5.1.1 数列的概念-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[1] 第五章 5.1[5.1.1 b组·素养自测 一、选择题 1.下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它 的有限子集{1,2,3，…，n)上的函数； ②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤 立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的， 其中正确的是 A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 2.已知数列{an}的通项公式an= 3n-1(n为奇数)'则a,,的值是 ( 2n-2(n为偶数)， A.70 B.28 C.20 D.16 3.(2025·河北武邑中学质检)大衍数列，来源于 《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原 理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾 经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中 隐藏着的世界数学史上的第一道数列题.其前 10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50， …,则此数列的第20项为 A.212 B.200 C.186 D.162 4.(2025·陕西省渭南市期末)在数列1,2，√7， √10，√3，…中，2/19是这个数列的( A.第16项 B.第24项 C.第26项 D.第28项 5.已知数列10的通项公式是a,三那2 这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 6.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n, 则该数列中的数值最大的项是 10 数列 数列的概念] A.第5项 B.第6项 C.第4项或第5项 D.第5项或第6项 二、填空题 7.已知数列{a.的通项公式为a,=3n-i6 n+1 (n∈N,),则数列{an}的最大项是第 项 8.已知数列{an}满足a1<0, a+l=2(n∈N*), a 则数列{an}是 数列（填“递增”或 “递减”). 三、解答题 9.写出下列数列的一个通项公式 0-+4+g416+ (2)2,3,5,9,17,33,； 12345 (3)25101726… (41号29… 1111 (5-38,-i524… (6)2,6,12,20,30,…. 09一 日-1为数试求+on2数列号-子名6…的一个道埃公式为 10.已知数列a.={n,n为偶数， 和a1-a2+a3-a4+…+ag9-a1m的值. () A.0,=(-1)2“+1 B.an=(-1)2n+1 2" C.a.=(-1)+2”+1 2 D.a.=(-1)+12n+1 2n 3.已知数列{an}的通项公式an=log(m+)(n+2) (n∈N,),则它的前30项之积为 () B.5 C.6 D.10g23 +log;132 4.(2025·新疆乌鲁木齐一中高一检测)已知数 列{an}的通项公式为am=n2-2n,则15是数 列{an的 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 5.(2024·上海市杨浦高级中学高一检测)已知 数列1,0,1,0，…，可猜想此数列的通项公式是 () A.an=1+(-1)"-(n∈N*) B.a=1+(-1)r](meN) 乃组·素养提升 Ca=[1+(-1)]+(n-)(a-2)(n 一、选择题 ∈N*) 1.对任意的a.∈(0,1)，由关系式an+1=f(an)得 到的数列满足an+1>an(n∈N*),则函数y= D.a.-(1-c0sna)(ncN') f(x)的图像可能是 )二、填空题 6.已知数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列，则a 的取值范围为 r(3-a)x-3,x≤7， 7.设函数f(x) 数列{an} a-6,x>7, 满足an=f八n),n∈N*,且数列{an}是递增数 列，则实数a的取值范围是 三、解答题 8.数列a.中，a.=+1 n (1)求数列的第7项； 110 (2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； 9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6. 2 (3)区间(3, 内有无数列的项？若有，有 (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列 几项？ 的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 111[练案部分] 练案[1] 而a2=2,a4=4,a6=6,…,ag=98,a1m=100, A组·素养自测 ∴.a1-a2+a3-a4+…+ag9-a10m 1.A数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表 =0-2+2-4+4-.+98-100=-100. 示式可以不唯一例如数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，…的通项B组·素养提升 可以是a,=s血要，也可以是a,=6sn+)严等等 1.A据题意，由关系式an+1=f八an)得到的数列{an},满足a+l 2 >aw,即该函数y=f(x)的图像上任一点(x,y)都满足y>x,结 2.Da2=2×2-2=2,a3=3×3-1=8,a2a3=16.故选D. 合图像，只有A满足，故选A 3.B由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公 式为a2=2n2,则a20=2×102=200,即此数列的第20项 2.D4=子排除A,B:4=冬排除C,放选D, 为200. 3.Ca1×a2×a3×…×a30=log23×log4×log45×…×log3132 4C数列各项可化为爪，√3×1+，3x2+,5x3+, 3造等×器老器62崛5 √3×4+I,…,故an=√3n-2(neN.由√/3n-2=2/9可得 4.C由n2-2n-15=0,解得n=-3或n=5. n=26,即2/19是这个数列的第26项 :neN,n=5.故选C. 5Aa名-2-子单调港塔放选 :5.D对于A选项，a1=1+(-1)°=2≠1，不合题意；对于B选 6Aa=-2n-2)+装因为neN,5<<6,且4=5， 项4=之×(1-）=0≠1，不合题意：对于C选项，4=方 4 ×[1+(-1)4]+2×1=3≠1，不合题意；对于D选项，当n a6=54,所以数值最大的项为第5项故选A. 19_ 764=6-1+96: 为奇数时，cos=-1,此时a,=7×(1+1)=1,当n为偶 当n>5时，an>0,且单调递减；当n≤5时，am<0,且单调 数时，csnm=1,此时a,=子×(1-1)=0，符合题意.故 递减， 选D. .当n=6时，a最大. 6.(-2,1)…数列：2a-1,a-3,3a-5为递减数列， 8.递减由已知a1<0,a+1=2a.(neN),得a.<0(neN). 又a+1-an=2a.-an=an<0,所以{an}是递减数列. 1 r2a-1>a-3解得-2<a<1 la-3>3a-5, 9.(1)符号规律(-1)"，分子都是1，分母是n2+1,.an= .a的取值范围为(-2,1). (- 7.(2,3)由题意，得点(n,an)分布在分段函数f(x)= r(3-a)x-3,x≤7， (2)a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1, 的图像上， a-6,x>7 a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=23+1, 因此当3-a>0时，a1<a2<a<…<a; .an=2-l+1. 当a>1时，ag<ag<a1o<； a,=宁4=号2子4， 1 2 2 3 4 为使数列{an}递增还需a,<ag: 10 =3+14= 17 3-a>0, 4 n =4+…a. 故实数a满足条件a>I, 解得2<a<3, n2+1 f7)<f8), 2 4 16 4)a1=17“=3,4=2=8 4,043 5，…, 故实数a的取值范围是(2,3). 2 7249 .∴.am= n+1 8.(1)a=7+150 (5)a1=-1 1 1 1 n2 -3=-x34=8=2x4a= 15 3×5 (2)证明a,=+=1-n+ ∴.0<a,<1,故数列的各项都在区间(0,1)内. a4=24=4×6 (3)1 n2 21 ∴.am=(-1)m· 1 2+i行心2<n<2.又neN, n(n+2) (6)a1=2=1×2,a2=6=2×3,a3=12=3×4,a4=20=4×5, 六n=1,即在区间（兮，号）内有且只有一项ar a5=30=5×6,.a.=n(n+1). 9.(1)当n=4时，a4=42-4×7+6=-6. 10.:a1=1-1=0,a1m=100.a1+a1o0=100. (2)令a.=150,即n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍)， 又a1=0,a3=2,a5=4,…,a9=98, 即150是这个数列的第16项 -187 (3)令a.=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍)， 3(n-1)+1]=4n-5. 从第7项起各项都是正数 当n=1时，4n-5=-1≠a1,所以{an}的通项公式an= 练案[2] f0,n=1 (nEN*). A组·素养自测 l4n-5,n≥2 1.A由am+1=a+2+an得a3=3, B组·素养提升 a4=-2,a5=-5,a6=-3. .a-14=4+1%=74+22=子 1 13 2.ADA是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列； 2.C由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,.a1=-3. B是n的二次函数，二次项系数为-1，且对称轴为n=- 2 .a0=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2）=4a2+2a1=4× 所以为递减数列； (-6)+2×(-3)=-30. C是n的指数函数，且底数为2，是递减数列； 3B交点个数依次组成数列为1,36，即2,2兰9，，由 D是n的对数函数，且底数为2，是递增数列. 此猜想a,=n(n-1) 2 3.D由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,经验证，选D. 4Ba=分a=(-12a .∴.a10 10×9=45. 2 0(-1Px2x写-号4=(-x2x2 4 =-3， 4.Ba1=0,a2= 41-5 -5,4=5-5,4 √3a1+1 √3a2+1 a=(-1x2x(-)=- 4-5 =0,… 5a3+1 4=(-1°x2x(-)-9 至此可知：数列a}的各项的值依次为0，-5,5,0，-5,5,0， 5.Ca1·a2·a3·…·a=n2, …,周而复始 20=3×6+2,.a20=a2=-5. Z·a2·a3=9,a1·a2=4,∴a3= 5.122n由Sn=n2+n,所以S=9+3=12. 同理0，亮+，音+6治 9.2561 当n=1时，a1=S,=1+1=2, 当n≥2时，an=Sn-S.-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当 6.B当n=1时，a2=1-2=-1,a3=1-（-1)=2,a4=1-2 n=1时，得a1=2成立，所以an=2n =之4=1-2=-1，所以数列的周期是3，所以as=6.2+hna1=a,+n1+) a(3×62+2)=a2=-1. ! a-a=l1+）=n2, 7号告“品 .a,=3n-1(nEN), a-a=n1+）=ln2 六01=3(n+1)-1=3n+2,b.=0=3n+2 a 3n-1' aa=l1+3）=lh手 6=号4=受4=84=片4，=是 14 17 8.7 f2,n=1 12n-1,n≥2a=5-8=16+1-9-1=7, a-a=ln1+n）=n ∫S,n=1, 2,n=1 即a= 以上(n-1)个等式相加，得a,-a=h2+血多+…+ a.{s.-51n≥2 2n-1,n≥2 1 91a=l,a1n4 .a1=2,∴.am=2+nn. 1 1 211 4=1+×1=2a=1+2×2=3 .·a1=2+ln1=2. 也符合上式..an=2+hn 311411 1+3x=4,a1+4×4=5 7.因为anam-1=an-l-am, (2)猜想：a,=元 所以n2时女女+（位）+（份》 10.因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, (位》-2二1=a1所以=n+1,所以当n 所以a1=S=2×12-3×1+1=0, 共(m-1)个1 当n≥2时，a.=5。-51=(2m2-3n+1)）-[2(n-1)2- ≥2时，a=当n=1时，4=之也适合上式所以4 -188