5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[8] 第五章数列 5.3[5.3.1第2课时 等比数列的性质] b组·素养自测 二、填空题 一、选择题 7.各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比 1.在等比数列{an}中，a4=7,a6=21,则ag的值 中项为2√2，则l0g2a,+l10g2a:的值为 为 ( A.35 B.63 8.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1= C.213 D.±213 6=-1a=6=8则吃- 2.(2024·山东荣成六中高二月考)已知等比数 三、解答题 列{an}中，a+a=18,3·a4=32,若a.= 9.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, 128,9>1,则n= ( A.8 B.7 C.6 a2-(2an+1-1)an-2a.+1=0. D.5 (1)求a2,a3; 3.如果数列{an}是等比数列，那么 (2)求{an的通项公式. A.数列{a}是等比数列 B.数列{2}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 4.（2024·山东莒县二中高二月考)在等比数列 {a,}中，a4·a=2,42+a0=3,则=( 10.等差数列{an}中，a4=10,且a3,a6,a1o成等比 A.2 数列，求数列{an}前20项的和S2o c2或号 D.-2或- 5.(2025·福建莆田一中高二月考)等比数列 {an}的各项都是正数且a1a1=16,则log2a6= A.1 B.2 C.3 D.4 6.设an}是由正数组成的等比数列，公比g=2,且 a1·a2·a3·…·a0=20,那么a3·a6·ag· …·a0等于 () A.210 B.220 C.216 D.215 —125 乃组·素养提升 36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通 项公式 一、选择题 1.已知2=3,2=6,2=12，则a,b,c A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 2.（2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等 差数列，a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列，则 a10= A.-20 B.-18 C.16 D.18 3.（多选题)(2025·临沂高二检测)已知数列 {a,是正项等比数列，且2+3=6，则4，的8.(2025·四川成都高三二模)已知a,是递增 a307 3 值可能是 ( 的等比数列，a=1,且2a,2a,a成等差 A.2 B.4 数列： c号 D号 (1)求数列{a,}的通项公式； (2)设b.=10g,0,+1·16g%+3 1 4.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四 ，n∈N,求数列 个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等 {bn}的前n项和Sn 比数列，则”的值是 A.4 B.2 c DI 二、填空题 5.记等比数列{an}的前n项积为T.(n∈N*),已知 am-1·am+1-2anm=0,且Tm-1=128,则m= 6.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4 =4,a1+a2+a3=14,则满足an·am+1·an+2> )的最大正整数n的值为 三、解答题 7.在正项等比数列{an}中，a1a5-2aa5+a3a,= —1265.5,-由已知得a,=a,1+a2, 2 即a19-l=a19+a19+1, 六9+9=1，解得q=-1± 2 又9>0g=5-1 21 6(9 根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1， 即P=1,则矩形HPW中，P=田=」，=5+L,则在矩 5-1 2 同理：c=(50c=(5 7.(1):lga1,lga2,lga4成等差数列， ∴.2lg2=lga1+lga4,即a=a1·a4: 设等差数列an}的公差为d,则(a1+d)2=a(a+3d),这样 =ad,从而d(d-a)=0. d≠0，∴.d=a1≠0..an=a1+(n-1)d=n·d. .a2m=2"·d 6动7·（分a(合） 数列6，是以立为首项，为公比的等比数列 26++6=++ 7 ∴.d=3.∴.a1=d=3. 8.(1)证明：由已知，有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,故b1 =a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1=4am+1+2-(4an+2） =4am+1-4am, 于是am+2-2an+1=2(a+l-2an), 即bn+1=2bn 因此数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列 (2)由(1)知等此数列{bn}中，b1=3,公比g=2, 所以a+1-2a.=3×2-1. 3 因此数列{会}是首项为分，公差为子的等差数列，2=方 (a-1)×号-子a- 所以a.=(3n-1)·2"-2. 练案[8] A组·素养自测 1.Ban}是等比数列，.a4,a6,ag是等比数列， a听=a,·a,即4-2 -=63. 2.Aa3a4=a2·a5=32, 又：a2+a5=18, =2或 fa2=16, la5=16la5=2. .g>1,.a2=2,a5=16,∴.g=2. ∴an=a29-2=2·2-2=2-1=128, .∴.n-1=7,.n=8. 3.A设6.=2，则-g=(2=g, b aa 6成等比数列： 一=2n+1“n≠常数； 当an<0时lgan无意义；设cn=nau, 则山=（m+)a山=n+)4≠常数 Cn na 4.C由等比数列的性质得a4ag=a2a1o=2, 又a2+a10=3,∴.a2=1,a10=2或a2=2,a10=1. 当4=1，ao=2时，2=0=2， 当=2，a如=1时号会分 5.B{an}是各项都是正数的等比数列， .∴.a1a11=a6=16, .a6=4, ∴.log2a6=log24=2 6.B设A=a1a4a7·…·a28,B=a2a5ag·…·a29, C=a3a6a,·…·a0,则A,B,C成等比数列， 公比为g°=20，由条件得A·B·C=20,B=20, .C=B·210=220 7.3由题意得a4a14=(22)2=8, 由等比数列性质，得a4·a14=a,·a1=8, ."logaa7 +logzau log2 (a.au)=log28 =3. 8.1设等差数列{a,}的公差为d,等比数列{b.}的公比为9， 则由a4=a1+3d, 得d=00=8-（-山=3， 3 3 b48 由6=6g得g=云=音=-8. ∴.q=-2. .a2_a1+d_-1+3 G=69=-1×（2)=1. 1 9.(1)由题意可得4=2，a=4 (2)由a斤-(2a1-1)an-2an+1=0得 2an+1(a.+1)=an(an+1). 因为a,的各项都为正数，所以。=分 a 故a,是首项为1，公比为的等比数列，因此0，=一 10.设数列{an}的公差为d,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d, a1o=a4+6d=10+6d. 由a3,a6,a1o成等比数列得，a3a1o=a6, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得10d-10d=0, 解得d=0,或d=1. 当d=0时，S0=20a4=200; 当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7, 因此，Sn=20a,+20×194=20×7+190=330. 2 B组·素养提升 1.A解法一：a=log23,b=log6=1+log23, c=1og,12=2+log,3. .∴.b-a=c-b. 解法二：2“·2=36=(2)2， .a+c=2b,.选A. 2.C设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)， 因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=-2, 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得 d=2或d=0(舍去)， 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 故选C. 3.ABD依题意，数列a,}是正项等比数列，所以a3>0,a7>0, a5>0. 所以6-2+3≥2,2.3-26 √a,a,√a 因为a>0,所以上式可化为a≥2， 当且仅当4=25,6时等号成立 4.D由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2-5x+m=0 的根则m=4,另一根为4，设x3,x4是方程x2-10x+n=0的 根，则x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为1，x3,4,x4,公 比为2,6=2=8，m=16,只=若1是方程2-10x+n n =0的根，另一根为9，则n=9,设x2-5x+m=0之两根为x1, x2则x1+x2=5,无论什么顺序均不合题意. 5.4am-1am+1-2am=0, 由等比数列的性质可得，a-2am=0, am≠0，∴.am=2. T2m-l=a1a2…a2m-1=(a1a2m-l）·(a,a2m-2）…am=a2m-2an =a2m-1=22m-1=128, .2m-1=7,.m=4. 19 4a·a,=4=a,且@>0,4=2.又a+4+a=号 +2+2=14, 1=-3(舍去)或=2，即9=2a=8 1 义aag-8x(-( 即29 .∴.n的最大值为4. (a3-a5)2=36, 7.原式可化为 (a3+a5)2=100, a+a5=10,[a3+a3=10, '或 [a3-a5=6 a5-a3=6. 4=8,4=2,9=2或a3=8,4=2,9=2. 当9=2时，a,=32,0=64×(2）=20-” 当g=2时，a=7,0,=2- 1 8.(1)设数列{an}的公比为9，由题意，知q>1. 3 2a2,)a,a4成等差数列， .3a3=a4+2a2,3g2=g3+2q, 即g2-3g+2=0,解得q=2或q=1(舍去)，.q=2. .数列{a.}的通项公式为a。=a1g-1=2"-1. (2)b.=1og,a1·1oga.+3 1 s=分[-)+（分）+（兮）*… (点)+(2训 3 2n+3 =4-2(n+1)(n+2) 练案[9] A组·素养自测 1.C设等比数列a.}的公比为g,由S=3a3,得a1+a,+a= 3a3→a1+a2=2a3,所以a1+a9=2a192→2g2-g-1=0,解得 g=1或g=子故选C 2.D由题意知a2a4=144,即a19·a193=144, 所以a1g4=144, 六g=165g=25。-01-92-3(2°-1)=3069 1-9 3.CS1=1+a,.a1=a+1, S2=2+a,a2=1, 6