5.2 等差数列习题课-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

S6-3-3 =10k10 [aannDx2d=, 2 3.B由 +=mnDx2=2. 2 得nd=-18. 又a1-a2m=-(2n-1)d=33,所以d=-3. 4.ABC根据题意，等差数列{an}中，S2>0,即S2= (a1+a)×12_(a6+a)×12 2 2 =6(a6+a7)>0, 又a7<0,则a6>0,A正确； 已知a3=12,且a6>0,a,<0,a6+a7>0, ra6=12+3d>0, 则有{a,=12+4d<0, la6+a,=24+7d>0, 解可得-兰<d<-3,B正确； 根据题意，S=（a+a)×13 2 13a7<0, 而S2>0,故Sn<0时，n的最小值为13，C正确； 数列{。中，由上面分析可知d<0,所以数列1a,}是递减的 等差数列，当1≤n≤6时，an>0;当n≥7时，a.<0;当1≤n≤ 2时，S>0:当n≥3时，S,<0,所以当1≤n≤6时。>≥0 当7≤n≤12时，是<0：当≥1B时，受>0.放数列倍}中的 a 最小项不是第六项，D错误 5.95因为数列a.为等差数列，则由题意得 3(a+d小+a+-5解得。-4 [a+2d+a1+3d=7 1d=3，则50=10a,+ 10x9d=10×(-4)+45×3=95. 2 6.98:等差数列{an的公差不为零，Sn为其前n项和，S=0, s=5a+541=0,解得a=-24, 8=m+2a-2+a--5m .d≠0，.S(i=1,2…,100)中 S2=S3=-3d,S1=S4=-2d, 其余各项均不相等， ∴S,(i=1,2…,100)中不同的数值有：100-2=98. 故答案为98. 7(1)由4=10,8=72，得4=2， ld=4, 所以an=4n-2. 1 (2)由(1)得6.=20.-30=2n-31. 由2m-31s0, 31 2(n+1)-31≥0， 0得空sm≤} 因为neN,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值，所以Ts -19 最小，可知b1=-29,d=2,所以T5=-225. 8.设等差数列{an}的公差为d,则 S.=m +n(n-1)d. r7a1+21d=7, S7=7,S15=75, L15a1+105d=75, 即a+3d=1, 得a1=-2,d=1. la+7d=5, =a+2(m-1d-2+2a-0. n SS-1 n+1n=2, :数列侣}是等若数列，其首项为-2，公常为分 1 0 7.=4n-4n 练案[6] A组·素养自测 1.Aag=S-S7=82-72=15. 2.DSk2-S4=ag+1+ak+2=2ak+1+2=24. 故ak+1=2k+1=11. ∴.k=5 3.B依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a, a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和 相等，即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人 分五钱，则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1, 则a+2=a+2×(-6)号-号k选B 4.Aa5=5,S5=15, ,5(a1+5) 2 =15,∴.a1=1. d=as-a=1.d=m 5-1 11 adn(n+1)-nn+1 则数列{ad的前10项的和为：1w=(1-宁)+（分 Lanan+ 3)++(1010)1-010 11 1100 故选A 5.C因为an=厅 ==√n+I-n, /n+/n+1 所以Sn=a1+a2+…+an=(2-1)+(5-2)+…+ (n+I-n)=n+I-1, 令/n+1-1=10,解得n=120. 6.D对n分情况讨论当n=1时，S,=a1=-2.当n≥2时，a.= Sn-S.-1=(m2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5, 「-2，n=1, 所以an= l2n-5,n≥2， 由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a1o, 所以1a1l+la2l+…+|aol=-(a1+a2）+…+(a3+a4+ …+ao)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67. 7.a。=2”+1设等差数列{log2(an-1)}的公差为d. 由a1=3,a3=9 得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,则d=1. 所以log2(a.-1)=1+(n-1)×1=n, 即an=2"+1. 8.10根据等差数列的性质，可得am-1+am+1=2am 又am-1+am+l-dn=0,则2am=a, 解得am=0(舍去)或am=2. 则S-1=（2m-1)9+a-=(2m-1)a.4m-2=38, 2 所以m=10. 9.(1)Sn=n2+n+1,∴.a1=S1=3,a2=S2-S1=7-3=4,a =S3-S2=13-7=6,a4=S4-S3=21-13=8,a5=S,-S4= 31-21=10. (2)由(1)可知，a2-a1=4-3=1,a3-a2=6-4=2, a3-a2≠a2-a1,数列{an}不是等差数列. (3)当n≥2时，an=Sn-Sa-1, .an=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1] =2n(n≥2)，a1=S1=3, 数列{an}的通项公式为an= 「3，n=1, 2n,n≥2. 10.(1)设a,}的公差为d,侧S。=na,+nm,-1d 2 由已知可得 3a1+3d=0, 15a1+10d=-5, 解得a,=l,d=-1 故数列{an}的通项公式为an=2-n 1 1 (2)由(1)知 -1a(3-2n)(1-2m 2( 从而数列{}的前n项和为+- lazn-1az+1 1 1 +…+2n-32nm--1-2n B组·素养提升 1.Aam+1-a2+a.-1=0(n≥2)， ..an++an-1=a, :{an}为等差数列. .an++an-1=2an=a. ∴.an=2或am=0(舍) ∴.S2w-1-4n=2×(2n-1)-4n=-2. 2.B设等差数列{an}的公差为d,因为Sm1=16,Sm=25,a1= 1(m≥2，且meN), 所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+（m-1)d,m+ m(m-1)d=25,联立解得m=5,d=2 3B由等差数列。可得÷=4+兮4=号a+ (4为等若数列，册-务=10，号×2021+a -19 -(号×21+a）=100101=1,解得d=0 4.A设这5份分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d>0),则有 H(ata+dtat2)-a-2d+a-d.a-2dta-dtata+ d+a+21=10,枚a=20,d=名，则最小的-份为a-2d= 20-- 5.nn+3》?a,1=a.+n+l,a.-a1=m, 4 .am=a1+(a2-a1)+(a3-a2+…+(an-an-1) =1+2+3+…+n=n(n+12, 2 an=n+l 出-0=m+0+1_+= n+l n 2 2 2 则数列只为等差数列. n(1+n+1 2 因此，数列{会}的前n项和为2 _n(n+3) 4 6.211数列an}中，当整数n>1时， S+1+Sm-1=2(Sn+S)都成立， 台Sm+1-Sn=Sm-Sn-1+2台a4+1-an=2(n>1). .当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列. S5=14a,+413x2+a,=14×2+1413x2+1=211 2 2 7.(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n, 故当n≥2时， a1+3a3+…+(2n-3)a.-1=2(n-1), 两式相减得(2n-1)an=2, 所以a-22a≥2》 又由题设可得a1=2,满足上式， 所以a,的通项公式为a.=2n- 2 (2)记，a的前n项和为S 2n+1 3 由(1)知2n+1=(2m+1)(2n- =2n-12n+1' 11.11 1 则=73++…+ n-12n+1 2n 2n+1 8.(1)因为am+2-2a+1+a,=0. 所以a+2-an+1=am+l-an=…=a2-a1: 所以an}是等差数列且a1=8,a4=2,所以d=-2,a,=a1+ (n-1)d=10-2n. 故an=10-2n. (2)因为an=10-2n,令an=0,得n=5. 当n>5时，an<0;当n=5时，an=0; 当n<5时，an>0. 设Sn=a1+a2+…+am 所以当n>5时，Hn=|a1I+Ia2I+…+|anI=a1+a2+…+ a5-(a6+a,+…+an）=S3-(Sn-S5)=2S5-Sn=n2-9n +40, 当n≤5时，Hn=la1l+la2l+…+lan|=a1+a2+…+an= 9n-n2. r9n-n,n≤5， 所以H,= n2-9n+40,n>5. 练案[7] A组·素养自测 ra192=2, 1.D由条件得 40g0=gg=分放选D 2.C当m=0时，数列是等差数列，但不是等比数列.当m≠0 时，数列既是等差数列，又是等比数列.故选C 3.A设等比数列{an}的公比为g, a1+a3=3,即a1(1+g2)=3,① a1-a5=-3,即a(1-g)=-3,② 由②÷①得1-92=-1，即g2=2,a1=1. 则an=a19-1=g-1,所以a1=g=（g2)3=8 4.Aa1+a+05+-a1+a+a+a,=1三- az +as +as as q(a +as +as +az)q 「a2+a5=8, 5.A由已知得{ Las +as=162, 「a19+a19=8, la19+a197=162, 解得g=2,l0g号9=log盼2=1g2-12方=-2 1 6.A数列{a}是公比为2的正项等比数列，则a:=√2(n≥ an-1 2》设b.=·a,则a3·a @i·a=√(2) ·(2)2=22(n≥2)，即√a-1·a2}是公比为22的等 比数列 7.-256 11 a1=24=49=29=-4, 1 8.3因为正项等比数列a,},3a1,2a2a成等差数列， r9>0, 所以 2x(分）=3a+2a,9 解得q=3.所以{a}的公比q=3. 9.(1)设公比为9，由题意得2a19+a19=30, .4g+2g2=30, 19 .9+2g-15=0, 9=3或-5. am>0,∴.g=3. .an=a19-1=2·3m-1 (2)b1=a2,.b1=6. 又b+1=bn+a,.bn+1=bn+2.3-1 ∴.b2=b1+2×3°=6+2=8， b3=b2+2×3=8+6=14, b4=b3+2×32=14+18=32, b5=b4+2×33=32+54=86. 10.(1)由条件可得a1=2n+1。 an n 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以，a2=4. 将n=2代人得，a3=3a2,所以，a3=12 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{b.}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得出=20，即61=26，又6，=1， 守n+1=n 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得2=2-，所以a,=n·2- n B组·素养提升 1.D设a.=a19, ①2a.=2a1g-1,所以数列{2an}是等比数列； ②a2=ag2-2=a(g)-l,所以数列a2}是等比数列： ③2=2“19”=21112不是一个常数，所以数列/2m, 不是等比数列： logz la,I logz laq1 ④g1agla9不是一个常数， 所以数列{loga.I}不是等比数列. 故选D. 2.B由条件得2=2”-，所以a,=a×2×4×…× h-1 a a2 an-1 1X2X2×2×…x2-1=2+2++-》=2.故am= 2"9=20 3.Ca1,a3,a7为等比数列{bn}中的连续三项， ∴=a1·a,设an}的公差为d,则d≠0， .(a1+2d)2=a1(a1+6d),.a1=2d, 公比g=宁-号=2，放选C 4.D按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列 填表如图， 2 3 4 0.5 1 1.5 0.25 0.5 0.75 1 0.1250.25 0.3750.5 0.06250.1250.18750.25 1 1 放a=2b=8,c=子，则a+6+e= 9 8 .故选D.练案[6] 第五章数列 [等差数列习题课] b组·素养自测 6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则 Ia1I+la2|+…+|aoI的值为 () 一、选择题 A.61 B.62 1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a的值为 C.65 D.67 二、填空题 A.15 B.16 7.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数 C.49 D.64 列，且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式是 2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1, 公差d=2,Sk+2-S=24,则k= ）8.(2025·复旦附中高一检测)等差数列{a A.8 B.7 的前n项和为S:已知an-1+am+1-a2=0, C.6 D.5 S2m-1=38,则m= 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有 三、解答题 如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与9.已知数列{an}的前n项和S.=n2+n+1. 下三人等.问各得几何？”其意思是：“已知甲、 (1)写出数列的前5项； 乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和 (2)数列{an}是等差数列吗？说明理由； 与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、 (3)写出{an}的通项公式， 丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少 钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)这个问题 中，戊所得为 C号钱 D号线 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,a5=5,S =15,则数列 11 的前100项和为( Larantl 4删 B.99 101 c器 D.101 100 5.数列{an}的通项公式是an= 若前 √n+/n+1 n项和为10，则项数为 A.11 B.99 C.120 D.121 —120 10.已知等差数列{a}的前n项和S,满足S,=二、填空题 0,S=-5. 5.(2025·宁大附中高三模拟)已知数列{a.} (1)求{an}的通项公式； 中，a1=1,a1=a.+n+l,则数列的前n (2)求数列。1—}的前n项和 n (2m-12m+1」 项和为 6.已知数列{an}中a1=1,a2=2,当整数n>1时， Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立，则S5= 三、解答题 :7.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an =2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{，a,的前n项和 8组·素养提升 12n +1 一、选择题 1.在各项均不为零的等差数列{an}中，若am+1- a+an-1=0(n≥2)，则S2n-1-4n等于( A.-2 B.0 C.1 D.2 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1= 16,Sm=25,a1=1(m≥2，且m∈N),则m的值 是 ( A.4 B.5 8.数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足am+2-2am+1 C.6 D.7 +an=0(n∈N). 3.已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公 (1)求数列{an}的通项公式； 去为4，若品-产=10，则d的值为 (2)设Hn=a|+|a2|+…+|anI,求Hn A20 PIO C.10 D.20 4.有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使 每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的1份为 A号 c号 01 6 -- 121