精品解析：安徽合肥市第四十二中学2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

九年级练习数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴得到的新的抛物线的函数解析式为，即． 故选：C． 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可． 【详解】解： 由勾股定理得：， 所以，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键． 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 5. 如图，已知是双曲线上一点，过点作轴，交双曲线于点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，关键是表示出两点的坐标． 首先根据点所在位置设出两点的坐标，再表示出，根据三角形面积计算公式进而求解． 【详解】解：∵点在双曲线上一点， ∴设， ∵轴，在双曲线上， ∴， ∴， 则， 故选：C． 6. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由圆周角定理可求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴半径为． 故选D． 7. 如图，抛物线，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，顶点的坐标为 C. 当时，，则 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案. 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴对称轴为直线 ∴，故A选项不正确； 当时， ∴顶点的坐标为，故B选项不正确； 当时，由图象知此时 即 ∴，故C选项正确； ∵对称轴为直线且图象开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项不正确； 故选C． 8. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据一次函数、反比例函数的图象得到、的符号，从交点个数可以判断时有两个不相同的实数根，进而由判断出抛物线与坐标轴的交点位置、对称轴位置，开口方向，即可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象可得 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得 反比例函数与一次函数的图象的交点有2个 有两个不相同的实数根 即有两个不相同的实数根 的图象与轴有两个交点 的图象与轴的交点为， 二次函数与轴的交点在轴的正半轴上 抛物线的对称轴 抛物线的对称轴位于轴的右侧 又 抛物线开口向上 故选：B． 9. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明，得到，根据折叠的性质可求得，，进而即可解答． 【详解】解：∵将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，，证明，则，，可判断A的正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，C成立，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，A成立，故不符合要求； 设到上的高为，到上的高为， ∴， ∴，D成立，故不符合要求； 当时，， ∵的大小关系不确定， ∴，不一定成立，故B符合要求； 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 12. 如图，直线交于点，．若，，．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的直径上一点，与相切于点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，又，所以，由勾股定理得，即，求得即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知在线段AB上取一点C，过C点作直线l平行x轴，交反比例函数于点D，连接OD、OC． （1）______； （2）记的面积为，则最大值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形. ()将代入一次函数的图象，即可解答； ()设，则，根据点在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】解：()∵一次函数的图象过点， ∴， 解得， 故答案为：； （）由（）得， ∴一次函数解析式为， 反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数， 解方程组， 得或， ∴， 设， ∵点是线段上的点， ∴， ∵轴， ∴点纵坐标与点相同，代入反比例函数， ， ， ∴， 的长度为：， 的面积为：， ∵， ∴ ∴， 当时，的最大面积为， 故答案为：． 三、计算题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 16. 已知二次函数的图象经过原点，指出图象的开口方向并求的值和这个二次函数的对称轴． 【答案】，抛物线开口向上，对称轴为： 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象基本性质及其对称轴公式和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式．由题意二次函数的图象经过原点，把点代入二次函数的解析式，求出m值，再根据二次函数图象的性质，判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴把点代入上面的关系式，得 ， 解得：， 由于不符合题意，应舍去． 故； 把代入，得 ， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为：． 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】（1）所作如图所示： （2）所作点P如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）延长至，使得，同理作出，连接得到，即为所求； （2）取格点使得，由得，连接，交于点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． ①求证：△ABM∽△EMA． ②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值． 【答案】①见解析；②sinE＝ 【解析】 【分析】①根据矩形的性质得到∠B＝90°，AD∥BC，则∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； ②利用△ABM∽△EMA得到∠E＝∠ BAM，再利用勾股定理计算出AM，然后根据正弦的定义得到sin∠BAM＝，从而得到sinE的值． 【详解】①证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB， ∵EM⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM， ∴△ABM∽△EMA； ②解：∵△ABM∽△EMA， ∴∠E＝∠BAM， 在Rt△ABM中，AM＝＝＝5， ∴sin∠BAM＝， ∴sinE＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键. 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳篷边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）遮阳篷边缘点A到墙体的距离约为米 （2）阴影的长约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）过点A作，垂足为F，解直角三角形，得出米，即可得出答案； （2）过点A作，垂足为G，解直角三角形得出米，求出米，解直角三角形得出米，求出米即可． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F，如图所示： 在中，，米， ∴（米）， ∴遮阳篷边缘点A到墙体的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为G，如图所示： 由题意得：米，， 在中，，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴阴影的长约为米． 20. 如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，且，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设的半径，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或(舍去)， ∴的半径为6． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于、两点． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）求的面积； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． （1）将两坐标先代入反比例函数求出，然后由待定系数法求函数解析式． （2）根据直线在曲线下方时的取值范围求解． （3）求出点坐标后由求解． 【小问1详解】 解：∵、两点在反比例函数的图象上， ∴，解得：，， ∴，． 把，代入中，得， 解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，直线在曲线下方，此时，x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：把代入得， 解得：， ∴点C坐标为， ∴． 22. 如图，E是正方形边上一个动点（不与B，C重合），F是延长线上一点，且，连接． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）过点A作的垂线，与直线分别交于G，H两点，记，交于点I． ①当，，求线段的长． ②设，的面积记作，的面积记作，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明和全等得，，根据得，据此可得出结论； （2）①根据为等腰直角三角形，得，，先求出，在中，根据得，，由此可得的长； ②证明和相似得，由此得，再根据得，再证明和相似得，据此可得的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：①由（1）可知：为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； ②在和中，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点H在的延长线上，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积记作，的面积记作， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C． （1）若点C的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标； （2）设，经过A，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最大值？ 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②先求出所在直线的函数表达式，设，则，结合求解即可； （2）根据点和的坐标结合对称轴得出和的关系，从而得出和的关系，再根据直线经过和，求出和的关系，代入要求得二次函数对称轴中，即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意得，，又抛物线过，两点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； ②设所在直线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为， 设，则，且， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵ ∴点P的横坐标为； 【小问2详解】 解：拋物线过，两点， 该抛物线的对称轴为直线， ，即． ， ∴当时，函数有最大值， 直线过，两点， ， ∴， 又抛物线过点， ， ， ， 当时，函数取最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是双曲线上一点，过点作轴，交双曲线于点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 6. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. 10 D. 7. 如图，抛物线，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，顶点的坐标为 C. 当时，，则 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 12. 如图，直线交于点，．若，，．则的值为______． 13. 如图，是的直径上一点，与相切于点，连接，，若，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知在线段AB上取一点C，过C点作直线l平行x轴，交反比例函数于点D，连接OD、OC． （1）______； （2）记的面积为，则最大值为______． 三、计算题 15. 计算：． 16. 已知二次函数的图象经过原点，指出图象的开口方向并求的值和这个二次函数的对称轴． 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点P，使． 18. 如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． ①求证：△ABM∽△EMA． ②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳篷边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米．参考数据：，，） 20. 如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，且，求的半径． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于、两点． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）求的面积； 22. 如图，E是正方形边上一个动点（不与B，C重合），F是延长线上一点，且，连接． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）过点A作的垂线，与直线分别交于G，H两点，记，交于点I． ①当，，求线段的长． ②设，的面积记作，的面积记作，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C． （1）若点C的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标； （2）设，经过A，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最大值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $