5.3 等比数列习题课-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

对点训练3：(1)B由题意可得所有项之和为S奇+S偶是 所有偶数项之和的4倍，∴.S奇+S偶=4S偶，设等比数列a.}的公 比为q,由等比数列的性质可得5得=q5有，即S音=。S锅， n+5=4 S≠0，解得g=3又前3项之积a1a4=a店=64，解 得，=441=2=12.故选B. (2)9因为数列{an}为正项等比数列，所以S,S6-S, ,-S。也成等比数列，则(S。-S)2=S·(S,-S6),将S=3, S-S6=12代人，可得S6=9. 例4：设an表示第n年年底扣除消费资金后的资金，则： a=101+2）-x,4-1(1+2)-(1+2)- =100(1+2-1+)-x, a=[100(1+2）-x(1+2)-x](1+分）- 100(1+3)广-x(1+3)-x(1+2）-x 依此类推，得： 西=100(1+2）°-x(1+)°-x(1+分）广 (1+分）广-(1+2）-x 则100x(3)°-[(3）广+(3)'++1]=2o0. 1wx(房)1（侵】 =2000 1-3 解得x≈424（万元）.·每年年底扣除的消费资金为424 万元 对点训练4：C设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则 a,}是公比为的等比数列。 1 1 所以S,= -2 50 1 12 解得a-9所以羊主人应偿还： 9×-9升聚 7 例5：若g=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时，9=1，a=a1 =2. 若g≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S,=-g） 1-9 _21-4）=6, 1-9 解得9=1（舍去）或9=-2. 此时，a3=a19=2×(-2)2=8. 综上所述，9=1，a3=2或q=-2,a3=8. 课堂检测固双基 1.C由a.=a19-1,得96=3g-1,…g”-1=32=2. 令n=6,9=2,这时5。-31-？2=189，符合题意， 1-2 故选C. 16 2.C设等比数列{a,}的公比为g. :4a1,2a2,a3成等差数列， ∴.4a2=4a1+a3,即4a19=4a1+a19,即g2-4q+4=0. 解得2又41=号=15放选C 3.C等比数列{an}中，S4=-5,S6=21S2,显然公比q≠1， 设首项为4，则a1=-5①，1g2: 1-9 1-9 21a(1-9)2 1-9 化简②得g+g2-20=0,解得g=4或g2=-5(不合题意， 舍去)， 代入①得二，寸 所以3=12=2,1-91+4)=写×(-15)× 1-q (1+16)=-85. 故选C. 4.1或-2 因为a=子3=号所以4+4+4=号 9 则a1+a2=3, 所议号+号=3，化简得2对-9-1=0解得=1或号 5.(1)设an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+ 324=号，化简得4+2d=24+d=子解得a=1,d 之，放通项公式4=1+”， 即a,=”+1 2 (2)由(1)得，=1，b,=a5=15,=8.设b.}的公比为g,则 2 b,1-g）= ==8,从而g=2.故b,}的前n项和7=1-9 1×(1-2）=2"-1. 1-2 等比数列习题课 关键能力攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为q(9>0), 由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列， 得2a2=a4-a3,即2q=g3-g,得q=2. -1-am×2 所以S,=12,则5=2a,-1 (2)B a1=3S,,a =3S-1;a-a=3a,= 4an(n≥2)，而n=1时，a2=3S,=3a1,可知该数列不是等比数 列.当an=0时，数列an为等差数列.故本题正确答案为B. 对点训练1：(8号-分 1 2)-的依题意，及2+1作表得a=2a… 所以数列{an}是公比为2的等比数列， 又因为a1=S1=2a1+1, 所以a1=-1,所以an=-2“-1, 所以8=山2：-8 例2：(1)a=1+2+22+…+2"- 1-2=2”-1. Γ1-2 .∴.这个数列的通项公式为a,=2”-1. (2)Sn=a1+a2+a3+…+an =(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2”-1) =(2+22+23+…+2")-n =2x(12"）-n=21-n-2 1-2 对点训练2：(1)设公比为9，：a1=1,a2a4=16, .9=16,9>0,∴.9=2. am=2-1 S.=3ntn 2 ÷当n≥2时，6.=S.-S1=3n,+n_3n-2+(n-业 2 2 =3n-1. 当n=1时，b1=S1=2满足上式，.bn=3n-1. (2)c.=an+bn=2"-1+3n-1. .Tn=c1+c2+…+cn =(2°+2+…+2"-1)+[2+5+…+(3n-1)] -1-2+[2+(3n-)]n=2*-1+n(3m+D 1-2 2 2 例3：(1)设an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3, 即2a1=a19+a19, 所以g2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2. 故an}的公比为-2. (2)记S.为数列nan}的前n项和.由(1)及题设可得 a,=(-2)"-1,所以Sn=1+2×(-2)+…+n·(-2)- -2S.=-2+2×(-2)2+…+(n-1)·(-2)"-1+ n·(-2)". 所以3S.=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)-1-n·(-2)“ -1-（-2)-n·(-2) 所以3，=号-30+)-2少 9 对点训练3：(1)当n=1时，4(a1+a)=3a1-9, 4=号9=-a- 当n≥2时，由4Sn+1=3Sn-9①， 得4S,=3Sm-1-9②，①-②得4am+1=3am -00a0子 又兽=子a,是首项为-？，公比为的等比数列， a a=(=-3(广 （2)由36，+n-4)a.=0,得6.=-“，= a-4(八， 所以.=-3×子-2×()-1×(+0x()+ +(n-4)(子) ,=-3×()-2×(-1×(++(n-5) (+(n-4)(), 两式相减得子7=-3×子+()+()广+（子广+… +(-m-4)() 1-子 =-号+4(”-a-4( =-() 所以1.=(）” 由T,≤A仙，得-4n()”≤A(a-4)·()恒成立 即A(n-4)+3n≥0恒成立， n=4时不等式恒成立； a<4时A5沿=3品得A5: >4时A≥=-3-是得A3-3: n-41 所以-3≤入≤1. 例4：Sn=1+a+a2+…+a-1 当a=1时，Sn=1+1+…+1=n:当a≠1且a≠0时，Sn= 1-a-a-1 1-aa-1 rn,(a=1), 当a=0时满足上式..Sn= 课堂检测固双基 1.C设数列{an}为公差为d的等差数列， 且2,2,26成等比数列， 可得4=21·26=21+a6,可得a1+a6=2, 即有a}前6项的和为2×6(a1+a6)=6, 2.B由题，当数列为-2，-4，-8，…时，满足g>0,但是{Sn} 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件. 若{S.}是递增数列，则必有a.>0成立，若q>0不成立，则会 出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的 必要条件.故选B. 3. 各项均为正数的等比数列{a.}的公比设为q,若2S,S3, S2成等差数列， 可得2S3=2S1+S2 即为2(a1+a19+a9)=2a1+a1+a19, 即有2g+9-1=0, 解得9=之(9=-1不合题意舍去)小 4.510由a1+a4=18和a2+a3=12, 得方程组厂a+a92=18, [a19+a19=12, 解得a1=2,9=2或a=16,q=2 因为9为整数，所以g=2,41=2,5。=2×(12)=2°-2 1-2 =510. 5.(1)设等差数列{a.的公差为d,由已知条件可得 [a1+d=0, 解得 a1=1, 2a1+12d=-10, d=-1. 故数列{an}的通项公式为a.=2-n 1.0-1 (2)5,=2+2+2+…+ 3+2n 2-1 2 所以5.=+分+…+ 10 3=n+2- 2” 2+1 两式相减得宁5，=之27…2-2 111 12-n 11 所以25=1-7 14272-n 12* 11,11 =+22+22”， 所以5=是 5.4数列的应用 关键能力攻重难 例1：(1)f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+ 0.9n=14.4+0.2nn++0.9n=0.1n2+n+14.4. 2 (2)设该车的年平均费用为S万元， Sw=a)=0.12+n+14.4)=0+44+1 n ≥2/1.44+1 =2×1.2+1=3.4. 当且仅当n=12时，等号成立. 故该汽车使用12年报废为宜. 对点训练1：(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设 除去设备引进费用，第n年的成本为a,构成一等差数列，前n 年成本之和为24n+nn,Dx8=24n+4n(n-1)万元： 2 故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80nm- 196=-4(n-10)2+204,n∈N+, 所以当n=10时，f(n)m=204万元. 答：引进生产线10年后总盈利最大为204万元. (2)设n年后平均盈利为g(n)万元，则g(n)=fm=-4n n 16+80,neN 因为s(m）=-4(a+）+80 49 49 Vn. 当neN,n+4型≥2 =14,当且仅当n=49 n=7 n 时取得等号， 故当n=7时，g(n)m=g(7)=24万元. 答：引进生产线7年后平均盈利最多为24万元 例2：6设每天植树的棵数构成的数列为α，}，由题意可 知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2-2≥100，即 1-2 2≥51.而2-32,2=64，neN·,所以最少天数n=6. 对点训练2：(1)当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列， ∴.am=45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n, 当11≤n≤20时，数列{a.}是公比为0.99的等比数列，又 a10=50, ∴.an=50×0.99“-10 故实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为 r45+0.5n,1≤n≤10，neN* a={50×0.9-1,1l≤n≤20，neN (2)设Sn为数列{an}的前n项和，结合(1)知 Sw=Si0+(an+a2+…+an）=10×45.5+10×(10-1) 2 ×0.5+49.5×10.990)=47.5+4950×(1-0.990)≈ 1-0.99 972.5. 器-4根65<9 故到2039年年底不需要调整政策， 例3：(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额 构成一个等差数列，记为an}, Sn表示数列{an}的前n项和，则a1=4900,a20=2510, 则S-240(a,+0w-120×490w+2510y=8920m. 故小张该笔贷款的总利息为889200-600000= 289200元. (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式. 每月还款额为一个等比数列， 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239 =600000×(1+0.004)240 /1-1.004240 所以x1-1.004 =600000×1.00420, 即x=600000×1.040×0.046000×261x0.004 1.004240-1 2.61-1 ≈3891， 因为3891<1000×3-500. 所以小张该笔贷款能够获批 (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240- 600000=933840-600000=333840(元)，因为333840 >289200. 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款 方式. 对点训练3：514由题知小明第1次还款a元后 还欠本金及利息为[6000(1+0.5%)-a]元， 第2次还款a元后， 还欠本金及利息为： [6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a]元， 第3次还款a元后， 还欠本金及利息为： [6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)- a]元， 以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为： 6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)"-…-a(1+0.5%)- a元， 此时已全部还清，则6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)1- …-a(1+0.5%)-a=0, 即6000(1+0.5%)2=a[1-(1+0.5%)2] 1-(1+0.5%) 解得a-6000×0.05×1.005”=30x1,02-514 1.0052-1 0.062 课堂检测固双基 1.C第-年价格为：810×(1-3)=540： 第二年价格为：540×(1-号）=360： 第三年价格为：3600×(1-号）-2400 2.B由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n层有 0045 课堂检测 固双基 1.已知在等比数列{am}中，a1=3,an=96,Sn=5.已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和 189,则n的值为 A.4 B.5 8号 C.6 D.7 (1)求{an}的通项公式； 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3 (2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求 成等差数列若a1=1,则S4等于 () {bn}的前n项和Tn A.7 B.8 C.15 D.16 3.(2023·新高考Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前 n项和，若S4=-5,S。=21S2,则Ss=（) A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.若等比数列{an的前n项和为Sn,a3= 2, 夯基提能作业 =号则公比g= 请同学们认真完成练案[9] 等比数列习题课 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.进一步理解等比数列中a,与Sn的关系， (数学运算) 体会不同的求和方法中所蕴含的求和思想，能针 2.掌握几种与等比数列有关的求和方法.（数 对不同的数列选择恰当的求和方法。 学运算) 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 关于等比裁列Sn与an 题型一等比数列an与Sn的关系 的关系 例)已知正项等比数列a,的前n项和为S,4=1,且-4，4，成 （1)Sn与an的关系 等差数列，则Sn与an的关系是 ）可以由S。=41a9得 1-q A.S,=2a-1 B.S =2a +1 到，一般已知a1,9即 C.S =4a-3 D.S =4a -1 可得到二者之间的关 系，也可以通过特殊 (2)数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关项验证判断. 于{an}的论断中正确的是 ( (2)Sn-Sn-1=an（n ≥2)是Sn与a之间 A.一定是等差数列 的内在联系，既可以 B.可能是等差数列，但不会是等比数列 推出项an-1,an,an+l 之间的关系，也可得 C.一定是等比数列 到Sn-1,Sn,Sn+1之间 D.可能是等比数列，但不会是等差数列 ·[规律方法] 的关系，体现了Sn与 an关系的本质. 046 》对点训练1 (1)等比数列{an},若已知am=3"-1,则Sn与an的关系是什么？ (2)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= 题型二分组转化求和 例2已知数列1,1+2,1+2+23，，1+2+2+…+2， (1)求其通项公式an； (2)求这个数列的前n项和Sn [分析]注意观察数列的每一项可以发现，数列的第1,2，…，n项依次 为等比数列{an}的前n项和，其中a,=2"-1.求该数列各项的和可先求通项 an,再依an的特征选择求和方法. [规律方法] 规律方法： 分组转化求和法 对点训练2 如果一个裁列的每一项 各项均为正数的等比数列{an},a,=1,a2a4=l6,数列{b.}的前n项和为是由几个独立的项组合 s,且S.=3n)+(neN.) 而成，并且各独立项也 2 可组成等差或等比裁 (1)求数列{an},{bn}的通项公式； 列，则该裁列的前n项 (2)若cm=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn 和可考虑拆项后利用公 式求解. ●047 题型三错位相减法求和 例3，设0是公比不为1的等比数列，4为4,4的等差中项 (1)求{an}的公比； (2)若a1=1,求数列{nan的前n项和. 规律方法： 锆位相减法 若裁列{an为等差数 [规律方法] 列，数列{bn}是等比裁 列，由这两个裁列的对 》对点训练3 应项乘积组成的新裁列 已知数列a,的前n项和为及4=-呈，且4级=38-9 为anbn},当求该数列 的前n项的和时，常常 (1)求数列{an}的通项； 采用将anbn}的各项乘 (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N),记{bn}的前n项和为 以公比9，然后错位一 Tn,若T≤bn对任意n∈N*恒成立，求实数入的取值范围. 项与{anbn}的同次项对 应相减，即可转化为特 殊裁列的求和，所以这 种数列求和的方法称为 错位相减法 048 ●易错警示 对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母进行分类讨论而致误 例4求数列1，a,d,…的前n项和S, [错解]S。=1+a+a2+…+a-1=1-a=0“-1 -1-a-a-1 [误区警示]错误的原因在于忽略了对α的取值进行分类讨论. [正解] 课堂检测固双基 1.已知数列{an}为等差数列，且2“，2,2成等比5.已知等差数列{an}满足2=0，a。+ag=-10. 数列，则{an}前6项的和为 () (1)求数列{a,}的通项公式； A.15 B.21 2 (2)求数列的前n项和s 2" C.6 D.3 2.等比数列{an}的公比为g,前n项和为Sn,设 甲：9>0，乙：{Sn}是递增数列，则 () A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项 和为S.若2S,S,S2成等差数列，则数列 {an}的公比为 4.在等比数列{an}中，公比g是整数，a1+a4= 18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10]