4.3.1 一元线性回归模型-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

2.ACD.其密度函数为f(x)= 1e82(xeR), 102T .·.该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数 学标准差为10. 05080110 从图形上看，它关于直线x=80对称， 且50与110也关于直线x=80对称， 故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 故选ACD, 3.C若随机变量专服从正态分布N(10,0.1),则Z==10 0.1 ~N(0,1). 又(x)表示标准正态总体在区间(-0，x)内取值的概率， 所以P-101<0.1)=P(60<） =P(-1<Z<1)=Φ(1)-D(-1),故选C. 4.D由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值：= 1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1 +13×0.02=6.96≈7. 设随机变量日均健步走的步数为X,则X~N(7,6.25),∴u= 7,g=2.5,则u-g=4.5h-20=2,P(2≤X≤4.5)=2× (0.954-0.683)=0.1355. .·800×0.1355≈108， ..日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为108.故 选D. 5)-1随机变量X~N(2,2)E(X)=2,D(X)=22 =4. .E(ax+b)=aE(X)+6=2a+6=0, D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1. a=2,b=-1. 6品 ·每个电子元件的使用寿命Z均服从正态分布N(1000, 1).且Pu-a≤z≤+o）)=号. ∴每个电子元件的使用寿命超过1100小时的概率 P(z>110)=石 故该部件的使用寿命超过1100小时的概率约为 (1-名×8)*。品 271 7由题意得，P(A)≈47.7%，P(AB)≈号×(95.4%- 68.3%)=13.55%,P(B1A)≈1355%=27 47.7%954 19 8.(1μ=0×(97+97+98+102+105+107+108+109+13 +14)=105.g2=0×[(-8y2+(-82+(-7)2+(-3)2 +02+22+32+42+82+92]=36,所以σ=6. (2)需要进一步调试.理由如下： 如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62),则P(u- 3o<Z<u+3o)=P(87<Z<123)≈0.997，零件内径在(87， 123)之外的概率只有0.003， 而86(87,123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试. 9.(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值x和样本方差s2分 别为：x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+ 210×0.24+220×0.08+230×0.02=200. s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0× 0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知，Z服从正态分布N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈ 0.683.②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8， 212.2)的概率为0.683，依题意知X~B(100,0.683),所以 E(X)=100×0.683=68.3. 练案[17] A组·素养自测 1.BD在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； 在B中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有 相关关系：在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发 生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系， 2.A 3.C根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断D选项： 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现 正相关性，B选项错误，C选项正确； 由于r=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据， 相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定 是0.8245，D选项错误； 故选C. 4.Dx-0+12+3=1.5,y=m+3+5.5+2,将其代人= 4 4 2.2x+0.7,可得m=0.5,故选D. 5.C由(1,0)，(2,2)求b',a'. 6=2-0=2,4=0-2x1=-2 Γ2-1 求à，6时，xy:=0+4+3+12+15+24=58, -7-136 x=2y=6,2=1+4+9+16+25+36=91, 713 5 .b= 58-6×26 91-6×(3】 a=3-x7=3-= 1 =6-7×2=6-2 3 ..b<b',aza'. 6.(4,10)去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近， 相关性增强。 7.0相关系数 (馬-0x-列 r=- -含- 与6-0x 一的分子相同，故r=0 含(x-) 8.y=6.5x+17.5设回归直线为y=6.5x+a,点(x,y)在此直 线上，故a=17.5. 9.(1)x=3+4+5+6+7+8+9=6, 7 y=66+69+73+81+89+90+91_559 7 7 (2)因为y与x有线性相关关系， 所以6=-7了.3-1x6×」 =4.75,à=559-6 -7 280-7×36 7 x475-7g-51.36 故回归直线方程为y=4.75x+51.36. 10.(1)由表中数据得：=1+2+3+4=2.5， 4 y=12+28+42+56=34.5, 4 所以6：4， -4轻 418-4×2.5×34.5 (+2+3°+4)-4x2.5=14.6, a=y-6x=34.5-14.6×2.5=-2, 所以回归直线方程为y=14.6x-2,且变量y与x之间是正 相关 (2)依题意有：y=14.6x-2≥144，解得x≥10， 所以广告支出费用至少需要投人10万元. B组·素养提升 1.AB由回归方程=6.5x+17.5,可知6=6.5，则销售额y与 广告费支出x正相关，所以A正确；设丢失的数据为m,由表 中的数据可得-5，-20，把点5,20，+四）代人回归方 -19 程，可得20+m=6.5×5+17.5,解得m=30,所以B正确：该 5 公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元， 所以C不正确：若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额 约为y=6.5×8+17.5=69.5(万元)，所以D不正确，故 选AB 2.ACD由图可知两变量呈现正相关，故r1>0,2>0,且1< T2,故A正确，B错误；又回归直线l1:y=0.68x+a必经过样 本中心点(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12,C正 确；回归直线2：y=6x+0.68必经过样本中心点(3,2)，所以 2=6×3+0.68,所以6=0.44，也可直接根据图像判断0<6< 0.68(比较两直线的倾斜程度)，故ACD正确， 3.D因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系， 所以相关系数为1 4.D将式子两边取对数，得到lny=bx-0.5,令z=ln,得到z= bx-0.5,列出x,z的取值对应的表格， x1234 134 6 则元=1+2+3+4=2.5,2=1+3+4+6=3.5， 4 4 .(x,z)满足z=bx-0.5,.3.5=b×2.5-0.5, 解得b=1.6,.z=1.6x-0.5,.y=ec-a5,当x=5时，= e6x5-05=e是，故选D. 5.8当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y=0时，令 10.47-1.3x=0,解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用 年限为8年 6.e4由题意，得ln(ce)=0.3x+4,所以lnc+kx=0.3x+4, 所以nc=4,所以c=e4. 7.(1)40由y=38,得m=40. (2)14由a=y-bx得a=58,故y=-2x+58 当x=22时，y=14, 故三月中旬的销售量约为14件. 8.(1)由于x=8+8.2+8.4+8.6+8.8+9=8.5, 6 y=90+84+83+80+75+68=80. 6 所以a=y-3x=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为 y=-20x+250 (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x(-20x+250) -4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2 +361.25. 当且仅当x=8.25时，L取得最大值，故当单价定为8.25元时， 工厂可获得最大利润 9.（1)由题意，数据的最大值为216.93，最小值为206.78， 则极差为216.93-206.78=10.15： 数据中间两数为209.35与210.68， 08 则中位数为209.35210.68=210.015 2 (2)由题意，数据共10个，211以上数据共有4个， 故设事件A=“恰有2个数据在211以上”， 则P(A)= C。=10' 放恰有2个数据在21以上的概率为高 (3)由题意，成绩的平均数 206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93 10 =211.399, 由直线y=-0.311x+6过(2006,211.399)， 则6=211.399+0.311×2006=835.265 故回归直线方程为y=-0.311x+835.265. 当x=2028时，y=-0.311×2028+835.265=204.557≈204.56. 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 练案[18] A组·素养自测 1.AB由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义 知，B选项正确X的大小是判定事件A与B是否相关的一种 方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A 发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确。 2.D事件A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互 独立. 3.AX-72×8X18-4×32≈4.726>3.841 22×50×40×32 4.AX2≈4.762>3.841，参照题中附表，可得在犯错误的概率 不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢键子与性别有关”.故 选A 5.B任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员 的藏率为贺-号放①错误： X-500×200X3050×20=5.952<6.635,故②错误， 420×80×250×250 ③正确.故选B. 6.99%有关X2=7.63,X2>6.635,因此，有99%的把握 说，打鼾与患心脏病是有关的。 7099f-g510+00,0456-182 .18.822>10.828, .x与y之间有关系的概率约为1-0.001=0.999. 8.5%.P(x≥3.841)=0.05，故判断出错的可能性为5%. 9.(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是 8=0,75,乙机床生产的产品中-级品的频幸是”=0.6 (2)根据题表中的数据可得 4=400×(150×80-120×50）2=400=10.256 200×200×270×130 -19 因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品 质量与乙机床的产品质量有差异 10.(1)设样本中乙企业用户中满意的有x户，结合列联表知， P=75+=9,解得x=60; 16511 所以，填写2×2列联表是： 满意 不满意 合计 甲企业用户 75 10 85 乙企业用户 60 20 80 合计 135 30 165 n(ad-be)2 计算K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d西 =165(75×20-10×60)2_165 4.853>3.841 135×30×85×80 -34 所以能判断有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措 施有关系” (2)设“抽到5号或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚骰 子，出现的点数为(m,n),则所有的基本事件的个数有6×6 =36, 事件A包含的基本事件个数(m+n=5或m+n=10)有： (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4)共有7 个所以所求事件的薇率为P一石 B组·素养提升 .C在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为子， ·成绩优秀的人数为105×号=30，非优秀的人数为1心-0 =75 ∴.c=30-10=20,b=75-30=45, X=105×I0x30-20x45)≈6.109>3.841 30×75×50×55 ·.若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系.故 选C. 2.C设男生可能有x人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 于 3 2 女生 总计 子 3 2x 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则X≥ 4 2.31 3.841,由X 2x5x·5-5· 73 2≥3.841，解得 x≥40.3305，又由题意知，x是5的整数倍， 9练案[17] 第四章 概率与统计 4.3[4.3.1一元线性回归模型] b组·素养自测 4.已知x与y之间的一组数据. 一、选择题 2 0 1 2 3 1.（多选)下列关系中，属于相关关系的是( m 3 5.5 7 A.正方形的边长与面积之间的关系 已求得关于y与x的线性回归方程为y= B.生活习惯与健康状况的关系 2.2x+0.7,则m的值为 () C.人的身高与年龄之间的关系 A.1 B.0.85 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.0.7 D.0.5 2.某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、5.已知x与y之间的几组数据如下表 气压和沸，点的六组数据绘制成散点图如图所 2 3 4 5 6 示，则下列说法错误的是 2 0 1334 108 108 000 264208 假设根据上表数据所得线性回归方程为y= x+ā.若某同学根据上表中的前两组数据(1， 00.511.522.533.544.5 405060708090100110 0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则 海拔高度（单位：千米） 气压（单位：千帕） A.沸点与海拔高度呈正相关 以下结论正确的是 () B.沸，点与气压呈正相关 A.b>b',a>a' B.b>b',a<a' C.沸点与海拔高度呈负相关 C.6<b',a>a D.b<b',a<a' D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都 二、填空题 很强 6.如图所示的五组数据(x,y)中，去掉 3.（2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣 后，剩下的四组数据相关性增强。 长度，所得数据如图所示，其中相关系数r= ·(4,10) 0.8245,下列说法正确的是 ( 6,8 4花瓣长度 3.4 ·5,4 ·(1,2 x 7.若回归直线方程中的回归系数b=0,则相关系 数r= 花萼长度 8.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数 据如下表： A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 2 4 5 6 P C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 30 40 60 50 70 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关 若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5， 系数一定是0.8245 则这条回归直线的方程为 141 三、解答题 乃组·素养提升 9.某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y 一 、选择题 (元)与该周每天销售这种服装件数x之间的 1.(多选)某公司过去五个月的广告费支出x(单 组数据关系见表： 位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列 3 4 5 6 7 8 9 对应数据： 66 69 73 81 89 90 9 2 4 5 6 8 已知x=280,∑x,y:=3487. 2 40 60 50 70 (1)求x,y; 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失， (2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关， 已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为 试求出其回归直线方程 y=6.5x+17.5,则下列说法正确的有（) A.销售额y与广告费支出x正相关 B.丢失的数据（表中▲处）为30 C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一 定增加6.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售 额约为75万元 2.(多选)某同学将收集到的六组数据制作成散 点图如图所示，并得到其回归直线的方程为 1:y=0.68x+a,计算其相关系数为r1.经过分 析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用 10.某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收 剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为 入y(单位：万元)之间有如下数据： l2:y=bx+0.68,相关系数为r2,以下结论中， 广告支出x(单位：万元) 1 2 3 4 正确的是 () 销售收入y(单位：万元) 12 2842 56 F6,5) 根据以上数据算得：y:=138,氵xy=418. q2)pd232 (1)求出y对x的回归直线方程y=bx+a,并 4(L12-15) 判断变量y与x之间是正相关还是负相关； 0 (2)若销售收入最少为144万元，则广告支出 A.r1>0,I2>0 B.r1>2 费用至少需要投入多少万元？ C.a=0.12 D.0<b<0.68 3.在一组样本数据(x1y1),(x2,y2),…,（xnyn) (n≥2，x1,x2,…,xm不全相等)的散点图中，若 所有样本点(x,y:)(i=1,2,…,n)都在直线 y=子+1上，则这组样本数据的样本相关系 数为 A.-1 B.0 c.2 D.1 142 4.已知变量y关于x的回归方程为y=e-05,其 从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件， 一组数据如下表所示： 为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 多少元？（利润=销售收入-成本） 若x=5,则预测y的值可能为 A.es B.e C.e D.e 二、填空题 5.对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2, 3,…)与当年利润y的统计分析知x,y具备线 性相关关系，回归方程为y=10.47-1.3x,估 计该台机器最为划算的使用年限为 年 6.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出回9.(2025·上海卷)2024年东京奥运会，中国获 归方程，设z=lny,其变换后得到线性回归方 得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是 程z=0.3x+4,则c= 历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠 7.(一题两空)某品牌服装专卖店为了解保暖衬 军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列. 衣的销售量(y件)与平均气温x(℃)之间的 206.78207.46207.95 209.34 209.35 关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平 210.68213.73214.84216.93 216.93 均气温，其数据如表。 (1)求这组数据的极差与中位数： 二月 二月 二月 三月 (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数 时间 上旬 中旬 下旬 上旬 据在211以上的概率； 旬平均气温x(℃) 3 8 12 17 (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 y=-0.311x+6,年份x的平均数为2006，预 旬销售量y(件) 55 m 33 24 测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒). 由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的 b=-2,样本中心点为(10,38) (1)表中数据m= ； (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中句 的销售量约为 件 三、解答题 8.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定 价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到如下数据 单价x(元) 8 8.28.48.68.8 9 销量y(件) 90 8483 80 75 68 (1)求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20; (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服 143