5.3 等比数列习题课-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[10] A组·素养自测 1.C设等比数列公比为g a1+a2+a3=21且a1=3, ..a1(1+g+g)=21, .1+q+g2=7,g2+q-6=0, ∴.g=2或g=-3(舍)， 又.a3+a4+a5=a19(1+q+q), .∴.a3+a4+a5=3×4×7=84. 2.AS2=(-1+2)+(-3+4)+…+（-2019+2020) =1010. 3B设第1天走a,里，公比为， 则41-9)a1-2 1-9 =378.解得a1=192. 1 1-2 4=192x7=6(里. 4.B因为a1+a2+…+an=-2+1+2,① 所以a1+a2+…+a4-1=-2”+2,② ①-②，得an=-2”,所以a=-23"=-8", {a}的首项为-8，公比为8，所以a+a+…+a= -8(1-8")-8(1-8") 1-8 7 故选B. 5.D因为S1,S2+a,S成等差数列，所以2(S2+a2)=S,+S, 2(a1+a2+a2）=a1+a1+a2+a3,a3=3a2,9=3.故选D. 6.BC由题意，可得a2a3=a1a4=32>0, a2+a3=12>0,故a2>0,a3>0. 根据根与系数的关系，可知a2,a是一元二次方程x2-12x+ 32=0的两个根。 解得a2=4,a3=8,或a2=8,a3=4. 故必有公比g>0所以4=号>≥0 因为等比数列{an}是递增数列，所以g>1. 所以a2=4,a3=8满足题意. 所8g=24=号2 故选项A不正确.an=a1·g”-1=2. 因为S=21-22=2*1-2 1-2 所以Sn+2=2m+1=4·2-1 所以数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列.故选 项B正确 S。=2+1-2=512-2=510.故选项C正确。 因为lga.=lg2"=n. 所以数列{lga.}是公差为1的等差数列. 故选项D不正确. 74-是设=号+++…+贸 2” ① 一19 子+++…+2 2n ② ①-②得 (1-2}小，号+是+是+是+…+ 2.2.2.2 22n 22m+1 - 2n 2"+元 S=4-n+2 2-1 8.19:各项都为正数的等比数列{an},ag·a12+5a1o=14, 「ai0+5a1o-14=0, 解得a0=2, [aio>0, ∴.log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a1g =log2(a1·a2·a3·…·a9） =log2a18=log229=19. 9.(1)因为a2a3=8a, 所以a1a4=8a1,所以a4=8, 又a4,36,2a6成等差数列，所以a4+2a6=72,所以a6=32, 97=8%s=4,9>0. 所以q=2,所以an=8·2"-4=2-1. =1()+2(分)°+3() +…+(n-1) (合)+（分 号=1(2+2(2)+3（分+…+(a-) (分+…( 两式相减得： 3·工=（分）+(2+(2)*…+（分 (2). 所以7=8-a+2(份) 10.(1)当n=1时，4S,=4a1=3a1+4,解得a1=4. 当n≥2时，4Sm-1=3a-1+4,所以4S,-4Sn-1=4am=3am- 3an-1即an=-3an-1, 而a=4≠0，故a,≠0，故%=-3， an-1 ∴.数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以a,= 4·（-3)"-1. (2)bn=(-1)m-1·n·4·（-3)m-1=4n·3-1 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·30+8·3+12·32+… +4n·3"-1, 故3Tn=4·3+8·32+12·33+…+4n·3", 9 所以-2Tn=4+4·3+4·32+…+4·3"-1-4n…3", =4+4.31-3-4n·3°=4+2.3.(3-1-1) 1-3 4n·3", =(2-4n)·3"-2,.Tn=(2n-1)·3"+1. B组·素养提升 5 a1+a= 2 [a+ag=2,① 1.D{ 4， g+a,=子② 受得号=2，解得1= 1 9+g 代入①得a=24,=2×(分)=是。 s2自1小-》 1- =2”-1,故选D. a 4 2Da21-六 s。=(1-2）+(1-4）+(1-8）+…+(1-2） =m-(宁+好+g+…+动 包 1-3 +=2=5+4n6 令n-1+264 1 3.A 1.1 +1=as++a,+@+6+@+4+a4.q a az .asan ardz=doas =asas, ①式=a+a++as=9 asas asas 又a1a2a3…ag=81,得(a4a5)4=81,.a4a5=3, 9==3:1+上+…+1=.放选A a4a53 a az as 4AD由题意得g=1, 结合9>0， (a+a19+a192=7, ra1=4,ra1=9, 1（舍去)，故A正确； 4=4g4×(分广=4放B错误： 1 区=1g)4×1-23引，故c错误g 1-9 1-2 1 1-2 18-2 则a.+Sn=2-"+8-23-=8,故D正确.故选AD. 6,2-2。根据题意a-0,， 1 则a2m=(a20-a2019）+(a209-a2018）+…+（a-a1）+a1 1 1 1 =)20西+)20s+…+7+1=2-22019 7.(1)由已知得Sm=-n2+4n, 当n≥2时，a.=Sn-Sm-1=-2n+5, 又当n=1时，a1=S1=3,符合上式. ∴.am=-2n+5. (2)由已知得b.=2",anb.=(-2n+5)·2 Tn=3×2+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2", 2Tn=3×22+1×2+…+(-2n+7)×2"+(-2n+5) ×2*1 两式相减得 T.=-6+(23+24+…+21)+(-2n+5)×2"+ =221-2-)+(-2n+5)×21-6 1-2 =(7-2n)·2+1-14. 8.(1)当n=1时，2S1=a1,解得a1=0, 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)a-1, :.2a,=na,-(n-1)a-1, .(n-1)aa-1=(n-2)a, 当n≥3时，可得=n- am-1n-2' 当n=2或n=1时，a1=0,a2=1适合上式， .{an}的通项公式为an=n-l; (2)由(1)可得+1=n 2=2 =++是+…+=是++是+… 2 3 2 3 n + 2*1, 1 1 1 .2 +…+ 22 1 n 2 n 23 2 2*1 1 =1- 22*1, .Tn=2-n+2 2分 练案[11] A组·素养自测 1.C由已知可得130×(1+12%)-1≥200， 即12≥溜 (n-0lg2≥g0n-13g2-33 1g1.12 .n≥5.故选C. 2.B依题意，an}:1,4,8,14,23,36,54,. 200练案[10] 第五章数列 [等比数列习题课] b组·素养自测 A.g=1 B.数列{S,+2}是等比数列 一、选择题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1= C.Sg=510 3,前3项和为21，则a3+a4+a等于( ) D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 A.33 B.72 二、填空题 C.84 D.189 7.数列2,46.…2 222,… ,…前n项的和为 2.数列{(-1)"n}的前n项和为Sn,则S22o= 8.已知各项都为正数的等比数列{an,若ag· ( a2+5a1o=14,则log2a1+l0g2a2+log2a3+… A.1010 B.-1010 +l0g2a19= C.2020 D.-2020 三、解答题 3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个 9.已知各项均为正数的等比数列{a}满足a2a 问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次 =8a1,且a4,36,2a6成等差数列， 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行 (1)求数列{an}的通项公式； 里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人 走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚 (2)记b,=2”,求数列b,的前n项和T a 痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后 到达目的地，请问第二天走了 A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 4.在等比数列{an}中，若a1+a2+…+an= -2m+1+2,则a3+a+…+a= () A.-8(2”+1)3 B.8(1-8) 7 C.8(-2-1-1)3 D.8(1-8-1) 5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S2 +a2,S3成等差数列，则数列{an}的公比为 A.1 B.2 c D.3 6.(多选题)在递增的等比数列{an}中，Sn是数 列{an}的前n项和，若a1a4=32,a2+a3=12, 则下列说法正确的是 () —130 10.(2024·全国甲卷理)记Sn为数列{an}的前二、填空题 n项和，已知4Sn=3an+4. 5.等比数列{an}的前n项和Sn=3”+1+a(a为常 (1)求{an}的通项公式； 数)，b=三，则数列{b,的前n项和为 (2)设bn=(-1)"-nan,求数列{bn}的前n 项和T 6.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列 {an}的“差数列”，若{an}的“差数列”是首项 为7，公比为的等比数列，若a=1,则a = 三、解答题 7.已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和 为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x2+4x的图像 上，点(n,bn)在函数y=2的图像上 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和T 乃组·素养提升 一、选择题 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3 a A.4n-1 B.4"-1 C.2"-1 D.2"-1 数列0，的通项公式是u.=),其前8.(2023·甲卷（理）)尼知数列[a,中，4 n项和S.=,则项数n等于 Sn为{an}前n项和，2Sn=nan 64 (1)求{a}的通项公式； A.13 B.10 C.9 D.6 3.(2025·山东省实验中学高二检测)在等比数 2)求数列2的前n项和。 列{an}中，an>0,a1+a2+…+ag=9,a1a2… 4,=81,则上+1+…+的值为 012 A.3 B.6 C.9 D.27 4.(多选题)(2025·全国Ⅱ卷)记S.为等比数列 {an}的前n项和，g为{an}的公比，9>0，若 S3=7,a3=1,则 A9=2 B.do=g C.S5=8 D.a+S =8 131