6.1.4 求导法则及其应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

~曲线y=在点P的切线的斜率为-4， 、1 日-4t=±2 y=±2 即点P分2)或(-之-2，故选AC 2.D因为y'=(e)'=e,设切点坐标为(xo,yo),所以k= e0-0=9=e0,得0=1，所以k=e xo-0 xo 3.A因为y'=cosx,而cosx∈[-1,1].所以直线l的斜率的 范围是[-1,1]，所以直线1倾斜角的范围是[0，平]U [子a} 1 4A2左2左2后 切线方程为y-石2石二口 令x=0,得)=要，令y=0,得x:公 由题意知S=行×a×受=2，解得a=4 5.±1根据题意，若fx)=x,其导数f'(x)=3x2,若f'(x)= 3,则3x0=3,解得o=±1. 6.sinx因为f0(x)=sinx, 所以f(x)=f'o(x)=(sinx)'=cosx, f2 (x)=f'(x)=(cos x)'=-sin x, f(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cosx, fa (x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x, 所以4为最小正周期， 所以f5m(x）=f6(x)=sinx. 7.(1)y'=(x5)'=-5x6 (2)y'=(4*)'=4*1n4. (3)因为y=.言=子，所以y=名克 (4)因为y=si血（受+）=cosx,所以y=-inx (5)因为y=cos(2m-x)=cosx,所以y'=-sinx, axyt.y.-t 2， ∴曲线在点(a,a)处的切线斜率k=- 切线方程为y-a方：-分。(x-d） 令=0得=0， 令y=0得x=3a. :该切线与两坐标轴周成的三角形的面积为S=7×3a× .a=64. —20 练案[16] A组·素养自测 1.D.f(x)=(x-a)(x-b)=x-(a+b)x+ab .f'(x)=2x-(a+b), .f'(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D. 2.Cf'(x)=a-。,得f'(1)=a-b=0, f'(-1)=a+b=2,得a=b=1, 得()=1-÷得(2)=分 3.C函数f(x)=ax2+2bx的导数为 f'(x)=2ax+2b, 可得函数的图像在点(1，f(1)处的切线斜率为f'(1)=2a+ 2b=4,即a+b=2, 由切线方程为y=4x+3, 可得f1)=a+2b=4+3-7, 所以a=-3,b=5,所以b-a=8. 4.B由已知得：3k+2=1,k=-弓，又g()=对)，f'(3) =-3…g'(x)=fx)+xf'(x), g(3)=f3)+3f"(3)=1+3×(-写）=0. 5.Af'(x)=(e*)'+(xsin x)'-(7x)' =e*sin x +xcos x-7, 所以f'(0)=e°-7=-6. 6.Df'(x)=f'(-2)e-2x f'(-2)=f'(-2)·e2-2·(-2); 解得f'(-2)=。2 4e2 故选D. 7.4方法一：对于y=e+x+a,其导数为y=e*+1, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=e+1=2,即e*=1,解得x=0. 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 方法二：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(o,yo), .e0+1=2 则{%=2x0+5, 解得a=4. Lyo eto +%o+a, 8.3由fx)=e“"+ln(x+1), 得f'()=ae"+ x+1' .f'(0)=4,.f'(0)=a+1=4, .a=3. 9.(1)y'=x'·e+x·(e)'=e+xe=(1+x)e (2y=(4) -(2x)'(x+)-2x(2+1 (x2+1)2 =2(x2+1)-42.2-2x2 (x2+1)2 (x2+1)7 (3y=(om0r-(3 =sin x+xcos x- 2n(x≠km+受，keZ) cos'x (4)y=c0s2￡=1+c0sx=1+1 2 22+ 0y=++）=2*1+ y=3-2 2y=(+(左=-+古， (3)y=sin年+os4 =(sim2子+os4)-2in2年cos4 2 2.y-sins. (4:y=++--1++1-因 1-x1+E1-x 1-x 2+2x=4-2, 1-1-* (斗 4 B组·素养提升 1A函数)=子+cmx, f'()=登-imf（-0=2-m(-)=f"( 所以f'(x)为奇函数，排除BD, 当x=石时'（君）=晋-方<0，排除C,放选1 20因为y y=e(x+1）-ex+)'=xe (x+1) (x+1)2, 故函数在点(1，号)处的切线斜率k=年， 切线方程为y-受=(x-1),即y=子x+子故选C 3.B函数y=ae+x的导数为y'=ae+1,可得曲线y=ae+x 在点(1，ae+I)处的切线的斜率为y'=ae+l, 所以ae+1=2e,解得a=2e-1 e 4.AB因为(0,0)在直线1上，当O(0,0)为f(x)的切点时，因 -20 为f'(0)=2,所以直线l的方程为y=2x, 又直线1与y=x2+a相切， 所以x2+a-2x=0满足△=4-4a=0,得a=1; 当O(0,0)不是f(x)的切点时， 设切点为(x0,x后-3后+2x0)(xo≠0)， 则f'(xo)=3x后-6x0+2, 所以心-36+2=3-6，+2， 所以直线1的方程为y=一4x 1 1 =-本得2+4x+a=0, 由 Ly=x2+a, 由题意得△6-4a=0.所以a-高 综上得a=1或a=4 1 5.(-o,-4)U(0,+o)y'=e+(x+a)e,设切点坐标为 (xo,(xo+a)eo), .切线的斜率k=e0+(x+a)eo, ∴.切线方程为y-(x+a)e0=(e0+(x+a)e0)(x-x), 又切线过原点，-(x+a)e0=(e0+(x。+a)e*0) （-x0), 整理得：x+ax,-a=0, 切线存在两条，方程有两个不等实根， ∴△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, 即a的取值范围是(-0，-4)U(0,+o), 故答案为(-0，-4)U(0,+0). 6.2x-2-4{xx>2由fx)=2-2x-4nx,得函数定义 域为(0，+0)，且f'(x)=2x-2-4=2x-2x-4 2(x+1)(x-2>0,解得x>2,故f'(x)>0的解集为xlx> x 2}. 7.y=(m-( (xsin x)'cos x-xsin x(cos x)' cos'x (sin x xcos x)cos x+xsin'sin xcosx+ cosx cosx (2)解法一：y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]' =[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+ 2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11 解法二：：(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)= x3+6.x2+11x+6, ∴.y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'= 3x2+12x+11. （3)解法-=( =（x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)y (x+1)3 =x+1-(x-1)。2 (x+1) (x+1)2 解法二y==+1:2=1-2 x+1-x+1 +1 -( 8.设f(x)=ax2+brx+c(a≠0)， 则f'(x)=2ax+b. 所以x2f'(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+ bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1, ra-b=O, ra=2, 所以b-2c=0,解得b=2, Lc=1, lc=1, 所以f代x)=2x2+2x+1. 练案[17] A组·素养自测 1.B对于B,y=xe2,则y'=e2,.y=xe2在R上为增函数，在 (0,+∞)上也为增函数，选B. 2.Cy'=x'·lnx+x·(nx)'=lnx+l, 当0<<时，n<-1,即y<0, y在(0，日)上单调递减 当。<5时h>-1,y>0, y在（日小上单调递增 3.B由f代x)的图像可得，在y轴的左侧，图像下降f代x)递减， 即有导数小于0，可排除C,D; 再由y轴的右侧，图像先下降再上升，最后下降， 函数八x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A;则B正确。 故选B. 4B易知，函数)定义域为0，+)"()=-是+日 令f'(x)<0得0<x<5.故f(x)的单调递减区间为(0,5).故 选B. 5.Df'(x)=3a2,要使f(x)在R上为减函数，则f'(x)≤0在 R上恒成立，即a≤0，又a=0时，f'(x)=0恒成立，所以a≠ 0.综上a<0. 6.B由题意可得，f'(x)=sinx+a≥0恒成立，故a≥-sinx恒 成立.因为-1≤-sinx≤1，所以a≥1.故选B. 7(-0,-分）(1，+）由y=2--f"(到=3x 2x-1=3(x+3）x-1) 令f'(x)>0,解得x>1或x<-号 函数x)的单调递增区间是(-，一弓），山，+)。 放答案为(-0，-写)(1，+0) 8( 函数y=x+2cosx,∴.y=1-2simx<0, .'sinx2 又.xe[0,2π]， ()放答案为列石 9.函数y=x3-2x2+x+1的定义域为R,y'=3x2-4x+1=(x 1)(3x-1). 令y'=0得x=1或x=3 1 x=1和x=3把定义域分为三个区间，y在各区间上的正负 列表如下： (3 1 (1,+0) 2 0 0 y 单调递增 单调递减 单调递增 所以y=x-2x+x+1的单调递增区间为(-0，了）和(1， +女)，单调递减区同为兮， 10.函数的定义域为D=(0,+∞). f'(=6x-子，令'()=0，得名 3, 去) 用x1分割定义域D,得下表： o 3 (+ f'(x) 0 + f(x) :函数f(x)的单调递减区间为0,3) ,单调递增区间 为原力 B组·素养提升 1.D根据题意知，f'(x)=a2+2x+a,若函数f(x)=了ar+ x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax2+2x+a=0 有两个不相等的实根，△=4-4a2>0,且a≠0， 解得-1<a<1,且a≠0. 故实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1). 2.B由题意如图f'(x)>0,则y>1,对应的区间是(-0,2) 故函数y=f(x)的增区间为(-∞，2)， 故选B. 9练案[16] 第六章 导数及其应用 6.1[6.1.4求导法则及其应用] b组·素养自测 三、解答题 9.求下列函数的导数： 一、选择题 (1)y=xe; 1.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为 1 2x ( (2)y x2+1 A.ab B.-a(a-b) 2 C.0 D.a-b (3)y=xsin x- Cos 2.已知f'(x)为函数f(x)=ax-blnx的导函数， (4)y=cos2 x 2 且满足f'(1)=0,f'(-1)=2,则f'(2)= ( A.1 B-C 3.已知函数∫(x)=ax2+2bx的图像在点 (1,f(1))处的切线方程为y=4x+3,则b-a ( A.-8 B.20 C.8 D.-2 4.如图，y=f(x)是可导函数，直1网 线l:y=hx+2是曲线y=f(x) 在x=3处的切线，令g(x)=2 1 xfx),g'(x)是g(x)的导函o 数，则g(3)= () A.-1 B.0 C.2 D.4 5.函数f(x)=e+xsin x-7x在x=0处的导数 等于 A.-6 B.6 C.-4 D.-5 6.(2023·邵阳三模)已知函数f(x)=f'(-2) e-x2,则f'(-2)= A. B.4(e3-1 C.e-1 4e2 ”器 二、填空题 7.(2025·全国I卷)若直线y=2x+5是曲线 y=e+x+a的切线，则a= 8.若函数f(x)=e“+ln(x+1),f'(0)=4,则 a= 145 10.求下列函数的导数： 8组·素养提升 =++: 一 、选择题 2=+1结-： 1.已知)=子+e0的xf"()为)的导函 (3y=sin+as年 数，则f'(x)的图像是 (4)y=1+E+1-E 1-x1+√x 2.(2023·甲卷（文）)曲线y= 在点 e 1,)处的切线方程为 () A.y= e B.y=2 e C.y=4x+4 Dy=5x+程 ,3e 3.已知e为自然对数的底数，曲线y=ae+x在 点(1，ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0 平行，则实数a= () A.e-1 B.2e-1 e e c.e-1 D.2e-1 2e 2e 4.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线1与曲线 f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a 的值可以是 () A.1 1 C.2 D.-64 1 二、填空题 5.若曲线y=（x+a)e有两条过坐标原点的切 线，则a的取值范围是 6.若f(x)=x2-2x-4nx,则f'(x)= f'(x)>0的解集为 146 三、解答题 8.已知函数f(x)是关于x的二次函数，f'(x)是 7.求下列函数的导数 f(x)的导函数，对一切x∈R,都有x2f'(x)- (1)y=x·tanx; (2x-1)f(x)=1成立，求函数f(x)的解析式. (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=-1 Γx+1 -147