4.2.5 正态分布-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[16] 第四章 概率与统计 4.2[4.2.5正态分布] b组·素养自测 :8.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩 状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均 一、选择题 1.某工厂生产的零件外直径（单位：cm)服从正态 成绩=480，标准差σ=100，总体服从正态分 分布N(10,0.04),今从该厂上、下午生产的零 布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录 件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 取分数线可能划在 分（已知Φ(0.25） 9.75cm和9.35cm,则可认为 =0.6) A.上午生产情况异常，下午生产情况正常 三、解答题 B.上午生产情况正常，下午生产情况异常 9.已知随机变量X~N(,σ2)，且其正态曲线在 C.上、下午生产情况均正常 (-∞，80)上是增函数，在(80，+∞)上是减 D.上、下午生产情况均异常 函数，且P(72≤X≤88)≈0.6827. 2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若X (1)求参数u,σ的值. 落在区间(-2，-1)和(1,2)的概率分别为 (2)求P(64≤X≤72). P1P2,则 附：若X~N(u,σ2)，则P(u-o≤X≤u+o) A.P1>P2 B.P<p2 ≈0.6827，P(u-2σ≤X≤+2σ)≈0.9545. C.P=P2 D.不确定 3.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>m -1)=P(X<2m+1),则m= 42 D.2 3 B.4 C.S 3 4.(多选)设随机变量X服从正态分布N(0,1), 则下列结论正确的是 A.P(IXI<a)=P(IXI<a)+P(IXI=a)(a>0) B.P(IXI<a)=2P(X<a)-1(a>0) C.P(IX1<a)=1-2P(X<a)(a>0) D.P(IX1<a)=1-P(IX1>a)(a>0) 5.某市高三学生有30000名，在一次调研测试 中，数学成绩专（单位：分）服从正态分布 N(100,σ2)，已知P(80<≤100)=0.45，若 用分层抽样的方法取200份试卷对成绩进行 分析，则应从120分以上的试卷中抽取( A.5份 B.10份 C.15份 D.20份 二、填空题 6.已知正态分布落在区间(0.2，+0)内的概率 为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x= 时达到最高点， 7.已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内 的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么 这个正态总体的数学期望为 —138 10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，： N(10,0.12),则概率P(15-101<0.1)等于 其概率密度函数图像如图所示。 () (1)写出此地农民工 A.Φ(-9.9) 年均收人的概率密度500√2元 B.Φ(10.1)-Φ(9.9)》 函数的表达式； C.Φ(1)-Φ(-1) (2)求此地农民工年 D.2Φ(10.1) 8000 均收入在8000~ 4.某单位有800名 频率 组距 8500元之间的人数所占的百分比. 员工，工作之余， 0.22 工会积极组织员 工参与“日行万 0.08 步”健身活动.经 调查统计，得到 02468101214步数/千步 全体员工近段时间日均健步走的步数（单位： 千步)的频率分布直方图如图所示.该单位员 工日均健步走的步数近似服从正态分布，计算 得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内， 该单位员工中日均健步走的步数在2千步至 4.5千步的人数约为（附：P(u-σ<X<u+ σ)=0.683，P(u-2σ≤X≤u+2σ）=0.954.) 乃组·素养提升 一、选择题 A.103 B.105 C.107 D.108 1.（多选)如图是正态分布N(0,1)的正态曲线 二、填空题 图，下列式子中，表示图中阴影部分面积的为5.（一题两空）已知随机变量X~N(2,22),且 (注：Φ(a)=P(X<a)) aX+b(a>0)服从标准正态分布N(0,1),则 A2-w(-a） a ,b= 6.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而 B.Φ(1-a) 成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常 c(a)- 工作，则部件正常工作设每个电子元件的使 D.Φ(0) 用寿命Z(单位：小时)均服从正态分布 2.(多选)某市组织一次高三调研考试，考试后统计 N(1000,100),且各个元件能否正常工作相 的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)= 互独立，那么该部件的使用寿命超过1100小 1 e“器(x∈R),则下列正确的是( 时的概率约为 10√2m 元件1 A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 元件3— B.分数在120分以上的人数与分数在60分以 元件2 下的人数相同 附：若随机变量Z服从正态分布N(u,σ2)，则 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以 ; P(u-G≤Z≤4+o)≈3 下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为10 7.某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩 3.用Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞，x) (单位：分)X服从正态分布N(110,102),记X 内取值的概率，若随机变量专服从正态分布 ∈(90,110]为事件A,X∈(80,100]为事件 139 B,则P(BIA)= (结果用分数表示)9.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量 附：P(u-o≤X≤u+σ)≈68.3%，P(u-2σ 这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如 ≤X≤u+2o）≈95.4%，P(u-3o≤X≤u+ 图所示的频率分布直方图： 3σ）≈99.7%. (1)求这500件产品质量指标值的样本平均值 三、解答题 x和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的 8.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实 中点值作代表)； 现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于 (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标 制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造， Z服从正态分布V(u,σ2)，其中u近似为样本 已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技： 平均数x,σ2近似为样本方差s2 术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的； ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2); 发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验 ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记 团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对 X表示这100件产品中质量指标值位于区间 内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室 (187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果，求 打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10 E(X).附：√/150≈12.2.若Z~N(u,σ2)，则 件零件，度量其内径如表所示（单位：m). P(u-σ<Z<u+σ）≈0.683，P(u-2σ<Z< 序号1234567 8 9 10 +2σ）≈0.954. ↑频率/组距 内径979798102105107108109113114 0.033 (1)计算平均值与标准差σ； 0.024 0.022 (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径 Z服从正态分布N(u,σ2).该团队到工厂安装 0.009 0.008 调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为 0.002 (单位：m):86,95,103,109,118,试问此打印 165175185195205215225235质量指标值 设备是否需要进一步调试，为什么？ 140Y, 2 8 12 P 0.20.50.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2× 0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12 (2)=·y)+n(00.) =(0)+(80o)-0+3(w-门 =700(4-60r+3×102). 所以当==75时)取最小值3】 练案[16] A组·素养自测 1.B零件外直径X~N(10,0.04),.根据3σ原则，产品外 直径在(10-3×0.2,10+3×0.2)即(9.4,10.6)之外时为异 常.9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，.可认为上午生产情况 正常，下午生产情况异常，故选B. 2C易知标准正态分布密度曲线关于直线x=0对称，因此P =P2 3.B.P(X>m-1)=P(X<2m+1),.m-1+2m+1=4,解 得m=号，放选B 4.ABD服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以 P(IX1=a)=0,A正确.X~N(0,1),4=0,所以正态曲线关 于直线x=0对称，P(IXI<a)+2P(X>a)=1.又P(X>a) +P(X<a)=1,所以P(1XI<a)+2[1-P(X<a)]=1,即 P(IXI<a)=2P(X<a)-1(a>0),所以B正确，C错误. P(IX1<a)+P(1X1>a)=1(a>0),D正确，故选ABD. 5.B由题意易知P(5>100)=0.5,P(100≤5≤120)=P(80< 5≤100)=0.45..P(5>120)=P(5>100)- P(100<≤120)=0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的 试卷的份数为200×0.05=10. 6.0.2由正态曲线关于直线x=4对称且在x=u处达到峰值 和其落在区间(0.2，+∞)内的概率为0.5，得u=0.2. 7.1正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两 个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间 （-3,-1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个 区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直 线x=u对称，4的意义是数学期望，因为区间(-3，-1)和区 间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3，-3的对称点是 5),所以数学期望为1. 8.505.·平均成绩u=480,标准差σ=100，总体服从正态 分布， 19 .X~N(480,1002).设重点录取分数线可能划在f分， 则PK=1-P<=1- 又(0.25)=06，f-480=0.25. 100 .f=505分 rP(72≤X≤88)≈0.6827 9.(1)由题设4=80，而 ,则 lP(u-c≤X≤u+σ)≈0.6827 「从-0=72 ,可得σ=8. 4+σ=88 (2)由(1)知：P(u-2o≤X≤4+2σ)=P(64≤X≤96)≈ 0.9545, 正态曲线关于x=80对称，即P(X<64)=P(X>96), 所以P(X<64)=之×(1-09545)=0.02275，放P(X≥ 64)≈1-P(X<64)≈0.97725， 由P(72≤X≤8)=0.6827，则P(X<72)=7[1-P(72≤X ≤8)]=7x(1-06827)=0.15865, 所以P(X≥72)=1-P(X<72)≈0.84135， 综上，P(64≤X≤72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈0.97725- 0.84135=0.1359. 0 6472808896 10.设农民工年均收入X~V(u,o2),结合题图可知，4=8000,0 =500 (1)此地农民工年均收人的正态分布的概率密度函数表达式 为9u,(x) 1 -x=四21 -x-800)2 e22 e-2x5002,x∈（-00，+00). √/2To 500√/2 (2)因为P(7500<X<8500)=P(8000-500<X<8000+ 500)≈0.683. 所以P800<Xe80)=P750<X<80)-03415= 34.15%. 即农民工年均收人在8000~8500元之间的人数所占的百 分比约为34.15%. B组·素养提升 1.AC (-a)=P(X<-a), :图中阴影部分的面积为行-P(X<-a）=方-(-a), 又根据性质(-a)+(a)=1,可得)-(-a)=分 [1-(a]=(a）-分A,C正确 2.ACD.其密度函数为f(x)= 1e82(xeR), 102T .·.该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数 学标准差为10. 05080110 从图形上看，它关于直线x=80对称， 且50与110也关于直线x=80对称， 故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 故选ACD, 3.C若随机变量专服从正态分布N(10,0.1),则Z==10 0.1 ~N(0,1). 又(x)表示标准正态总体在区间(-0，x)内取值的概率， 所以P-101<0.1)=P(60<） =P(-1<Z<1)=Φ(1)-D(-1),故选C. 4.D由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值：= 1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1 +13×0.02=6.96≈7. 设随机变量日均健步走的步数为X,则X~N(7,6.25),∴u= 7,g=2.5,则u-g=4.5h-20=2,P(2≤X≤4.5)=2× (0.954-0.683)=0.1355. .·800×0.1355≈108， ..日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为108.故 选D. 5)-1随机变量X~N(2,2)E(X)=2,D(X)=22 =4. .E(ax+b)=aE(X)+6=2a+6=0, D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1. a=2,b=-1. 6品 ·每个电子元件的使用寿命Z均服从正态分布N(1000, 1).且Pu-a≤z≤+o）)=号. ∴每个电子元件的使用寿命超过1100小时的概率 P(z>110)=石 故该部件的使用寿命超过1100小时的概率约为 (1-名×8)*。品 271 7由题意得，P(A)≈47.7%，P(AB)≈号×(95.4%- 68.3%)=13.55%,P(B1A)≈1355%=27 47.7%954 19 8.(1μ=0×(97+97+98+102+105+107+108+109+13 +14)=105.g2=0×[(-8y2+(-82+(-7)2+(-3)2 +02+22+32+42+82+92]=36,所以σ=6. (2)需要进一步调试.理由如下： 如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62),则P(u- 3o<Z<u+3o)=P(87<Z<123)≈0.997，零件内径在(87， 123)之外的概率只有0.003， 而86(87,123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试. 9.(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值x和样本方差s2分 别为：x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+ 210×0.24+220×0.08+230×0.02=200. s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0× 0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知，Z服从正态分布N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈ 0.683.②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8， 212.2)的概率为0.683，依题意知X~B(100,0.683),所以 E(X)=100×0.683=68.3. 练案[17] A组·素养自测 1.BD在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； 在B中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有 相关关系：在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发 生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系， 2.A 3.C根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断D选项： 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现 正相关性，B选项错误，C选项正确； 由于r=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据， 相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定 是0.8245，D选项错误； 故选C. 4.Dx-0+12+3=1.5,y=m+3+5.5+2,将其代人= 4 4 2.2x+0.7,可得m=0.5,故选D. 5.C由(1,0)，(2,2)求b',a'. 6=2-0=2,4=0-2x1=-2 Γ2-1 求à，6时，xy:=0+4+3+12+15+24=58,