn}的前n项积， 2b1 2b2 26. 所以2b-‘222 2b。-1=6, 2或 2b12b2 2b±l-bL 所以6 由于bn+1≠0 所以子产衣即么1-4=号，我中neN心 2 所以数列6，是以4=子为首项，以d=之为公差的等差 数列； (2)由(1)可得，数列6，}是以么=子为首项，以d=2为 公差的等差数列， =+(a-1x=1+ n 2b.2+n S.=2b.-11+n 3 当n=1时，a1=S=2, 当n≥2时，a,=5,-S-=1+nn 2+m-=一n(n+,显然 2