5.1.2 数列中的递推-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

对点训练4：11令a.=(25-2n)2"-l,当n≥2时，设a,为 最大项，则，≥0-1， an≥am+l, 即35-2m)2≥(27-2n)22 {25-2n2≥(23-2n2,解得号≤n≤空因为 neN*,所以n=11,又当n=1时，有a1=23<a2=42,所以数列 {(25-2n)2-1}的最大项所在的项数为11. 例5：3或4na,=n(n-7)=2-7n=(n-2)-4 71249 因为neN*,所以n=3或n=4时，数列nan}的项最小. 课堂检测固双基 1.C选项A、B、D中，a1=1不满足，排除A、B、D,故选C. 2.A②正确，其余均不对 1 3.C依题意知，a-4=(5++5+2+…+25) 1.1 (4++2*…+24)g+0方0故选0 1 1111 412四a-2++9=-2-,1g(ne 8 N), 又1}8， a7=128,ag=129,a7<ag, .数列{an}中的最大项为129. 5.令n(n+1)=419, ∴.n+n-419=0. 此方程无正整数解，故419不是数列中的项. 令n(n+1)=420, .n2+n-420=0, ..(n-20)(n+21)=0, '.nEN.,.'n =20. 故420是数列中的第20项. 5.1.2数列中的递推 必备知识探新知 知识点一首项（或前几项）递推关系 知识点二1.Sn=a1+a2+a3+…+am 25n=1, lSn-Sm-1,n≥2. 关键能力攻重难 例1：(1)C因为数列{an}满足a1=1,a+1=2a.+ 1(neN*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7, a4=2a3+1=14+1=15. (2)①：a.=am-1+am-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, ∴.a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3, a4=5,a5=8. ②：b.=a,且a1=1,4=2,a=3,a4=5,45=8, dn+l a5-8 故6，的的4项依次为6=了4=子6=子 3 6=g 对点训练1：①因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所 以am=(n-1)2. 19 ②因为a=1,a=号4=分=子， 2 12 2 a=5a,=3=6,所以a,n+ 例2：因为a1=1, a=(1-a(n≥2). 所以a,=n-1。 -1n,a =0.a.02..g.4a1 an-1 an-2 an-3 az a n-1n-2n-3,...2.1.1=. nn-1n-232 又因为n=1时，a1=1, 符合上式所以a,= 对点训练2：(1)C由题意得出-a=n(n+1)-nn, n+l n n分别为1,2,3，n-1,累加得9-丝nn-n1=nm 2+lnn,a=(lhn+2)n,故选 (2)C由na.+1=(n+1)a,可得=n+1 an n a a2 n-1 即经=片又a-la=n 1 2n=1, 例3：(1) 1 当a=1时，a=S=只当n>2 2n-2n≥2 时.a,=8-s=++5-[n-12+a-l)+5=2n 分，当n=1时，上式不成立 ,1 2,n=1, ∴.a= 1 2n-2,n≥2. (2)当n=1时，a1=S1=4； 当n≥2时，a=Sn-5m-1=(5”-1)-(5"-1-1)= 4×5"- 对n=1时，上式也成立. 所以数列{an}的通项公式为a。=4×5“-1.(n≥1) 对点训练3：a.={2°，n≥2. 3,n=1, 由条件得Sn=2+1-1. 当n=1时，a1=S1=22-1=3; 当n≥2时，a=5。-5。-1=(21-1)-(2”-1)=2 「3，n=1, 而2=2≠a,故a,={2”,n≥2 例4：[3，+o)当n=1时，a1=1;当n≥2时，an=Sn- Sm-1=2”-1-2-1+1=2"-1,a1适合上式 所以数列an}的通项公式为an=2-1, Aa,≥h-2,即A≥如子对一切neN,恒成立. A2(令)子)2 当n≥2时，f(n+1)-f(n)=4(n+)-2-4n-2= 2" 21-1 8 -4n+6<0,即函数fn)在[2，+0)上单调递减，f(n)≤f2) 2 =3, 综上所述，当a=2时，织二取最大值3，放A≥3 对点训练4：行之当n≥2时，4+2a+34,+ (n-1)aa-1+nan=2"-1, a1+2a+3a3+…+(n-1)a4-1=2"-1-1, 两式相减得na.=(2”-1)-(2-1-1)=2"-1, 所以a.-2二m≥2.当n=1时，4，=1满足上式， -1 综上所述，a=n 存在nEN,使得a,≤”+.入成立的充要条件为存在nE n N,使得A≥2 +1: 2" =所以-2a+1. 设6，=2 6m2"-可 n+2 n+1 即61≥6，所以6.单调递增，b,的最小项6，=弓，即 有人≥6，=方A的最小值为 例5：(-3，+∞)正解一：由数列am}为递增数列，知 au+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成 立，即t>-(2n+1)恒成立. 而neN*,所以t>-3,故t的取值范围是(-3，+o). 正解二=R+m=(a+号P-子 由于neN,且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图 像可得-专<子，解得>-3， 故t的取值范围是(-3，+∞) 课堂检测固双基 1.B由题可知a1=1,an-a-1=n(n≥2). 2.An=3时，a3=a2+ +1=3+1=4: a =4时风=0+女4+了号 5时分号宁器 故选A. 3Ba=-2,a1=1-1 、1+=2,=1-=1-2= -3=3, 4=1-1=1-3=-2 ∴.数列{a,}是周期T=3的周期数列， .a2019=a=3 4.a=2"-1当n=1时，a1=S1=2-1=1, 当n≥2时，an=Sn-S-1=2"-1-(2"-1-1)=2"-1 又2-1=1，所以an=2"-1. 5.a1=1,am+l=am+(2n+1), .a2=a1+(2×1+1)=4, a3=a2+(2×2+1)=4+5=9, 15 a4=a3+(2×3+1)=9+7=16, a5=a4+(2×4+1）=16+9=25. 故该数列的一个通项公式是an=n2. 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 必备知识探新知 知识点一从第2项它的前一项同一个常数公差 知识点二an=a1+(n-1)d 知识点三f(n) 关键能力攻重难 例1：(1)B数列4,6,8，…的通项公式为an=2n+2. 则2n+2=2020. 解得n=1009. (2)由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4. 所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n. 所以a20=5-4×20=-75. 即该数列的通项公式为a.=5-4n,第20项为-75. 对点训练1：(1)C设公差为d,首项为a1, 则[s60 .ag=a1+8d=16. (2)①由a3=a1+(3-1)d,得a1=a3-2d=-8, am=-8+(n-1)×3=3n-11. ②an=a1+(n-1)d, 所以a5=a1+4d, 所以11=a1-4×2,所以a1=19, 所以am=19+(n-1)×(-2) =-2n+21, 令-2n+21=1,得n=10. 例2：方法一：由题意可知an=a,+(n-1)d(a1,d为常 数)，则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4 由于bn是关于n的一次函数或常数函数（当d=0时），故 b}是等差数列. 方法二：根据题意，知bn+1=3am+1+4,则bn+1-b。=3am+1 +4-(3a.+4)=3(a+1-am)=3d(常数). 由等差数列的定义知，数列{b}是等差数列. 对点训练2：am=10+lg2”=10+nlg2, .a+1-a.=[10+(n+1)g2]-(10+ln2)=lg2(n∈ N), ∴.数列{an}是首项为a1=10+lg2,公差为lg2的等差 数列. 例3：(1)由am+1=am+2an+1,可得am+1=(√an+1)2. :an>0,.√a+l=√am+1, 即√ai-√an=l. ∴.{√an}是首项为a=1,公差为1的等差数列。 .√an=1+(n-1)=n.∴.a.=n2。 2浦可得古分 “{侣}是首项为行=1，公老为宁的等差数列 a007 5.1.2数列中的递推 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.（数学抽象） 2.理解递推公式的概念及含义，能够根据递推公式写出数列的前几项.（数与通项公式类似， 学运算) 递推公式也是给出 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.（数学运算） 数列的一种方式。 4.理解数列的前n项和，会根据数列的前n项和Sn求通项an.（数学运算) 必备知识探新知 知识点一数列的递推关系 如果已知数列的 且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式 来表示，则称这个公式为数列的 (也称为递推公式或递归公式)， 知识解读：1.通项公式与递推公式的区别与联系 类别 区别 结构 通项公式 an是序号n的函数式an=f(n) a,=f(n) 已知α，（或前几项）及相邻项（或相邻几项）间的关 递推公式 an=f(an-1)(n>1) 系式 2.(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”一数列{a,}的第1项（或前几项）： ②递推关系一数列{an}的任意一项am与它的前-项an-1(n≥2)（或前几项）间的关系，并且 这个关系可以用一个公式来表示. 知识点二数列{an}的前n项和 1.数列前n项和的概念 一般地，给定数列{an},称 为数列{an}的前n项和. 2.前n项和Sn与an的关系 如果数列{a}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式 子叫做这个数列的前n项和公式 显然S1=a1,而Sn-1=a1+2+…+a.-1(n≥2)，于是我们有an= 知识解读：l.若a,=S,-S-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S,求得的a1相同，则说明 an=Sn-Sn-1(n≥2)也适合n=1的情况，数列的通项公式可用an=S。-Sn-1表示. 2.若an=S。-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S求得的a1不相同，则说明a.= Sn-Sn-1(n≥2)不适合n=1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即a.= [S,n=1, lSn-Sn-1,n≥2. 008 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一由递推公式写出数列的前几项 例.(1数列a.满足a,=l,a1=2a,+1(neN),那么a,的值为 ( A.4 B.8 C.15 D.31 (2)已知数列{an}中，a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+a.-2 (n≥3)给出. ①写出此数列的前5项； ②通过公式6。=。构造一个新的数列6，，写出数列1b.的前 4项. 规律方法： 由递推公式写出数列 的项的方法 (1)根据递推公式写 出裁列的前几项，首 先要弄清楚公式中各 部分的关系，再依次 代入计算. （2)若知道的是末 ·[规律方法] 项，通常将所给公式 整理成用后面的项表 》】对点训练1 示前面的项的形式 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前5项，并归纳出通项公式 如an=2an+1+1. ①a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); (3)若知道的是首 ②a1=1,am+1= -2a.(neN), 项，通常将所给公式 a。+2 整理成用前面的项表 示后面的项的形式， 知010,1 2 009 题型二由数列的递推公式求通项公式 例2设数列a,中，a=l,41-0(n≥2)，求数列的通项 规律方法： 1.用“累加法”求裁列的通 公式a 项公式 当an-an-1=f(n)(n≥2)满 足一定条件时，常用an=(a -an-i）+(an-1-an-2）+ +(a2-a)+a1累加来求通 项an 2.用“累乘法”求数列的通项 P[规律方法]公式 》对点训练2 当aL=g(n)(n≥2)满足一 an-I （1)(2025·天津一中高二检测)在数列a,中，4=2，n+1=n+ an+l an 定条件时，常用a,= an-1 1+)则a (） .-2,.a1累乘 an-2 an-3 a A.2+nln n B.2n+(n-1)In n 来求通项an C.2n+nln n D.1+n+nln n 规律方法： (2)(2025·重庆铜梁一中高一检测)已知数列{a.}中，a1=1,na.+1= 由Sn求an的一般步骤 (n+1)an,则数列{an}的通项公式是 () [S:n=1, A.a,=1 B.an=2”-1 利用un= Sn-S.-1,n≥2， n 可由裁列的前n项和Sn求 C.an=n D.a =n+1 2n 得数列的通项公式，解题过 题型三由前n项和Sn求通项公式 程通常分为四步： 例3.(1)(2023·湖北省重点高中联考协作体期中)已知数列14，的 第一步，令n=1得a1; 第二步，令n≥2得an; 前n项和为S=++5,则数列a,的通项公式为a,= 第三步，在第二步求得的an 的表达式中取n=1,判断其 (2)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5”-1,求数列的通项 值是否等于a: 公式a 第四步，写出数列的通项公 式（若第三步中n=1时，a 表达式的值不等于a1,则数 列的通项公式一定要分段 表示). P[规律方法] 010 》对点训练3 (2025·广东实验中学段考)已知数列{a.}的前n项和为Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为 题型四数列中的恒成立问题 例4.已知数列1a,满足前n项和S=2”-1,且a,≥4n-2对一切nN 恒成立，则实数入的取值范围是 ·[规律方法] 规律方法： 由an与Sn的关系求 》对点训练4 出裁列{an}的通项公 数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2”-1(n∈N+),则an= 式，将不等式化简为 若存在nEN,使得a,≤n+1.入成立，则实数入的最小值为 n A≥4n-2 2-量，令/(n)= 2,利用作姜法判 4n-2 ●易错警示 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 断函裁单调性求出 例 5.已知数列{an}的通项公式为an=n2+n,若数列{an}为递增数列，则t 红子为装大夜即可 的取值范围是 得解 [错解][-2，+∞) [误区警示]在错解中，忽略了数列的特征，即的取值的离散性，常会 得出-2≤1，即1∈[-2，+∞)错误结果.事实上，由抛物线的对称性知，函 数f代x)=x2+x在[1，+∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴 位于区问1，)内时，4<a,也成立 [正解] 011 课堂检测 固双基 1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ()5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=a.+(2n+ A.a=1,an+1=a +n,nEN, 1),写出它的前5项，并归纳出数列的一个通 B.a1=1,am=an-1+n,n∈N+,n≥2 项公式 C.a1=1,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2 D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2 2.已知数列{an}中，a1=1,a2=3,an=am-1+ 1(n≥3)，则，= An A得 B. 3 C.4 D.5 3.（2025·甘肃天水一中高二月考)在数列{a, 中，1=-2，a1=1-1,则4209的值为 A.-2 B青 C. n 4.(2024·四川成都高一期末)已知数列{an}的 夯基提能作亚 前n项和为Sn=2”-1,则此数列的通项公式 请同学们认真完成练案[2] 为 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概1.通过生活中的实例，找到数量关系，并发现其数 念（逻辑推理） 字规律，归纳出等差数列的概念 2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关2.通过项与项之间的关系，明确等差数列“等差” 系.（数学抽象）》 的含义，找到基本量 3.会求等差数列的通项公式，并能利用等差3.通过等差数列的直观表示，探求等差数列与一 数列的通项公式解决相关问题. 次函数的关系。