5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

=1+2m-0=" 2 2 :.an=n+I 3变形为1-L 对点训练3：将am+1=3-a, 1 an+1 an =-3 令b.=人，则b1-b.=-3 a 数列6.构成等差数列，首项6，=。=2，公差d=-了 a 6=4+(a-0d=2-号n-)-7号 3 a.=7-n 创4：D由题在知3480解得子<d≤3，故选D -24+8d≤0. 课堂检测固双基 1.Aam=2n+5.a4-l=2n+3(n≥2)， .am-am-1=2n+5-2n-3=2(n≥2)， ∴.数列{an}是公差为2的等差数列 2.B设这个等差数列为an}, 其中a1=-3,d=4,∴.a15=a1+14d=-3+4×14=53 3.Ca1=1,d=-1-1=-2,∴.am=1+(n-1)·(-2)= -2n+3, 由-89=-2n+3,得n=46. 4.CC项不满足等差数列的定义， 5.(1)am+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数)，n为任意正 整数，所以此数列为等差数列. (2)因为a.+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2(不 是常数)，所以此数列不是等差数列. 第2课时等差数列的性质 必备知识探新知 知识点二(1)n-m(2)a。+a,2a。 知识点三a.-1a,-k+ 知识点四(1)dcd2d(2)pd,+qd2 关键能力攻重难 例1：(1)Aa,b的等差中项为 1 1 +b_B+万月-25-D+5+E-5 十 2 2 (2)B由题意得2(3x+3)=x+(6x+6),所以x=0. 所以等差数列的前三项为0,3,6，公差为3， 所以等差数列的第四项为9.故选B. (3)因为。方成等差数列。 所以子=亡+化商得2c=a+, xb+cta+bbc+e+atab b(a+c)+ota_2ac+ota ac ac =(a+c)=(a+c) =2.a+c ac b(a+c) b 2 所以+9，a+,a+也成等差数列. a’b 对点训练1：①C2所以a=,6s3 2b=x+2x, 2 16 所以号=号 (2)B在等差数列{an}中，若a2=4,a4=2,则a4= 之(a+a,)=2(4+a)=2,解得a。=0放选B 3)由已知，+ea中6或等若数列，可得子。寸 1 1 a+b' 所以2」 2b+a+c c+a=(b+c)(a+b)' 所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b), 所以a2+c2=2b, 所以a2,b2,c2也成等差数列， 例2：解法一：设等差数列{an}的公差为d, a15=a1+14d,ao=a1+59d, 64 ∫a1+14d=8, a15 la1+59d=20, 解得{ 4 d=15 a,=a+74d=倍+74×音=24 解法二：{an}为等差数列， .a15,a0,a45,a0,a5也为等差数列. 设其公差为d,则a1s为首项，ao为第4项， .a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4. a5=a0+d=20+4=24. 解法三：raw=as+(60-15)dd=05-号 =aw+(75-60)d=20+15×青=24 对点训练2：7解法一：设等差数列{an}的公差为d, 由题意，得+d=3, 「a1=2 1a1+7d=6, 1 d=2 5+9=7. a0=a1+9d=之+2 解法二：设等差数列{an}的公差为d, as-4=6d=3,d=2 ∴ao=a,+2d=6+2×7=7. 例3：(1)A:{an}是等差数列，2ag=a5+a13, 故a13=2×6-3=9. (2)35方法一：设数列{a.},{bn}的公差分别为d1,d2,因 为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b)+2(d+d2)= 7+2(d1+d2)=21, 所以d,+d,=7,所以a+b=（a1+b3)+2(d+d)= 21+2×7=35. 方法二：因为数列an},{bn}都是等差数列. 所以数列{a.+b.}也构成等差数列，所以2(a3+b)= (a1+b)+(a5+b),所以2×21=7+a5+bs,所以a5+b5=35. (3)D方法一：a3+a4+a5+a6+a7=750, .∴.5a5=750, .a5=150,.a2+ag=2a5=300. 方法二：a3+a4+a5+a6+a,=750, .a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=750, .a1+4d=150,.a2+ag=a1+d+a1+7d=2(a1+4d) =300. 对点训练3：(1)A（a1+a4+a,)+（a3+a6+a,)= 2(a2+a5+ag）, 即58+(a3+a6+ag）=88, 所以a3+a6+a,=30. (2)24方法一：a1+3ag+a15=120,∴.5ag=120, ∴.ag=24,∴.2ag-a10=(ag+a1o）-a0=ag=24. 方法二：：a1+3ag+a5=120,.a1+3(a1+7d)+(a1+ 14d)=120, .a1+7d=24,∴.2ag-a10=a1+7d=24. 例4：设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则：{a-3d）+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26① l(a-d)(a+d)=40 ② 0得a=号代人②，得d=±子四个数为2.5,8，川 或11,8,5,2. 对点训练4：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0) 则/3a=12, 价。a-:8解怒日2所以这三个数 是6,4,2. 例5：B 课堂检测固双基 1.C因为a.}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a 的等差中项为2，所以a1+2=2,a+a3=4,两式相减得a3- a1=2d=4-2,解得d=1. 101 2.0a1+a1ol+a2+a1o0+…+as0+a52+a51= 2(a1+ao)= 0,∴.a1+a1o1=0. 3.4a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴.3(a3+a5）+2(a7+a1o+ag）=6a4+6a10=6(a4+a10） =24, a4+a10=4. 4.90因为数列{an},b}都是等差数列，所以{an+bn}也构成 了等差数列，所以(a2+b)-(a1+b1)=(a3+b3)-(a2+ b2),所以a3+b3=90. 5.设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,由题意， 得8 即3a=21, 1aa-)231解得{士4 等差数列{an}是递增数列，.d=4. .等差数列的首项为3，公差为4. ∴.am=3+4(n-1)=4n-1. 5.2.2等差数列的前n项和 必备知识探新知 知识点一am+am-l+…+a2+a1 n(a1+am） 2 na +n(n-1)d 知识点二二次函数小大 关键能力攻重难 例1：(1)S,=4a1+4×(4-D4=4a,+6d=2+6d=20. 2 ∴.d=3 故S。=6a1+6×(5-Dd=6a,+15d=3+15d=48, 2 16 (2:S=m…多+2(-宁)=-15.整理得-7n -60=0. 解得n=卫或m=-5(含去)a8=子+(2-1)× (-)=-4 (3)由s.=(a,ta）-n-5+山=-1022，解得n 2 2 =4. 又由an=a+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d =-171. 对点训练1：(1)B设等差数列{a,}的公差为d, ma+s=a,+2d+a1+7d=2a+9d=13, 8-7a+74=a+21d=35, 解得2， ld=1, .as=a1+7d=2+7=9,故选B. (2)CS2=a1+a2=2a1+d=4① S4=4a1+6d=20② 由02解得a=方d=3故选C (3)C等差数列{an}中，a2+a6=2a4=10, 所以a4=5, asas =5as =45, 故ag=9, 则d=g4=1,a=a,-3=5-3=2, 则5=5a,+54=10+10=20 故选C. 例2：(1)BSn-S.-4=an+aa-1+am-2+an-3=80. S4=a1+a2+a3+a4=40. 两式相加得4(a1+an)=120,∴.a1+a.=30. 由S.=na+0=210n=14. 2 S-7n+2a2-S3_93 (2)C由已知=n+36=s=16 (3)设等差数列{an}共有(2n+1)项，则奇数项有(n+1) 项，偶数项有n项，中间项是第(n+1)项，即a+1, S二之(a+an+0n+a+14 (a.tas.)n nan+1 n-33 合得8 ∴.2n+1=7 又S奇=(n+1)·am+1=44, an+1=11. 故这个数列的中间项为11，共有7项. 对点训练2：(1)C共有10项，∴.S偶-S奇=5d,∴.5d= 15,.d=3. (2)C由Sm,S2m-Sm,Sm-S2m成等差数列，且Sm=30, S2m=20,得2(S2m-Sn）=Sm+S3m-S2m, 即2(100-30)=30+Sm-100, 解得S3m=210. 例3：方法一：由S1,=S,得017 第2课时 等差数列的性质 素养目标定方向 课程目标 学法指导 能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差 在学习等差数列的性质时，要类比一次函数的性 数列的性质解决相关问题.（数学运算） 质归纳出等差数列的性质，特别是中心对称性 必备知识 探新知 知识点一 等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项. 事实上，若a,A6成等若数列，则A-“,且A是a与6的等差巾项；若A-“,即4-a b-A,则a,A,b成等差数列. 知识解读：在等差数列{an}中，任取相邻的三项an-1,an,an+1(n≥2，n∈N*),则an是an-1与 an+1的等差中项. 反之，若a.-1+an+1=2a.对任意的n≥2，n∈N均成立，则数列{a}是等差数列. 因此，数列{an}是等差数列曰2an=am-1+an+1(n≥2，n∈N).用此结论可判断所给数列是否 为等差数列，称为等差中项法： 知识点二等差数列中的项与序号的关系 (1)两项关系 an=am+( )d(m,n∈N*). (2)多项关系 若m+n=p+q(m,n,p,g∈N*) 则an+am= 特别地，若m+n=2p(m,n,p∈N),则am+an= 知识点三等差数列的项的对称性 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中 间项的2倍)，即a1+an=a2+ =ak+ =2a(其中n为奇数且n≥3)： 知识点四等差数列的性质 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： ①{c+an(c为任一常数)是公差为的等差数列； ②{c·an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； ③{a.+an+k}(k为常数，keN)是公差为 的等差数列. (2)若{an},{b.分别是公差为d,d,的等差数列，则数列{pa.+gbn}(p,9是常数)是公差为 的等差数列， 知识点五等差数列的单调性 由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响. (1)当d>0时，数列为递增数列，图像如图1所示； (2)当d<0时，数列为递减数列，图像如图2所示； 018 (3)当d=0时，数列为常数列，图像如图3所示. 4 4 1. 01234 9123n 91234n 图1 图2 图3 知识解读：通过对比等差数列和一次函数的异同，可以看出等差数列的性质实质上是一次函数 性质的直接反映，因此研究等差数列的性质，可以回归到对一次函数性质的研究，一次函数最重要 的性质是单调性和中心对称性（直线上的点都是对称中心） 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一等差中项的应用 例.1)已知a 、1 ,b= 一1。，则a,b的等差中项为 3+2'5-2 A.3 B.√2 D.I 2 规律方法： (2)(2025·广东东莞高三模拟)等差数列x,3x+3,6x+6,…的第四项1.等差中项的应用 等于 ）策略 A.0 B.9 C.12 D.18 (1)涉及等差数列中 (3)已知。，之等去数列，证明士5，“，4t成等老数列 相外三项问题可用等 a’b 差中项求解 [分析](1)求a,b的等差中项→等差中项的定义→等式一计算. (2)在一个等差裁列 (2)先根据已知求出x的值，再求出数列的第四项 中，从第2项起，每 一项（有穷裁列的末 (3)先由条件得到a,b,c的关系，再计算+c+a+也，化简可得等于 项除外)都是它的前 一项与后一项的等差 29 中项，即2an=an-1+ an+;实际上，等差 裁列中的某一项是与 其等距离的前后两项 的等差中项，即2a =an-m+an+m（m, n∈N",m<n). 2,等差中项法判定等 差裁列 若数列{an}满足2an =an-l+an+l（n≥ 2),则可判定数列 an{是等差数列. ●[规律方法] 019 》对点训练1 (1)一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则6等于 A. R c n号 (2)(2025·江苏淮安高二期末)在等差数列{an}中，若a2=4,a4=2,则a6= A.-1 B.0 C.1 D.6 3)已知十e。+n中皮等去数列，试证：心，心也成等去数列 题型二等差数列通项公式的推广an=am+(n-m)d的应用 例2.若1a,为等差数列，s=8,a0=20,求a 》对点训练2 等差数列{an}中，a2=3,ag=6,则a1o= 020 题型三用性质am+an=a,+a,(m,n,P,geN,,且m+n=p+q)解题 例3.(1)(2025·天津宝坻区高二月考)在等差数列a,中，已知4，=3,4， =6,则a13= A.9 B.12 C.15 D.18 (2)(2025·塘沽高二检测)设数列{an},{b.}都是等差数列.若a1+ b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= 规律方法： (3)(2025·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+ 等差数列运算的两条 a6+a1=750,则a2+ag= 常用思路 A.150 B.160 C.200 D.300 (1)根据已知条件 [分析]（1)根据等差数列的性质得出2a,=a+a13,然后将值代入即可 列出关于a1,d的方程 求出结果， （组)，确定a1,d, 然后求其他量 (2)方法一：求a5+b→各设出公差→利用通项公式； (2)利用性质巧解 方法二：求a5+b5→{an},{bn}都是等差数列→an+bn}也构成等差 观察等姜数列中的项 数列 的序号，若满足m+ (3)求a2+ag的值→a3+a7=a4+a6=2a5→a5→a2+ag=2a5. n=p+q=2r(m,n,P, D[规律方法]q,r∈N·),则am+ 对点训练3 an =ap ag =2a. (1)在等差数列{an}中，a1+a4+a,=58,a2+a5+ag=44,则a3+a6+ag 特别提醒：递增等差 的值为 数列d>0,递减等差 A.30 B.27 C.24 D.21 裁列d<0,解题时要 (2)已知等差数列{an}中，a1+3ag+a15=120,则2ag-a1o= 注意数列的单调性对 题型四等差数列中的对称设项 d取值的限制. 例4成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这 四个数 规律方法： [分析]已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知， 三个数或四个裁成等 常常设为a-3d,a-d,a+d,a+3d更简单.再通过联立方程组求解. 差裁列时，设未知量 的技巧如下： (1)当等差数列{an{ 的项裁n为奇裁时 可设中间一项为a, 再用公差为d向两边 分别设项：…，a-2d, a-d,a,a +d,a+ 2d,. (2)当等差数列{an} 的项数n为偶数时， 可设中间两项为a d,a+d,再以公差为 2d向两边分别设项： …,a-3d,a-d,a+ ·[规律方法] d,a+3d,…,这样可 减少计算量. 021 》对点训练4 (2025·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48， 求这三个数， ●易错警示 对等差数列的定义理解不透彻而致误 例5.(024：宁夏银川高二期末)已知数列1a,是无穷数列，则“2，=4，+4，”是数列a,为等 差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [错解]C [误区警示]应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an+1-a。或 an-an-1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的 每一项都满足等差的要求. [正解] 课堂检测 固双基 1.已知{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为5.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和 1,a2与a3的等差中项为2，则公差d=() 为21，前三项之积为231，求数列的通项公式 A.2 B号 C.1 2.等差数列{an}中，a1+a2+…+a1o1=0,则a1+ a1o1= 3.等差数列{an}中，3(a3+a5)+2(a,+a1o+ a13）=24,则a4+a10= 4.数列{an},{bn}都是等差数列，且a1=15,b1= 35,a2+b2=70,则a3+b3= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4]