5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

当n>5时，an<0;当n=5时，an=0; 当n<5时，an>0. 设Sn=a1+a2+…+am 所以当n>5时，Hn=|a1I+Ia2I+…+|anI=a1+a2+…+ a5-(a6+a,+…+an）=S3-(Sn-S5)=2S5-Sn=n2-9n +40, 当n≤5时，Hn=la1l+la2l+…+lan|=a1+a2+…+an= 9n-n2. r9n-n,n≤5， 所以H,= n2-9n+40,n>5. 练案[7] A组·素养自测 ra192=2, 1.D由条件得 40g0=gg=分放选D 2.C当m=0时，数列是等差数列，但不是等比数列.当m≠0 时，数列既是等差数列，又是等比数列.故选C 3.A设等比数列{an}的公比为g, a1+a3=3,即a1(1+g2)=3,① a1-a5=-3,即a(1-g)=-3,② 由②÷①得1-92=-1，即g2=2,a1=1. 则an=a19-1=g-1,所以a1=g=（g2)3=8 4.Aa1+a+05+-a1+a+a+a,=1三- az +as +as as q(a +as +as +az)q 「a2+a5=8, 5.A由已知得{ Las +as=162, 「a19+a19=8, la19+a197=162, 解得g=2,l0g号9=log盼2=1g2-12方=-2 1 6.A数列{a}是公比为2的正项等比数列，则a:=√2(n≥ an-1 2》设b.=·a,则a3·a @i·a=√(2) ·(2)2=22(n≥2)，即√a-1·a2}是公比为22的等 比数列 7.-256 11 a1=24=49=29=-4, 1 8.3因为正项等比数列a,},3a1,2a2a成等差数列， r9>0, 所以 2x(分）=3a+2a,9 解得q=3.所以{a}的公比q=3. 9.(1)设公比为9，由题意得2a19+a19=30, .4g+2g2=30, 19 .9+2g-15=0, 9=3或-5. am>0,∴.g=3. .an=a19-1=2·3m-1 (2)b1=a2,.b1=6. 又b+1=bn+a,.bn+1=bn+2.3-1 ∴.b2=b1+2×3°=6+2=8， b3=b2+2×3=8+6=14, b4=b3+2×32=14+18=32, b5=b4+2×33=32+54=86. 10.(1)由条件可得a1=2n+1。 an n 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以，a2=4. 将n=2代人得，a3=3a2,所以，a3=12 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{b.}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得出=20，即61=26，又6，=1， 守n+1=n 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得2=2-，所以a,=n·2- n B组·素养提升 1.D设a.=a19, ①2a.=2a1g-1,所以数列{2an}是等比数列； ②a2=ag2-2=a(g)-l,所以数列a2}是等比数列： ③2=2“19”=21112不是一个常数，所以数列/2m, 不是等比数列： logz la,I logz laq1 ④g1agla9不是一个常数， 所以数列{loga.I}不是等比数列. 故选D. 2.B由条件得2=2”-，所以a,=a×2×4×…× h-1 a a2 an-1 1X2X2×2×…x2-1=2+2++-》=2.故am= 2"9=20 3.Ca1,a3,a7为等比数列{bn}中的连续三项， ∴=a1·a,设an}的公差为d,则d≠0， .(a1+2d)2=a1(a1+6d),.a1=2d, 公比g=宁-号=2，放选C 4.D按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列 填表如图， 2 3 4 0.5 1 1.5 0.25 0.5 0.75 1 0.1250.25 0.3750.5 0.06250.1250.18750.25 1 1 放a=2b=8,c=子，则a+6+e= 9 8 .故选D. 5.5,-由已知得a,=a,1+a2, 2 即a19-l=a19+a19+1, 六9+9=1，解得q=-1± 2 又9>0g=5-1 21 6(9 根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1， 即P=1,则矩形HPW中，P=田=」，=5+L,则在矩 5-1 2 同理：c=(50c=(5 7.(1):lga1,lga2,lga4成等差数列， ∴.2lg2=lga1+lga4,即a=a1·a4: 设等差数列an}的公差为d,则(a1+d)2=a(a+3d),这样 =ad,从而d(d-a)=0. d≠0，∴.d=a1≠0..an=a1+(n-1)d=n·d. .a2m=2"·d 6动7·（分a(合） 数列6，是以立为首项，为公比的等比数列 26++6=++ 7 ∴.d=3.∴.a1=d=3. 8.(1)证明：由已知，有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,故b1 =a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1=4am+1+2-(4an+2） =4am+1-4am, 于是am+2-2an+1=2(a+l-2an), 即bn+1=2bn 因此数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列 (2)由(1)知等此数列{bn}中，b1=3,公比g=2, 所以a+1-2a.=3×2-1. 3 因此数列{会}是首项为分，公差为子的等差数列，2=方 (a-1)×号-子a- 所以a.=(3n-1)·2"-2. 练案[8] A组·素养自测 1.Ban}是等比数列，.a4,a6,ag是等比数列， a听=a,·a,即4-2 -=63. 2.Aa3a4=a2·a5=32, 又：a2+a5=18, =2或 fa2=16, la5=16la5=2. .g>1,.a2=2,a5=16,∴.g=2. ∴an=a29-2=2·2-2=2-1=128, .∴.n-1=7,.n=8. 3.A设6.=2，则-g=(2=g, b aa 6成等比数列： 一=2n+1“n≠常数； 当an<0时lgan无意义；设cn=nau, 则山=（m+)a山=n+)4≠常数 Cn na 4.C由等比数列的性质得a4ag=a2a1o=2, 又a2+a10=3,∴.a2=1,a10=2或a2=2,a10=1. 当4=1，ao=2时，2=0=2， 当=2，a如=1时号会分 5.B{an}是各项都是正数的等比数列， .∴.a1a11=a6=16, .a6=4, ∴.log2a6=log24=2 6.B设A=a1a4a7·…·a28,B=a2a5ag·…·a29, C=a3a6a,·…·a0,则A,B,C成等比数列， 公比为g°=20，由条件得A·B·C=20,B=20, .C=B·210=220 7.3由题意得a4a14=(22)2=8, 由等比数列性质，得a4·a14=a,·a1=8, ."logaa7 +logzau log2 (a.au)=log28 =3. 8.1设等差数列{a,}的公差为d,等比数列{b.}的公比为9， 则由a4=a1+3d, 得d=00=8-（-山=3， 3 3 b48 由6=6g得g=云=音=-8. ∴.q=-2. .a2_a1+d_-1+3 G=69=-1×（2)=1. 1 9.(1)由题意可得4=2，a=4练案[7] 第五章数列 5.3[5.3.1第1课时 等比数列的定义] b组·素养自测 A.公比为2√2的等比数列 一、选择题 B.公比为√2的等比数列 1.已知1a.是等比数列，4=2,4。=子，则公比g C.公差为2√2的等差数列 D.公差为√2的等差数列 = 二、填空题 2 B.-2 7已知等比数列前3项为行，令，则其第8 C.2 n 项是 2.数列m,m,m,…一定 ）8.正项等比数列{a.},若3a,2a,2a,成等差数 A.是等差数列，但不是等比数列 列，则{an}的公比g=: B.是等比数列，但不是等差数列 三、解答题 C.是等差数列，但不一定是等比数列 9.已知数列{an}为等比数列，an>0,a1=2, D既是等差数列，又是等比数列 2a2+a3=30. 3.设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5= (1)求am; -3,则a1= (2)若数列{bn}满足bn+1=bn+an,b1=a2, A.8 B.-8 求b5 C.6 D.-6 4.已知等比数列{an}的公比g=-3,则 a,+a3+a+等于 a2 +as a6 as A B.-3 号 D.3 5.已知等比数列{an}的公比为q,若a2,a5的等 差中项为4，a5,ag的等差中项为8√2，则logq 的值为 A分 B C.-2 D.2 6.（2025·北京市东城区月考)若数列{an}是公 比为2的正项等比数列，则{√an-1·an}是 () —122 10.已知数列{an}满足a1=1,na.+1= A.25050 B.24950 C.2100 D.29 2(n+1)an,设bn= n 3.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3, (1)求b1,b2,b3; a为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn} (2)判断数列{b,}是否为等比数列，并说明 的公比为 () 理由； A.√2 B.4 (3)求{an}的通项公式. C.2 D 4.在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一 横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+ b+c的值为 () 1 2 0.5 1 a 6 A.1 B.2 C.3 D.S 二、填空题 5.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是 后面两项的和，则其公比是 6.(2025·吉林高二检测)长久以来，人们一直认 为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地 分组·素养提升 使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例 一、选择题 是黄金比例5,1(5,1≈0.618称为黄金分 1.(2025·浙江省余姚中学高一检测)设{an}为 2 等比数列，给出下列四个数列：①{2an}, 割比例)，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形 ②{a2},③{2a},④{log2an1}. 有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出 其中一定为等比数列的是 ) 正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形， A.①③ B.②④ 已知图中最小正方形的边长为1，则矩形 C.②③ D.①② ABCD的长为 .(指数幂形式) d2 d3 2.已知aa,…a ,…是首项为1，公比为 2的等比数列，则数列{an}的第100项等于 () —123 三、解答题 8.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sm+1 7.已知a,}是各项为不同的正数的等差数列， =4am+2. lga,lg4,lga,成等差数列.又b.=L,n=1, (1)设bn=an+1-2a.,证明：数列bn}是等比数列； 02 (2)求数列{a,}的通项公式 2,3,… (1)证明{bn}为等比数列： (2)如果数列1，前3项的和等于，求数列 {an}的首项a1和公差d. —124