5.1.2 数列中的递推-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[2] 第五章 数列 5.1[5.1.2 数列中的递推] b组·素养自测 8.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4= 一、选择题 ,通项公式an= 1.已知数列{an}中，an+1=an+2+an,a1=2,凸2= 三、解答题 5,则a6= ）9.已知数列{an}中，a1=1,an+1= n+1a: A.-3 B.-4 (1)写出数列{an}的前5项； C.-5 D.2 2.(多选题)如果{a.}为递增数列，则{a,}的通 (2)猜想数列{an}的通项公式. 项公式可以为 () A.a=2n+3 B.an=-n2-3n+1 Ga.- D.a =1+logan 3.已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+1,则数列 {an}的一个通项公式为 ( A.an=n B.an=n+1 C.am=2” D.am=2"-1 1 4.在数列{a.}中，a1=3,4.=（-1)”·2a-1(n ≥2)，则a等于 () 入号 B.G D.8 10.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, 3 求{an}的通项公式an 5.数列{an}中，a1=1,以后各项由公式a1·a2· a3·…·an=n2给出，则a+a5等于（） A号 B.25 6 C.1 ·16 D.31 .15 6.(2024·周口中英文学校高二期中)数列{an} 满足4=741=1-则4s等于( a. A号 B.-1 C.2 D.3 二、填空题 7.已知数列{an}的通项公式a.=3n-1(n∈ N),通过公式6，=构造一个新数列 {bn},那么{bn}的前五项为 —112 乃组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.已知数列a,满足4=分n≥2时aa= 1.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1= an-1-an,求数列{an}的通项公式 1 +1,此数列的第3项是 2.+2元 B. ! A.1 c D. 8 2.已知数列{an}对任意的p,q∈N满足ap+g= a,+a,且a2=-6,那么a1o等于 A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 3.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10 条直线相交，交点的个数最多的是 2条直线相交 3条直线相交 4条直线相交 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点 A.40个 B.45个 C.50个 D.55个 8.(2025·上海市上海中学高一期末)已知数列 {an}满足a1=1,其前n项和是S.,对任意正整 4.已知数列{an}满足a1=0,an+1= 0。-√3 √3an+1 数n,Sn=nan,求此数列的通项公式. N,),则a0= ( A.0 B.-√3 C.3 二、填空题 5.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn= n2+n(neN*),则S,= ,数列 {an}的通项公式an= 6在数列a中，a=2a1=a+n1+, 则通项公式an= —113(3)令a.=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍)， 从第7项起各项都是正数 练案[2] A组·素养自测 1.A由am+1=am+2+a.得a3=3, a4=-2,a5=-5,a6=-3. 2.ADA是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列； B是n的二次函数，二次项系数为-1，且对称轴为n=-多 所以为递减数列； C是n的指数函数，且底数为2，是递减数列： D是n的对数函数，且底数为2，是递增数列. 3.D由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,经验证，选D. 4.Ba1=3,am=（-1)”·2aw-1, =(-1×2x-号=(-iy×2x号- a=(-1)×2x(-等)=-号 a=(-1°×2x(-)-9 5.Ca1·a2·a3·…·an=n2, a1·02·a3=9,a1·a=4,a3=4 同理a,=瓷4+%=骨+瓷0 9,25_61 6.B当n=1时，a2=1-2=-1,a3=1-(-1)=2,a4=1-2 =7,a=1-2=-1,所以数列的周期是3，所以as= a(3x6m+2)=a2=-1. 75,8Ⅱ417 2’5’8’11’14 a.=3n-1(neN*), 六a1=3(n+1)-1=3n+2,6,=01=3n+2 a 3n-1' 4=号4=受4=86=片4，=是 14 17 &72,n=1 2m-1,m≥2a,=8-8,=16+1-9-1=7, 「S,n=1, 「2，n=1 a= ,即a.={2n-1,n≥2 Sn-Sn-1,n≥2' 91a=l,a1=n, 1 211 a=1+×1=2a=1+2x2=3, 311411 0,=13×3=4,a=1+4×4=5 (2)猜想：am=n 10.因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, 所以a1=S,=2×12-3×1+1=0, 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2- -18 3(n-1)+1]=4n-5. 当n=1时，4n-5=-1≠a1,所以{an}的通项公式an= 0,n=1 (nEN*). 4n-5,n≥2 B组·素养提升 13 a4=1,4=7a+7=,a)t2x24 2.C由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,∴.a1=-3. .a0=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2）=4a2+2a1=4× (-6)+2×(-3)=-30. 3B交点个数依次组酸数列为1,36，即，2兰9,4，由 此猜想a,=n(n-1) 2 10×9=45, .∴.a10= 2 4.Ba1=0,a=4-5 √3a1+1 =-5,4=5 √5a2+1 =5,a4= 4-3 =0,… 5a3+1 至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，-√5,5,0，-5,5,0， …,周而复始 :20=3×6+2,.a20=a2=-5. 5.122n由S.=+n,所以S=9+3=12. 当n=1时，a1=S1=1+1=2, 当n≥2时，a.=S。-Sm-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当 n=1时，得a1=2成立，所以an=2n 6.2+hna1=a,+n1+) a-a=1+）=h2, a.-a,=In(1+)h 4 a.-a-i=In(1tn-1)-Imn=T 以上(n-1)个等式相加，得。，-a1=h2+h子+…+ a1=2,∴.am=2+nn. .a1=2+ln1=2. 也符合上式.∴.an=2+nn 7.因为a,am-l=am-1-am, 所以a2时，士+(）+（估）+… (位）-2+二1=a+1所女=+1，所以当a 共(m-1)个 an ≥2时a,=本当n=1时，4=也适合上式.所以4，= 8 tr(aeN"). 8.Sn=nam,∴.n≥2时， a,=S-S-1=na-(n-1)2a1,化为a= am-1n+11 0,=4..2. a3..a an-1 an-2 an-3 a2 a =n-1.n-2.n-3,, n l n n-l 2 =n(m+1' n=l时也成立a,n(n+) 2 练案[3] A组·素养自测 1.C设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以c- a=2d=4,故选C. 2B设公差为d,由题意，得+41=3， La1+44d=153, 解得0,21， d=3. .an=a1+(n-1)d=21+3(n-1)=3n+18. 令201=3n+18,.n=61 3C设公差为d,由题意，得+2d=7, la1+d+6=a1+4d, 「a1=3, 解得 .a6=a1+5d=3+10=13. ld=2. 4.B设公差为d,由题意，得 +日4n解得2 la1+4d=10,ld=2. 5.B设公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d =13,解得d=3,所以a4+a5+a=(a1+3d)+(a1+4d)+ (a1+5d)=3a1+12d=42. 6D由条件可得a1-a,=之，故a.是等差数列，从而 a=a+(101-1)）×号=2+50=52. 7.-2n+3设公差为d,由题意，得 a3=a1+2d,-3=1+2d,.d=-2. ∴.an=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=-2n+3. 66 :设此等差数列为an},公差为d,则 [a1+a2+a3+a4=3, La7 as ag =4, 13 ∫4a1+6d=3, 「a=22' 解得 13a1+21d=4, 7 d=66 a5=0+4d=22+4× 6666 9.设这三个数分别为a-d,a,a+d, 18 则3a=9,.a=3. 这三个数分别为3-d,3,3+d. 由题意，得3(3-d)=6(3+d),d=-1. 这三个数分别为4,3,2. 10.方法一：因为L=1+30 所以L=1+3,所以1-上=3， antl an 又因为b,=L(neN),所以b1-b.=3(neN),且6，= an 女=宁所以敬列么是等老数列，首项为宁公老为3 方法二：因为6.=士且a1=1平30 所以61=-1+30=+3=6.+3， an+1 an an 所以b1-b.=3(neN),6=a=2 11 所以数列6是等差数列，首项为分，公差为3， B组·素养提升 1.D由等差中项的定义知a+1+a,-1=2an(n≥2)，结合条件得 a=2an·又an>0,所以an=2,即数列{an}为常数列，故a.=2. 2.D由题意厂a0>1, 25+9d>1, la≤1， 1 l25+8ds1, 8 方<d≤25 3.A解送-设微列{公去为期。= 4d,代入数据可得d= 1 因此a十+2=号放分选 解法二：曲等老中项的性质可知，2·十+十 1 解得4，=之故选A 4.BCD对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,A 错：对于B,取a=b=c→2=2=2，B正确，对于C,因为a, b,c成等差，所以a+c=2b,所以(ha+2)+(kc+2)=k(a+ c)+4=2(仙+2)，C正确.对于D,取a=b=c≠0，则上= D正确 5.a,=38-5n由题意可得=a+6d>0即3+6d>0. lag=a1+7d<0,l33+7d<0 解得-3<d<-空又deZd=-5. 6 7 .am=33+(n-1)×(-5)=38-5n. 6.an=2n-1由a-1+an+1=2a,得a1-a.=a.-a-1(n≥2) ∴数列{an}是等差数列. 又a1=1,a2=3,d=2,an=a1+(n-1)d=2n-1. 9