5.2.2 等差数列的前 n 项和-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[5] 第五章数列 5.2[5.2.2 等差数列的前n项和] b组·素养自测 三、解答题 一、选择题 9.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12, 1.若等差数列{a.}的前三项和S,=9,且a,=1, a2+a4=8.求： （1)数列{an}的首项a1和公差d; 则a2等于 (2)数列{an}的前10项和S1o的值 A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n,则 {an}的前n项和Sn= A.32 2n+ n 2 B.-3n2-n 2h2、 2 C.3 + D. 2n-2 3.记S。为等差数列{an}的前n项和.若3S= S2+S4,a1=2,则a= A.-12 B.-10 C.10 D.12 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4= 0,a5=5,则 A.a=2n-5 B.am=3n-10 C.S =2n2-8n D.s=72-2n 5.(2024·全国甲卷理)记S.为等差数列{an}的 前n项和，已知S=So,a5=1,则a1=( )10.等差数列{a}中，已知a1+a2=5,S4=14. B子 (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn c 品 6.我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九 十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七， 要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹 外人传.意思是说，有996斤棉花全部赠送给8 个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人 依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问 题中，第1个孩子分到的棉花为 A.75斤B.70斤C.65斤D.60斤 二、填空题 7.若等差数列{an}的前5项和S=25,且a4=3, 则a,= 8.(2025·上海卷)已知等差数列{a.}的首项 a1=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为 —118 8组·素养提升 (1)求通项an; (2)求数列{bn}的前n项和T,的最小值. 一、选择题 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知l3a+ S13=52,则S。= ( A.9 B.18 C.27 D.36 2.设S是等差数列a,}的前n项和，若袋=3， 4启 B 1 C 3.一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+ a2m-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n= 33,则该数列的公差是 )8.设a,为等差数列，5。为数列{a,的前n项 ( A.3 B.-3 和，已知S,-7,5。=75.?.为数列的前n C.-2 D.-1 4.（多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn, 项和，求数列l的前n项和T n 公差为d.已知a3=12,S12>0,a1<0,则 A.a6>0 B-24<ds-3 C.Sn<0时，n的最小值为13 D.数列中的最小项为第六项 a 二、填空题 5.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的 前n项和，若a3+a4=7,3a2+a=5,则S10= 6.已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n 项和，若S=0,则S(i=1,2,…,100)中不同 的数值有 个 三、解答题 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3= 1 10,S6=72,b。=20。-30. 119—行研究，{an}是等差数列，若0<a1<a2,则a1>0,设公差为 d,则d>0,数列各项均为正，由于a-aa=(a1+d)2 a (a +2d)=aj +2a d+d-a-2a d=d >0,a aras →a2>√/a1a,选C. 5市依题意得2×品-十+片解得=2，则d音寸 =12 6.9依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0,a,>0, 所以aa,≤（色）=aG=9当且仅当a=a=3时等号 成立 64,=g又6，=(2)广…(2)”·(2)°·(2 (”是 8a1+43+a3=3, 又{an}成等差数列.a2=1,a1+a3=2, 66=行4+6是， 。1或 b=8lb=2, la3=3 la3--1, .an=2n-3或am=-2n+5 8(1)由题意得，a,=55, [a3+a6=a2+a=16. 公差d>0,… a=5,d=2,a=1,a,=2n-1 la6=11, (2):bn=an+bn-1(n≥2，且neN*), ∴.bn-bn-1=am=2n-1(n≥2，且neN*）. bn=(bn-bn-1）+(bn-1-b.-2）+…+(b2-b)+b1(n≥2， 且neN*), 且b1=a1=1, bn=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2，且neN*). 又b1=1符合上式，bn=n2(neN). 练案[5] A组·素养自测 1A8=3+321=9. 又a1=1,d=2, .a2=a1+d=3. 2A易知a,是等差数列且a,=-1,所以S,=n(a+a,） 2 a0,30多+分故选A 2 3B33a,+9x)-2a+d+4a+4受3xd-9a+9 2 6a1+7d→3a1+2d=0→6+2d=0→d=-3, 所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 4.A设首项为a,公差为d. 一19 由8，=0，，=5可得0+4W=5, 4a1+6d=0, 解得，3， d=2. 所以an=-3+2(n-1)=2n-5, S.=n×(-3)+m)业x2=2-4n.故选A 2 5.B由S1o-S=a6+a,+ag+ag+a10=5ag=0,则ag=0, 则等差数列a的公差d=与0=-行，放4=4，-4d= 1-4×(）子故选B 6.C设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意，得Sg=8a1+ 8×7×17=996,解得a,=65,故选C 2 7.-3已知等差数列{an}的前5项和S=25,所以S;= (a+as=5a,=25,解得，=5.已知a,=3,则公差d=a, 2 a3=-2.所以a7=a3+4d=5-8=-3. 8.12根据等差数列的求和公式，。=6a1+65d=12. 2 9.(1)根据题意，得 ,+a,=(a+d0+(a+3）=8,解得 a1=8, la·a4=(a+d)·(a1+3d)=l2,ld=-2. (2)5。=10a,+10x(g0-D4=10×8+0x9×(-2)= 2 2 -10. 10.(1)设等差数列an}的公差为d, 则由a1+a2=5,S4=14得， 2a1+d=5, ，即/2a+d=5, 4a,+43=14,2a,+3d=7. 2 解得a1=2,d=1, 所以an=2+(n-1)=n+1. (2)由(1)可知，Sn=a1+a2+…+a, =na +a(n-1)d=n(n+3) 2 2 B组·素养提升 1.B因为Sa=13x（g+a-13X20=13a, 2 2 所以13a3+S13=13a3+13a7=52, .∴.a3+a7=4, 0-2 9(a1+a,)_9×25=9a,=9×2=18. .S。 2 2 2.A据等差数列前n项和性质可知：S3,S6-S,S,-S6,S2 S,仍成等差数列. 设S3=k,则S6=3k,S6-S3=2k, .Sg-S6=3k,S12-Sg=4k, .S,=S6+3k=6k,S2=S,+4k=10k, S6-3-3 =10k10 [aannDx2d=, 2 3.B由 +=mnDx2=2. 2 得nd=-18. 又a1-a2m=-(2n-1)d=33,所以d=-3. 4.ABC根据题意，等差数列{an}中，S2>0,即S2= (a1+a)×12_(a6+a)×12 2 2 =6(a6+a7)>0, 又a7<0,则a6>0,A正确； 已知a3=12,且a6>0,a,<0,a6+a7>0, ra6=12+3d>0, 则有{a,=12+4d<0, la6+a,=24+7d>0, 解可得-兰<d<-3,B正确； 根据题意，S=（a+a)×13 2 13a7<0, 而S2>0,故Sn<0时，n的最小值为13，C正确； 数列{。中，由上面分析可知d<0,所以数列1a,}是递减的 等差数列，当1≤n≤6时，an>0;当n≥7时，a.<0;当1≤n≤ 2时，S>0:当n≥3时，S,<0,所以当1≤n≤6时。>≥0 当7≤n≤12时，是<0：当≥1B时，受>0.放数列倍}中的 a 最小项不是第六项，D错误 5.95因为数列a.为等差数列，则由题意得 3(a+d小+a+-5解得。-4 [a+2d+a1+3d=7 1d=3，则50=10a,+ 10x9d=10×(-4)+45×3=95. 2 6.98:等差数列{an的公差不为零，Sn为其前n项和，S=0, s=5a+541=0,解得a=-24, 8=m+2a-2+a--5m .d≠0，.S(i=1,2…,100)中 S2=S3=-3d,S1=S4=-2d, 其余各项均不相等， ∴S,(i=1,2…,100)中不同的数值有：100-2=98. 故答案为98. 7(1)由4=10,8=72，得4=2， ld=4, 所以an=4n-2. 1 (2)由(1)得6.=20.-30=2n-31. 由2m-31s0, 31 2(n+1)-31≥0， 0得空sm≤} 因为neN,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值，所以Ts -19 最小，可知b1=-29,d=2,所以T5=-225. 8.设等差数列{an}的公差为d,则 S.=m +n(n-1)d. r7a1+21d=7, S7=7,S15=75, L15a1+105d=75, 即a+3d=1, 得a1=-2,d=1. la+7d=5, =a+2(m-1d-2+2a-0. n SS-1 n+1n=2, :数列侣}是等若数列，其首项为-2，公常为分 1 0 7.=4n-4n 练案[6] A组·素养自测 1.Aag=S-S7=82-72=15. 2.DSk2-S4=ag+1+ak+2=2ak+1+2=24. 故ak+1=2k+1=11. ∴.k=5 3.B依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a, a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和 相等，即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人 分五钱，则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1, 则a+2=a+2×(-6)号-号k选B 4.Aa5=5,S5=15, ,5(a1+5) 2 =15,∴.a1=1. d=as-a=1.d=m 5-1 11 adn(n+1)-nn+1 则数列{ad的前10项的和为：1w=(1-宁)+（分 Lanan+ 3)++(1010)1-010 11 1100 故选A 5.C因为an=厅 ==√n+I-n, /n+/n+1 所以Sn=a1+a2+…+an=(2-1)+(5-2)+…+ (n+I-n)=n+I-1, 令/n+1-1=10,解得n=120. 6.D对n分情况讨论当n=1时，S,=a1=-2.当n≥2时，a.= Sn-S.-1=(m2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5, 「-2，n=1, 所以an= l2n-5,n≥2， 由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a1o, 所以1a1l+la2l+…+|aol=-(a1+a2）+…+(a3+a4+