5.2.2 等差数列的前 n 项和-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

022 5.2.2等差数列的前n项和 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时候可以从中 1.借助教材实例了解等差数列前n 心对称的角度来思考，这就是倒序相加法的本质，采取图 项和公式的推导过程.（逻辑 示的方法有助于理解公式的推导.也正是因为中心对称 推理) 的缘故，等差数列的前n项和可以有多种表达形式. 2.借助教材掌握a1,an,d,n,Sn的关 2.等差数列的通项是“一次函数”，其前n项和是“二次函 系.（数学运算） 数”，要能够从二次函数的角度看待等差数列前n项和的 3.掌握等差数列的前n项和公式、 性质与本质特征，同时也可以构建等差数列通项公式与 性质及其应用.（数学运算） 前n项和的联系， 必备知识探新知 知识点一 等差数列的前项和公式的推导（倒序相加法） 设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为an}的公差， Sn=a1+a2+a3+…+an 倒序得Sn= 两式相加得2Sn=(a1+an)+（a2+an-1)+…+(an+a1). 由等差数列的性质得a1+an=a2+an-1=a3+an-2=·=am+a1, 所以有Sn= ①. 又an=a1+(n-1)d,代人①式，得Sn= ②. 知识解读：(1)等差数列的前n项和公式中，涉及a1,am,n,n,d五个量，通常已知其中三个量， 结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二”的方程思想 (2)S,=(a+a）反映了等差数列的前n项和与它的首项、未项之间的关系：S,=n1+ 2 n(n-1)d反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系. 2 (3)当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便 在运用公式①时，注意结合等差数列的性质， 知识拓展：等差数列前n项和的性质 性质1：等差数列的依次k项之和仍然是等差数列，即S,S2k-Sk,S3k-S2,S4-S3,…成等差数 列，且公差为k2d 性质2： 是等差数列： 性质3：在等差数列{an}中，若an=m,an=n,则am+n=0;若Sn=m,Snm=n(m≠n),则Sm+n -(m+n). 陛4洁0和山等数列前项和分别是和尼女有 023 性质5：)项数为2n的等差数列a,有S=n(a+a),S-S=n,=a (2)项数为2n-1的等差数列{an},有S2m-1=(2n-1)an(an为中间项)，S奇-S偶=a., St=n S偶n-1 性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)项至第2k项、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列， 而不是Sk,S2,Sx成等差数列. 知识点二等差数列的前n项和公式与函数的关系 市于s=a,+a24=受+a-2n, 2 当d≠0时，此公式可看作二次项系数为号一次项系数为口-，常数项为0的 其图像为抛物线y=号+0-号x上的点集，坐标为(m,3)(neN,)。 因此，由二次函数的性质可以得出结论：当d>0时，S。有最 值；当d<0时，Sn有最 值 知识解读：从函数的角度认识等差数列的前n项和，可以有以下发现. （)S=m+02》4可变形为32+a-引a,令2=Aa-号 B,则S。=An2+ Bn(A,B为常数)，并且有如下结论：数列{an}是等差数列台Sn=An+Bn(A,B为常数). (2)=4+号a-1),这说明是等老列 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 等差裁列前几项和公式的运算方 题型一有关等差数列前n项和公式的计算 例1.(1)4=，5=20，求S: 法与技巧 类型 “知三求二型” (2)a-号d=75=-15.求n及a 基本量 a,d,n,an,S. (3)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d. 运用等差裁列的通项 [分析]在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1, 公式和前n项和公式 方法 建立方程（组)，通过 an,d,n,Sn,只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量， 解方程（组）求出未 知量 思想 方程的思想 ①利用等差裁列的性 质简化计算， ②注意已知与未和条 注意 件的联系： ③有时运用整体代换 的思想 [规律方法] 024 》对点训练1 已知等差数列{an}中， (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a=13,S,=35,则ag= A.8 B.9 C.10 D.11 (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差 d为 () A.7 B.6 C.3 D.2 (3)(2023·甲卷（文）)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a。= 10,a4ag=45,则S= () A.25 B.22 C.20 D.15 题型二等差数列前n项和的性质 例21)已知等差数列a,前n项和为S3,=40,8=210,34=130,则 n= () A.12 B.14 C.16 D.18 (2)(2023·河南信阳高一联考)两个等差数列{an},{b.},若 +发-70好 () 9b7 4沿 B.1 8 0.3 16 器 (3)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这 个数列的中间项及项数， [分析](1)求n想到S=n(a+a）_n(a。+ami) 2 2 →Sn-Sn-4=a. 规律方法： an-1+an-2+an-3,a1 a2+a3 +a4a+an. 等差数列前n项和的 (2)求值想到又-a）若m+a=p十9则+a,=瓜，+风→号 性质主要有以下 2 两类： S2m-1 （1)在等差裁列{an} S'2n-1 中，Sn,S2m-Sn,Sn (3)已知等差数列的奇数、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直S2,成等差数列. 接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系， (2)在等差数列{an} 中：①若项数为2n+ 1(n∈N),则。 S ”出其中sg=u+ 1）au+l,S%=n: am+1;②若裁列项数为 2n(n∈N.),则Ss- S=nd. [规律方法] ●025 》对点训练2 (1)已知某等差数列{4}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 (2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项 和为 () A.130 B.170 C.210 D.260 题型三等差数列前n项和的最值 例3在等差数列a巾，4=25，S,=8,求3的最大值 [分析]本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使a≥0，a.+1<0 或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项. 规律方法： 解等差数列的前n项 和最大（最小）值问 题的常用方法有： (1)二次函数法·由 于s=号+(a 受)n是关于n曲二 次式，因此可用二次 函数的最值来确定S 的最值，但要注意这 里的n∈N, (2)图像法：可利用 二次函数图像的对称 性来确定n的值，使 S,达到最大（或最 小) (3)道项法：由于S =Sn-1+an,所以当 an≥0时，Sn≥Sn-1 当an≤0时，Sn≤ Sn-1,因此当a1>0, 且d<0时，使an≥0 [规律方法] 的最大的n的值，使 》】对点训练3 Sn最大：当a1<0, (1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,已知a1+a4+a,=99,d>0时，满足an≤0 a2+a,+a=93,若对任意neN*,都有Sn≤S.成立，则k的值为 的最大的n的值，使 (2)已知等差数列{an}中，a1=13,S3=S1.那么当n= ,Sn取最Sm最小. 大值 026 ●易错警示 由和求项注意验证首项 例4已知数列a,的前n项和S。=?+3n+2判断a,是吞为等差数列 [错解]an=Sn-S.-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2(常数)， ∴.数列{an}是等差数列. [误区警示]an=Sn-Sn-1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证. [正解] 课堂检测固双基 1.在等差数列{an}中，已知a4+ag=16,则该数5.在等差数列{an}中，Sn为该数列的前n项和. 列前11项的和S1= () (1)已知a5=11,ag=5,求an; A.58 B.88 C.143 D.176 (2)已知a2+a4=4,a3+a5=10,求S1o 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S=So, a5=1,则a1= () B号 c-} 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1= -2,Sm=0,Sm+1=3,则m= () A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2023·新高考I)记Sn为数列{an}的前n项 和，设甲：{an}为等差数列；乙： 侣}为等差数 列，则 ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 夯基提能作业 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 请同学们认真完成练案[5] 条件=300. 对点训练3：(1)A（a1+a4+a,)+（a3+a6+a,)= 2(a2+a5+ag）, 即58+(a3+a6+ag）=88, 所以a3+a6+a,=30. (2)24方法一：a1+3ag+a15=120,∴.5ag=120, ∴.ag=24,∴.2ag-a10=(ag+a1o）-a0=ag=24. 方法二：：a1+3ag+a5=120,.a1+3(a1+7d)+(a1+ 14d)=120, .a1+7d=24,∴.2ag-a10=a1+7d=24. 例4：设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则：{a-3d）+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26① l(a-d)(a+d)=40 ② 0得a=号代人②，得d=±子四个数为2.5,8，川 或11,8,5,2. 对点训练4：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0) 则/3a=12, 价。a-:8解怒日2所以这三个数 是6,4,2. 例5：B 课堂检测固双基 1.C因为a.}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a 的等差中项为2，所以a1+2=2,a+a3=4,两式相减得a3- a1=2d=4-2,解得d=1. 101 2.0a1+a1ol+a2+a1o0+…+as0+a52+a51= 2(a1+ao)= 0,∴.a1+a1o1=0. 3.4a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴.3(a3+a5）+2(a7+a1o+ag）=6a4+6a10=6(a4+a10） =24, a4+a10=4. 4.90因为数列{an},b}都是等差数列，所以{an+bn}也构成 了等差数列，所以(a2+b)-(a1+b1)=(a3+b3)-(a2+ b2),所以a3+b3=90. 5.设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,由题意， 得8 即3a=21, 1aa-)231解得{士4 等差数列{an}是递增数列，.d=4. .等差数列的首项为3，公差为4. ∴.am=3+4(n-1)=4n-1. 5.2.2等差数列的前n项和 必备知识探新知 知识点一am+am-l+…+a2+a1 n(a1+am） 2 na +n(n-1)d 知识点二二次函数小大 关键能力攻重难 例1：(1)S,=4a1+4×(4-D4=4a,+6d=2+6d=20. 2 ∴.d=3 故S。=6a1+6×(5-Dd=6a,+15d=3+15d=48, 2 16 (2:S=m…多+2(-宁)=-15.整理得-7n -60=0. 解得n=卫或m=-5(含去)a8=子+(2-1)× (-)=-4 (3)由s.=(a,ta）-n-5+山=-1022，解得n 2 2 =4. 又由an=a+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d =-171. 对点训练1：(1)B设等差数列{a,}的公差为d, ma+s=a,+2d+a1+7d=2a+9d=13, 8-7a+74=a+21d=35, 解得2， ld=1, .as=a1+7d=2+7=9,故选B. (2)CS2=a1+a2=2a1+d=4① S4=4a1+6d=20② 由02解得a=方d=3故选C (3)C等差数列{an}中，a2+a6=2a4=10, 所以a4=5, asas =5as =45, 故ag=9, 则d=g4=1,a=a,-3=5-3=2, 则5=5a,+54=10+10=20 故选C. 例2：(1)BSn-S.-4=an+aa-1+am-2+an-3=80. S4=a1+a2+a3+a4=40. 两式相加得4(a1+an)=120,∴.a1+a.=30. 由S.=na+0=210n=14. 2 S-7n+2a2-S3_93 (2)C由已知=n+36=s=16 (3)设等差数列{an}共有(2n+1)项，则奇数项有(n+1) 项，偶数项有n项，中间项是第(n+1)项，即a+1, S二之(a+an+0n+a+14 (a.tas.)n nan+1 n-33 合得8 ∴.2n+1=7 又S奇=(n+1)·am+1=44, an+1=11. 故这个数列的中间项为11，共有7项. 对点训练2：(1)C共有10项，∴.S偶-S奇=5d,∴.5d= 15,.d=3. (2)C由Sm,S2m-Sm,Sm-S2m成等差数列，且Sm=30, S2m=20,得2(S2m-Sn）=Sm+S3m-S2m, 即2(100-30)=30+Sm-100, 解得S3m=210. 例3：方法一：由S1,=S,得 25x17+7(17-1)d=25x9+号(9-1)d, 解得d=-2 5.=25n+2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169, 由二次函数的性质得当n=13时，S.有最大值169. 方法二：先求出d=-2(同方法一) .a1=25>0, 由，=25-2(n-1)≥0， 「n≤132， 得 lan+1=25-2n≤0， ≥22 ∴.当n=13时，S有最大值169. 方法三：先求出d=-2(同方法一). 由S1,=S,得a10+a1+…+a1=0, 又a10+a17=a1+a16=a12+a15=a1g+a14, 故a3+a14=0. d=-2<0,a1>0,∴.a13>0,a14<0. 故n=13时，Sn有最大值169. 方法四：先求出d=-2(同方法一)，则S。的图像如图 所示， 0 91317 由S,=5知，图像的对称轴n=9,17=13, 2 故当n=13时，Sn取得最大值169. 对点训练3：(1)20方法一：对任意n∈N,都有S,≤S 成立，即S4为S.的最大值.因为a1+a4+a,=99,a2+a5+as= 93,所以a4=33,a=31,故公差d=-2,am=a4+(n-4)d= 41-2,当S,取得最大值时，对任意neN°满足≥0，解得 antl≤0， n=20 即满足对任意neN*,都有S,≤S成立的k的值为20. 方法二：同方法一可得公差d=-2,an=a4+（n-4)d= 41-2,则n=1时，a,=39,所以S,=号2+(a1-)n=-元 +40n=-（n-20)2+400,即当n=20时，S,取得最大值，从而 满足对任意neN,都有S,≤S成立的k的取值为20. (2)7S,=S,所以其对称轴为n=3+=7,知n=7时 2 Sn取最大值 例4：a1=S1=6, n≥2时，a.=S.-S.-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+ 3(n-1)+2]=2n+2, 「6， 、(n=1)显然4，-a=6-6=0,4-a, a,={2n+2,(n≥2)， 2,.an}不是等差数列. 课堂检测固双基 1.BS=1(a,+a)-1(a,*a）_1x16-8 2 2 2.BS5=S1o, 则Sio-S=a6+a7+ag+a+a1o=5ag=0,解得ag=0, 又因为4=1，所以公老d=-分， 16 故a=a,-71=子故选B 3.C am=Sm-Sm-1=2,am=Sm+1-Sm=3,d=am+l-am =3-2=1.由Sm m(a+a）=0,得a1=-an=-2 ∴.am=-2+（m-1)·1=2,解得m=5. 4.C若{an}是等差数列，设数列{an的首项为a1,公差为d, 则S.=na,+nn,-1d, 2 d n 故{侣}为等若数列， 即甲是乙的充分条件. 反之.者[倍}为等茶数列，则可设-÷=0， n+l n 则=S,+(n-1)D,即S。=n心，+n(n-I)D, 当n≥2时，有S.-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 上两式相减得：an=S.-S.-1=S,+2(n-1)D, 当n=1时，上式成立，所以an=a1+2(n-1)D, 则am+1-a,=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D(常数)， 所以数列{an}为等差数列. 即甲是乙的必要条件」 综上所述，甲是乙的充要条件 故本题选C. 5.(①)设公差为d,由题意得+41=山， la1+7d=5, 解得a19, d=-2. .∴.an=a1+(n-1)d=19-2(n-1)=21-2n. (2)由题意，得厂+d+a+3d=4, a1+2d+a1+4d=10, +2d=2, la+3d=5, 解得厂0÷-4， Ld=3. 5。=(-4)×10+10x9x3=95. 2 等差数列习题课 关键能力攻重难 例1：(1)153由a1=-7,a+1=an+2,得a1-a,=2,则 a1,a2,…,a17是首项为-7，公差为2的等差数列. 所以S,=17×(-7)+17×()7-山×2=153. 2 (2)4700由a1=-7,am2=a,+2,可得a+2-an=2,故 a1,a3,a5,a,…,ag是首项为-7，公差为2的等差数列，共 50项. a,+a+a5+…+a0=50×(-7）+50x(50-山x2= 2 2100. 同理，a2,a4,a6,…,a1m是首项为3，公差为2的等差数列， 共50项， 4+a4+a6+…+am=50×3+50x(50-×2= 2 2600.故S1m=2100+2600=4700.