5.3.2 等比数列的前 n 项和-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[9] 第五章数列 5.3[5.3.2 等比数列的前n项和] 儿组·素养自测 6已知a.是等1比数列4=2，a=子则a4+ 一、选择题 a2a3+…+anan+1= () 1.(2025·北京市第十三中学高二检测)设S。为 A.16(1-4-") B.16(1-2-m) 等比数列{an}的前n项和，S3=3a3,则公比q ( c1-4) n1-2） A- R 二、填空题 7.(2024·河南省实验中学高二联考)设S.为等 c1成司 n-1或好 比数列{a}的前n项和，且S.=31-A,则 A= 2.已知{a,是由正数组成的等比数列，S,表示8.(2025·全国I卷)若一个正项等比数列的前 {an}的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S1o的 4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公 值是 ( 比为 A.511 B.1023 三、解答题 C.1533 D.3069 ! 9.在等比数列{an}中， 3.若等比数列{an}的前n项和Sn=2"-1+a,则 (1)若Sn=189,9=2,am=96,求a1和n; a3a5= ( A.4 B.8 (2)若a,+a,=10,a+a,=是求a,和S: C.16 D.32 (3)若q=2,S4=1,求S8 4.等比数列{an}的公比g<0,已知a2=1,am+2= am+1+2an,则{an}的前2020项和等于( A.2020 B.-1 C.1 D.0 5.某人计划2022年出国旅游，从2015年起每年 5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率 为P,且保持不变，并约定每年到期存款均自动 转为新一年的定期，到2022年5月10日将所 有存款和利息全部取回，则可取回的钱数 (元)为 A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 C.a[(1+p)7-(1+P)] D D.a[(1+p)-(1+p)] —127 10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn= 8组·素养提升 3an+1-3, 一、选择题 (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{Sn}的前n项和. 1.设S,是等比数列{an}的前n项和 子则 S: S6等于 Sr 3 N.0 c.s D.g 2.设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对 任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1= 2,则So1的值为 () A.2 B.200 C.-2 D.0 3.如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个 正三角形各边的中点相连得到第二个正三角 形，依此类推，一共画了5个正三角形.那么这 五个正三角形的面积之和等于 () A.23 B.213 16 C.855 D.3413 64 256 4.(多选题)(2025·连云港高二检测)已知等比 ! 数列{an}中，满足a1=1,公比g=-2,则() A.数列{2an+an+1}是等比数列 B.数列{a+1-a.}是等比数列 C.数列{ana+1}是等比数列 D.数列{log2la1}是递减数列 二、填空题 5.设S。为等比数列a,的前n项和若a1=写 a=a6,则S,= —128 6.将正偶数集合{2,4,6,8，…，2n,…}中的数从8.若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2, 小到大按第n组有2”个数进行分组如下： (Sn+1)(Sm+2+1)=(Sn+1+1)2. 第一组第二组 第三组 (1)求Sn; 2,4}6,8,10,12}{14,16,18,20,22,24,26,28}… 则2018位于第 组. 的前n项和为Tn,证明：1≤T 三、解答题 <2 7.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满 足6=1,6=3，a,b1+61=d (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和. -129(2)由a斤-(2a1-1)an-2an+1=0得 2an+1(a.+1)=an(an+1). 因为a,的各项都为正数，所以。=分 a 故a,是首项为1，公比为的等比数列，因此0，=一 10.设数列{an}的公差为d,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d, a1o=a4+6d=10+6d. 由a3,a6,a1o成等比数列得，a3a1o=a6, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得10d-10d=0, 解得d=0,或d=1. 当d=0时，S0=20a4=200; 当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7, 因此，Sn=20a,+20×194=20×7+190=330. 2 B组·素养提升 1.A解法一：a=log23,b=log6=1+log23, c=1og,12=2+log,3. .∴.b-a=c-b. 解法二：2“·2=36=(2)2， .a+c=2b,.选A. 2.C设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)， 因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=-2, 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得 d=2或d=0(舍去)， 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 故选C. 3.ABD依题意，数列a,}是正项等比数列，所以a3>0,a7>0, a5>0. 所以6-2+3≥2,2.3-26 √a,a,√a 因为a>0,所以上式可化为a≥2， 当且仅当4=25,6时等号成立 4.D由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2-5x+m=0 的根则m=4,另一根为4，设x3,x4是方程x2-10x+n=0的 根，则x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为1，x3,4,x4,公 比为2,6=2=8，m=16,只=若1是方程2-10x+n n =0的根，另一根为9，则n=9,设x2-5x+m=0之两根为x1, x2则x1+x2=5,无论什么顺序均不合题意. 5.4am-1am+1-2am=0, 由等比数列的性质可得，a-2am=0, am≠0，∴.am=2. T2m-l=a1a2…a2m-1=(a1a2m-l）·(a,a2m-2）…am=a2m-2an =a2m-1=22m-1=128, .2m-1=7,.m=4. 19 4a·a,=4=a,且@>0,4=2.又a+4+a=号 +2+2=14, 1=-3(舍去)或=2，即9=2a=8 1 义aag-8x(-( 即29 .∴.n的最大值为4. (a3-a5)2=36, 7.原式可化为 (a3+a5)2=100, a+a5=10,[a3+a3=10, '或 [a3-a5=6 a5-a3=6. 4=8,4=2,9=2或a3=8,4=2,9=2. 当9=2时，a,=32,0=64×(2）=20-” 当g=2时，a=7,0,=2- 1 8.(1)设数列{an}的公比为9，由题意，知q>1. 3 2a2,)a,a4成等差数列， .3a3=a4+2a2,3g2=g3+2q, 即g2-3g+2=0,解得q=2或q=1(舍去)，.q=2. .数列{a.}的通项公式为a。=a1g-1=2"-1. (2)b.=1og,a1·1oga.+3 1 s=分[-)+（分）+（兮）*… (点)+(2训 3 2n+3 =4-2(n+1)(n+2) 练案[9] A组·素养自测 1.C设等比数列a.}的公比为g,由S=3a3,得a1+a,+a= 3a3→a1+a2=2a3,所以a1+a9=2a192→2g2-g-1=0,解得 g=1或g=子故选C 2.D由题意知a2a4=144,即a19·a193=144, 所以a1g4=144, 六g=165g=25。-01-92-3(2°-1)=3069 1-9 3.CS1=1+a,.a1=a+1, S2=2+a,a2=1, 6 S3=4+a,a3=2, .∴.a2=a1a3,即1=2(a+1), 解得a=-方3=21-分a=8-5=4, 1 .a3a5=a=16,故选C. 4.D由am+2=aa+1+2a.,得g1=g+2g-1,即g2-q-2=0. 又q<0,解得g=-1.又a2=1,.a1=-1. ÷5,m=-)x1-=（)m1=0 1-(-1) 5.D设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存人的 a元到2022年本息和为a(1+p)'元，以此类推，2021年存入 的a元到2022年本息和为a(1+p)元，所以S=a(1+p)'+ a(1+p)6+a(1+p)5+.+a(1+p) =a[(1+p)7+(1+p)+(1+p)5+…+(1+p)] =a.+p[11tp)】=a[(1+p)°-(1+p)]. 1-(1+p) 故选D. 6C=g2=8g=2 aa1=4(2)”4(分) =25-2m 故aa2+a2a3+a3a4+…+amam+l =23+2+21+23+…+25-2m 8- 1-4 =32(1-4“). 7.3Sn为等比数列an}的前n项和，且Sn=3+1-A,a1= S1=32-A=9-A,a2=S2-S1=(33-A)-(9-A)=18,a3= S3-S2=(34-A)-(33-A)=54. a1,a2,a成等比数列，.a=a1a, .·.182=(9-A)×54,解得A=3. 故答案为3. 8.2方法一：设该等比数列为an},S.是其前n项和，则S4= 4,Sg=68, 设{an}的公比为q(g>0), 当g=1时，S4=4a1=4,即a1=1,则Sg=8a1=8≠68，显然不 成立，舍去； 当g≠1时，则s=11-）=4,5=1=g）=68 1-9 1-q 式相除片二号学. 1-q 则1+9=17，所以q=2, 所以该等比数列公比为2. 方法二：设该等比数列为an},Sn是其前n项和，则S4=4, Sg=68, 设{an}的公比为q(g>0), 所以S4=a1+a2+a3+a4=4, Ss =a az+a3 +as as +a6 +az+as =a1+a2+a3+a4+a1q+a29+a39+a49 一19 =(a1+a2+a3+a4)(1+g)=68, 所以4(1+g)=68,则1+g=17,所以q=2, 所以该等比数列公比为2. 方法三：设该等比数列为{an},Sn是其前n项和，则S4=4, Sg=68, 设{an}的公比为q(g>0), 因为Sg-S4=a5+a6+a,+ag=(a1+a2+a3+a4)g=68-4 =64, 又S4=a1+a2+a3+a4=4, 所以3=9-=16，所以g=2, 所以该等比数列公比为2. 9.（)解法一：由S,=1-4）,4,=4g以及已知条件 1-g 189=a1(1-2) 得 1-2 96=a1·2"-1, 41·2”=192,2=192 a 19=a,2-0=a(g-小a=3 又2-1=0=32n=6 3 解法二：由公式5，=二9及条件得 1-9 189=4-96×2 1-2,解得a=3,又由a,=a·g, 得96=3·2"-1，解得n=6. (2)设公比为9，由通项公式及已知条件得 ra1+a192=10, lagtag-i. ra(1+g)=10,① 即 a1+)=② a≠0,1+≠0②÷0得9=8 即g=7a1=8a=a9=8×(2)=1, 1-9 (3)设首项为a1, 9=2,S=11-2 1-22=l,即a=5 8-041-92.5×1-2 1 -=17. 1-9 1-2 10.(1)因为25.=3am+1-3, 所以2Sm+1=3a+2-3, 两式相减可得2a+1=3aa+2-3a+1, 即3am+2=5am+1, 所以等比数列a,的公比9=亭。 又因为2S1=3a2-3=5a1-3, 所以4=1，a,=( (2)因为25n=3a+1-3, 所以5=多(a-)=引(3)-小 所以{Sn}的前n项和Tn=S+S2+S3+…+S =[3+(3)+()+…+(]-2 削 1号 ( B组·素养提升 .B设公比为9,5=39≠1 a1(1-g3) 1-9=a(1-9) a(1-g)1-9a1(1+g)(1-9) 1-9 1 1+g3 q3=2 a1(1-g) =1-9-a(1-92.1-9 六8s2a0-g产=1-9`a,(1+9)1-9 1-9 1 11 =1+9*45 2.A设公比为q,:am+2aa+l+an+2=0,a1+2a2+a3=0, .a1+2a19+a192=0,.q2+2g+1=0,.9=-1,又a1=2, 六s-1-g）.21-(-1)1=2 1-9 1+1 3D此五个正三角形的边长4，形成等比数列：2,1， 11 48 这五个正三角形的面积之和-县×(2+1P+京+分+ 1 6）=3,4×（1-4341昼故选D 1 1一4 256 4.BC因为等比数列{an}中，满足a1=1, 公比9=-2， 所以an=1×(-2)-1=(-2)-1 由此可得2a。+a+1=2·（-2)”-1+(-2)"=0,A错误； a+1-a,=（-2)“-(-2)-1=-3·(-2)-1,故数列 a+1-a.}是等比数列，B正确； aam+1=（-2)"-1(-2)"=(-2)2m-1, -19 故数列{a,an+1}是等比数列，C正确；log2lan1=log22-1= n-1, 故数列{loge la,I}是递增数列，D错误. 5.121由u=a得(a9)2=a9, 3 =3 整理得q=a 合×1-39)12四 .∴.Ss= 1-3 3 6.9前n组共有2+4+8+…+2”-2×(2°-山=21-2个 2-1 数.由an=2n=2018得n=1009, .2018为第1009个偶数 .·29=512,20=1024. 前8组共有510个数，前9组共有1022个数，因此2018位 于第9组， 7.(1)由已知，a12+b2=b1,b1=1,b2=3, 得a1=2. 所以数列{a,}是首项为2，公差为3的等差数列. 通项公式为an=3n-1, （2由（1们和a6+b1=山，得61=号，因此数列扬. 是首项为1，公比为号的等比数列记6，的前n项和为 S,则 /1 1- 3 1 S=- 1 1- 22×3-7 S+2+1_S1+1S2+1 8(D由题意，有+1+计=… S1+1 所以数列{S,+1}是等比数列. 又S1+1=a1+1=2,S2+1=a1+a2+1=4, 所以+！=2，数列5。+1是首项为2，公比为2的等比 S1+1 数列. 所以Sn+1=2×2"-1=2",所以Sn=2”-1. (2)由(1)知，当n≥2时，Sn=2”-1,S.-1=2-1-1. 两式相减得an=2“-1, 当n=1时，a1=1也满足an=2"-1, 所以数列{a.}的通项公式为an=2-l 所六产 1 当n=1时，T1=1; 1 1 当n≥2时，显然T,>1,且T,=1+2+2+…+ 1-2 1 1 12 =2-2<2 所以1≤T.<2. 8