6.1.1 函数的平均变化率-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[13] 第六章 导数及其应用 6.1[6.1.1 函数的平均变化率] b组·素养自测 A.-3 B.2 C.3 D.-2 一、选择题 1.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为 二、填空题 7.由瞬时变化率的研究方法可求得，函数f(x)= 时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t。, t。+△]内的平均速度是 x2-2x在x=1处的瞬时变化率为 8.已知自由落体的运动方程为s(t)=52,则t在 A.Vo △L B. “s(to+△t)-s(to) 2到2+△t这一段时间内落体的平均速度为 C.s(+△)-s(o) D.s() ,落体在1=2时的瞬时速度为 △t t 2.已知函数y=f(x),当自变量x由x,改变到三、解答题 xo+k△x(k为常数)时，函数值的改变量△y为 9.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一 山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十 A.fxo+k△x) 八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘 B.f(xo)+k△x 的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山， C.f(xo)·k△x 但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处 D.f(xo+k△x）-f(xo) 到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你 3.(2024·广东广州育才中学高二月考)函数 能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程 f(x)=2x在区间[xo,x,+△x]上的平均变化率 度吗？ 为 ) y/m 30- D A.xo+△x B.1+△x 20 C.2+△x D.2 10 5070 100x/m 4.(2025·河南开封高二期末)函数f(x)=x2+ 2c(ceR)在区间[1,3]上的平均变化率为 A.2 B.4 C.2e D.4c 5.函数f(x)=x2在区间[xo,xo+△x]上的平均 变化率为k1,在[xo-△x,x]上的平均变化率 为k2,则k1与2的大小关系是 A.h>h2 B.k<k2 C.=kz D.无法确定 6.如果函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均 变化率为3，则a= () —138 10.若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+△x] (1)前3s内球的垂直方向的平均速度为 (△x>0)上的平均变化率不大于-1，求△x m/s; 的取值范围。 (2)在t∈[2,3]这段时间内，球的垂直方向的 平均速度为 m/s 三、解答题 5.已知函数f(x)=2,g(x)=log2x. (1)当x从1变为4时，分别求函数f(x)和 乃组·素养提升 g(x)的平均变化率； (2)当x从1变为4时，比较函数f(x)和g(x) 一、选择题 的函数值变化的快慢. 1.已知函数f(x)=2x2-4的图像上一点 (1,-2)及邻近一点(1+△x,-2+△y),则 △x 等于 A.4 B.4x C.4+2△x D.4+2(△x)2 , 2.若函数f八x)=x,g(x)=x2,h(x）)=x3在区间 [0,1]上的平均变化率分别为m1,m2,m3,则下 列结论正确的是 A.m1=m2=m3 B.m>m2>m3 C.m2>m1>m3 6.设f(x)是增函数，分别指出d>0和d<0时， D.m1<m2<m3 二、填空题 fo+d)-fo）的符号. 3.如图所示，在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个 区间内，函数y=f(x)的平均变化率最大的 个区间是 4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距 离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关 系为h(t)=22+2t,则 —139综合①和②可知，对于任意的neN”,4=n子均成立 3×1 8(1)当n=1时，左边=1，右边=2+1，不等式成立， (2)假设当n=k时，不等式成立， 即1+1+1 、3k 2京+3京++≥2+ 则当n=k+1时， 11 1 1 3(k+1) 要证1+2京+京+…+衣+(k+1)产2k+1)+1 只需证，3水 (k+1) 2k+1+(k+1)≥ 2k+3 因为3(k+1)-「36 11 2k+3-2k+1+(k+1) 3 1 4(k+1)2-1(k+1) 1-(k+1)2 (k+1)2[4(k+1)2-1] -k(k+2) (k+1)2(4+3+3)≤0， 所以+中产 1 、3(k+1) 2k+3 即1+宁+好++定+产 1 1 3(k+1) 所以当n=k+1时不等式成立 由(I)(2)知，不等式对一切neN都成立. 练案[13] A组·素养自测 1.C由平均变化率的概念知C正确，故选C. 2.D△y=fxo+k△x)-f(xo),故选D. 3D由题意，可得平均变化率为+△)- △x 2(+△)-20=2，放选D. △x 4B4-3）-1山-③+2c),+2@=4. △x 3-1 2 5.A由题意结合函数的解析式可得， k+△》-】.（+)°-6=2+4. △x △x ,=f）=f八o-4如-号-(0-Ax △x △x -=2x0-△x, 则k1-k2=2△x,容易判断△x大于零，所以k>k2 6.C根据平均变化率的定义，可知Af=(2a+b)-(a+b)三 △x 2-1 a=3. 7.0f1+△x)-f1) Ax -1+Ax)2-2(1+A)+1-4x2 △x 4x=4x 当△x趋近于0时，im△x=0. 8.20+5△t20由题物体在t=2到t=2+△t这一段时间内的 平均速度为0=5(2+△)-5×2=20+5At,则当4￥趋近于 At —20 0时趋近于20.即t=2时的瞬时速度为20. 9山路从4到台病度的平均变化率为如=盆出-88-行，山 _△y20-101 路从B到C高度的平均变化率为k==0-50=2' ∴.kc>kAB,∴.山路从B到C比从A到B陡峭 10.因为函数y=f(x)在[2,2+△x]上的平均变化率为A义 △x =2+A)-2) △x =-(2+△x)2+(2+△x)-(-4+2) △x =-4Ax+Ar-(△)2=-3-4x, Ax 所以由-3-△x≤-1，得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x>0, 即△x的取值范围是(0，+∞) B组·素养提升 1.C Ay=f1+A)=f1=2(1+A)P-4+2= △x △x △x 2(△x)2+4△x=2Ax+4. △x 2.A函数)=在区间0，小上的平均变化率m8=与 函数()=f在区间0，山上的平均变化率m0=1: 13-03 函数h(x)=2在区间[0,1止的平均变化率m=1-0=1, ∴.m1=m2=m3: 3.[x3,x4]根据平均变化率的定义，记函数y=f(x)在区间 [1,2],[2,x3],[3,x4]上的平均变化率分别为k,k2,k, 则k=) 2,=）-6）,k-）-) 3X2-x1 x3-x2 X4-x3 结合题中图像可以发现k3>k>0>k2,故函数y=f(x)的平 均变化率最大的一个区间是[x,x4] 4.(1)8由题意知，△t=3s,△h=h(3)-h(0)=24(m),即前3s 内球的套直方向的平均速度为尝-学=-8(m》 (2)12由题意知，△t=3-2=1(s),△h=h(3)-h(2)= 12(m),即这段时间内球的垂直方向的平均速度为= △t 12(m/s). 5.(1)当x从1变为4时，在函数y=fx)中，△x=4-1=3,△y= 九4-1》=2-2=4，则版数的平为空化率=兰 在函数y=g(x)中，△x=4-1=3,△y=g(4)-g(1)=1og24- 1og1=2-0=2,则函数g(x)的平均变化率Ay=2 △x3 14、2 (2)因为3>3所以当x从1变为4时，函数()的函 数值比函数g(x)的函数值变化得快 6.当d>0时，x+d>xo,则f(xo+d)>f(x), 即6+d0-f)>0,所以+）-）>0. d 当d<0时，x+d<xo,则f(x+d)<f(o),即f(xo+d)- fx）<0, 所以o+）-fl>0. d 综上，无论d>0还是4<0，都有6+d）-）>0. d 练案[14] A组·素养自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B. 2.B由导数的几何意义可知曲线在(x,f(x)处的导数等于 曲线在该点处的切线的斜率，所以f'(xo)=3.故选B. -△x 3.D4y=2+Ax-2-1+A-1=1+Ax 一之-四1十-1，斜率为-1，颜斜角为导 -1 4.D设切点为(，y%), ×f()=+A-5==(2+4)=2, △x 2,=m音=1，得6=分 1 (付了-子，所求点的坐标为（兮，） 5.D1im24x+D-f山=-2f1)=-2. 4x0 2Ax .∴.曲线y=f(x)在点(1，f代1))处的切线斜率k=-2. 6.D如图示，根据题意，设M(2,f(2)),N(3,f(3))为函数y =f(x)上的点，则f'(2)为函数f(x)在x=2处切线的斜率 f'(3)为函数f(x)在x=3处切线的斜率，f(3)-f(2)= f3)二22为直线MN的斜率，结合图像分析可得f'(2)< 3-2 f3)-f2)<f'(3)<0. 2 M N 1 01234567x 7.3由导数的定义可知应为3. 8)当t=2s时，瞬时速度为 2 g2+ay2-g×2 △t -g4+4)=2(m》 91k=f'(1)=1+4- △x =1im21+4)2-2×1 △x 4+24 Y- △x =im(4+2Ax)=4, ..曲线在点A处的切线的斜率为4 (2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4， .切线方程是y-2=4(x-1),即y=4x-2. 10.f(a）=lima+4)3-a-3a2」 △x ∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与 轴的交点为（子a0 六三角形的面积为分a-子a1d1=右，得a=士1 12 B组·素养提升 1.B由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2] 的斜率越来越大， f2）=山=a,f'(1)<a<f'(2),故选B. 2-1 2B“-+t-a △x a(Ax)+2a(Ax)=a(Ax)+2ax △x Ay =2ax, 即y'=2ax,设切点为(xoo),则2a,=1, 六。=2a:切点在直线y=x上，心%=2a 代人y=+1得站=右+1，a=子放选思 3.A根据函数的几何意义可知，f'(4)是曲线在x=4处的切线 的斜*注意到-昌宁所W《4)=分 4.ABD根据导数的定义可知，A正确；对于B,若令x=x+ △x,当一时，Ar一0，则lin）-八） +0x一X0 g+4)-) =f'(xo),B正确； △x 根据导数的定义f'(x)=im +△)=f代o）,所以，C错 △x 误；根据导数的定义可知，D正确. 故选ABD. 5.-2由导数的概念和几何意义知， m1+A0①-f'(1)=6e=9- 0-4 =-2. △x 6.-7设点P(xo,2品+a).由导数的几何意义可得f'(xo)= 2(+Ax)2+a-(26+@）=4=8,6=2, △x ∴.P(2,8+a).将x=2,y=8+a代人8x-y-15=0,得a= -7. 7.将点P2,-1）代人y=,得t=1, 所以y=1-x y=四+---+a百 △x △x △x =i四[1-(x+Ax)](1-x)△x =(1--Ax)(1-x)(1-x)