5.4 数列的应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

1.0-1 (2)5,=2+2+2+…+ 3+2n 2-1 2 所以5.=+分+…+ 10 3=n+2- 2” 2+1 两式相减得宁5，=之27…2-2 111 12-n 11 所以25=1-7 14272-n 12* 11,11 =+22+22”， 所以5=是 5.4数列的应用 关键能力攻重难 例1：(1)f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+ 0.9n=14.4+0.2nn++0.9n=0.1n2+n+14.4. 2 (2)设该车的年平均费用为S万元， Sw=a)=0.12+n+14.4)=0+44+1 n ≥2/1.44+1 =2×1.2+1=3.4. 当且仅当n=12时，等号成立. 故该汽车使用12年报废为宜. 对点训练1：(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设 除去设备引进费用，第n年的成本为a,构成一等差数列，前n 年成本之和为24n+nn,Dx8=24n+4n(n-1)万元： 2 故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80nm- 196=-4(n-10)2+204,n∈N+, 所以当n=10时，f(n)m=204万元. 答：引进生产线10年后总盈利最大为204万元. (2)设n年后平均盈利为g(n)万元，则g(n)=fm=-4n n 16+80,neN 因为s(m）=-4(a+）+80 49 49 Vn. 当neN,n+4型≥2 =14,当且仅当n=49 n=7 n 时取得等号， 故当n=7时，g(n)m=g(7)=24万元. 答：引进生产线7年后平均盈利最多为24万元 例2：6设每天植树的棵数构成的数列为α，}，由题意可 知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2-2≥100，即 1-2 2≥51.而2-32,2=64，neN·,所以最少天数n=6. 对点训练2：(1)当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列， ∴.am=45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n, 当11≤n≤20时，数列{a.}是公比为0.99的等比数列，又 a10=50, ∴.an=50×0.99“-10 故实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为 r45+0.5n,1≤n≤10，neN* a={50×0.9-1,1l≤n≤20，neN (2)设Sn为数列{an}的前n项和，结合(1)知 Sw=Si0+(an+a2+…+an）=10×45.5+10×(10-1) 2 ×0.5+49.5×10.990)=47.5+4950×(1-0.990)≈ 1-0.99 972.5. 器-4根65<9 故到2039年年底不需要调整政策， 例3：(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额 构成一个等差数列，记为an}, Sn表示数列{an}的前n项和，则a1=4900,a20=2510, 则S-240(a,+0w-120×490w+2510y=8920m. 故小张该笔贷款的总利息为889200-600000= 289200元. (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式. 每月还款额为一个等比数列， 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239 =600000×(1+0.004)240 /1-1.004240 所以x1-1.004 =600000×1.00420, 即x=600000×1.040×0.046000×261x0.004 1.004240-1 2.61-1 ≈3891， 因为3891<1000×3-500. 所以小张该笔贷款能够获批 (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240- 600000=933840-600000=333840(元)，因为333840 >289200. 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款 方式. 对点训练3：514由题知小明第1次还款a元后 还欠本金及利息为[6000(1+0.5%)-a]元， 第2次还款a元后， 还欠本金及利息为： [6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a]元， 第3次还款a元后， 还欠本金及利息为： [6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)- a]元， 以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为： 6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)"-…-a(1+0.5%)- a元， 此时已全部还清，则6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)1- …-a(1+0.5%)-a=0, 即6000(1+0.5%)2=a[1-(1+0.5%)2] 1-(1+0.5%) 解得a-6000×0.05×1.005”=30x1,02-514 1.0052-1 0.062 课堂检测固双基 1.C第-年价格为：810×(1-3)=540： 第二年价格为：540×(1-号）=360： 第三年价格为：3600×(1-号）-2400 2.B由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n层有 0 2-a盏灯，所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381, ..a=3. 3.A能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的 数，故a.=2+(n-1)35=35n-33.由a.=35n-33≤2019， 得≤58+号.4eN,故比数列的项数为58 4.B由题意，今年12月份的月产量为a(1+p)2,则增加的比 率为a1+p）严-a=(1+pm1. :记初始正方形的边长为a1,经过(n-1)次生长后的正方 形的边长为a.,经过(n-1)次生长后正方形的个数为b., 由题可知，数列，}是以D为首项，二为公比的等比数列， a。=22) 2 =2- 由题意可知，6.=1+2+2+…+2-1=1·(2°-山=2”-1 2-1 令bn=2”-1=1023,解得n=10. 绿小正方形的边长为。=21号6 5.5数学归纳法 关键能力攻重难 例1：(1)C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故no的 值应为3. (2)B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题 对一切正奇数成立. 对点训练1：当=时，左边中+中2++ 1 1 当n=+1时，左边女2+中与…+-司 1 +(k+1)+k+(k+)+(+1,故不等式左边的变化是增加 2+和水+2两项，同时减少十 本1一项 例2：(1)曲2-2区得8-02》由8可求得。 =2,a2=6,a3=10,由此猜想an}的通项公式a,=4n-2, nEN*. (2)①当n=1时，a1=2,等式成立； ②假设当n=k(keN*)时，等式成立，即ak=4k-2, 5a41=51-S=@41+2)》2_(a4+2)2 8 8 .（ak+1+ae)(ak+l-ak-4)=0. 又ak+l+ak≠0，.ak+l-ak-4=0, a+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 当n=k+1时，等式也成立 由①②可知，a.=4n-2对任何neN*都成立. 对点训练2：(1)依题设可得，当n=1时，S1=a1 即a1=S,=1-a1,即a1=2’ 11 11 故a=2=1×24=6=2×3 11 11 a=12=3×4a4=20-4x5 2)猜想a 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立 ②假设当n=k(keN)时，猜想成立， 7 即a:=k+D当n=k+1时，S1=l-(k+1)a 即Sk+ak+1=1-(k+1)a+r 又81-a=在所以4+01-(+1a… 从而a4+1=(k+1)(k+2)(k+1)[(h+1)+1可 即n=k+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立. 例3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2×(2-3)+3=1，左 边=右边，所以等式成立 (2)假设当n=k(k∈N)时，等式成立，即1+3×2+5×2 +…+(2k-1)×2-1=2(2k-3)+3. 则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2-1+ (2k+1)×2=2*(2k-3)+3+(2k+1)×2*=2*(4h-2)+3= 2+[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时，等式成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立. 对点训练3：()当=1时，左边=女3-写右边-号 1 1 =3,左边=右边，等式成立 22 【2)假设当n=k(keN)时等式成立，即有X3+X5+… k(k+1) (2k-1)(2k+1)2(2k+1)1 则当n=k+1时， 1222 2 (k+1)2 1x3+3x5+…+(2k-1)(2k+1）+(2k+1)(2h+3) k(k+1) (k+1)2-(k+1)(k+2) 2(2k+1六+(2k+1)(2k+3)=2(2k+3) 即当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可得，对于任意的neN*等式都成立. 例4：0)当0=2时.1+宁子<2-日号合题成立 (2)假设n=k时命题成立，即1+分+京+…+京< 1 1 2-k 11 1 1 当n=k+1时，1+交+交+…+京+k+1)< 1 111 2- +<2=k+k(k+1)2k”kk+1 =2- +命题成立. 由(1)(2)知原不等式在n≥2时均成立 对点训练4：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 边，不等式成立 (2)假设当n=(k≥1且keN*)时，不等式成立，即1+ 2亚 万*… 则当n=k+1时， 1+1+1 1<2+1 25 +…+ R√+I √R+I -2压++1（®2+(B+I)2+I √k+I k+1 =2(k+=2+1 h+1049 S.4数列的应用 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 1.能够将实际问题抽象为数列模型，提高分 关系 析问题和解决问题的能力.（数学建模） 2.建模：利用数学知识及其他相关知识建立相应 2.会利用等差数列、等比数列的通项公式及 的数学模型 前n项和公式解决分期付款和政府支出的 3.求模：求解数学模型，得出数学结论. “乘数”效应等问题.（数学运算） 4.还原：将数学结论还原为实际问题的答案. 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一等差数列的应用 例1.某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6 万元…依等差数列逐年递增。 (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n),试写出f(n)的 表达式； (2)求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用 最少) [分析](1)由已知及等差数列前n项和公式，即可得到f(n)的表达 式；(2)由(1)中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式， 根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论. 规律方法： 等差数列与最值的求 解策略 本题主要考查等差最 列的应用，读懂题 意，转化为等差数列 求和，利用基本不等 式求最值是解题的 关键. ·[规律方法] 050 》对点训练1 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是 动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已 处于国际领先水平，某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产 线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费 用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100 万元 (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 题型二 等比数列的应用 例2(2024：江西省南昌市期中)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第 天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天 数n(neN)等于 规律方法： 得出不等式，利 应用等比裁列前n项 建立数 求等比数列 和公式解决实际问题 [分析] 用指数函数性质 >[规律方法] 列模型 前n项和 的步骤 估算最少天数 (1)构建裁列模型 》对点训练2 (2)由题设确定裁列 若某地区2019年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计 为等比数列，并求公 人口总数将发生如下变化：从2020年开始到2029年年底每年人口比上一年比9，或建立裁列递推 增加0.5万人，从2030年开始到2039年年底每年人口为上一年的99%. 关系，并化归为等比 (1)求实施新政策后第n年的人口总数a.的表达式（注：2020年为第1 数列，求出公比q: 年)； (3)利用等北数列前n 项和公式进行计算. (2)若实施新政策后，从2020年到2039年年底平均每年的人口总数超 过49万，则需调整政策，否则无须调整.试判断到2039年年底是否需要调整 政策.（附：0.990≈0.9) ●057 题型三数列中的复利计算问题 例3，市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供 了两种贷款方式：①等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个 还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息，每个 月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还 款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款） 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004. (1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还 4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总 利息； (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超 过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断 小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； (3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种 还款方式 参考数据：1.004240≈2.61. 规律方法： 1.由题意可知，等额 本金还款方式中，每 月的还款额构成一个 等差数列，即可由等 差裁列的前n项和公 式求得其还款总额， 减去本金即还款的 利息. 2.根据题意，采取等 额本息的还款方式， 每月还款额为一个等 比数列，设小张每月 还款额为x元，由等 比数列求和公式及参 考数据，即可求得其 [规律方法] 还款额，与收入的一 》对点训练3 半比较即可判断 小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元3.计算出等额本息还 的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息（每期以相同的额度偿还款方式时所付出的总 本金和利息)还款α元，1年还清，其中月利率为0.5%，则小明每月还款数利息，两个利息比较 a 元（精确到个位）.（参考数据：1.0051≈1.056；1.00512≈1.062； 即可判断. 1.00513≈1.067) 052 课堂检测固双基 1.计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格5.如图所示，是毕达哥拉斯的生长程序：正方形 每年降低号，现在价格为810元的计算机3 上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角 形的直角边上再连接正方形…如此继续.一 年后的价格可降低为 ( 共得到1023个正方形，设初始正方形的边长 A.300元 B.900元 为√2，则最小正方形的边长为 C.2400元 D.3600元 2.有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯？”通 过计算得到的答案是 A.2 B.3 C.4 D.5 3.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称 “孙子定理”，该定理涉及的是数的整除问题， 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日 常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展 做出了巨大贡献.现有这样一个整除问题：将 1到2019这2019个整数中能被5除余2且 被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列， 构成数列{an},那么此数列的项数为( A.58 B.59 C.60 D.61 4.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量 月平均增长率为P,则今年12月份的月产量比 去年同期增加的比率为 A.(1+p)2 B.(1+p)12-1 夯基提能作业 C.(1+p)" D.12p 请同学们认真完成练案[11] 5.5 数学归纳法 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.借助教材实例了解数学归纳法的原理.（数学 1.充分运用多米诺骨牌的影像或者实验体会数 抽象) 学归纳法的含义， 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 2.通过一些实际案例，认真体会归纳奠基和归 （逻辑推理) 纳递推的内涵以及归纳法推理的结构化 3.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数 特征. 有关的数学问题.（数学运算、逻辑推理)