课时测评18 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评18　正态分布 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　 ) A．1 B． C．2 D．4 答案：A 解析：因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1. 2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　 ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.4%.) A．4.56% B．13.55% C．27.18% D．31.74% 答案：B 解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.683，P(－6＜ξ＜6)≈0.954，故P(3＜ξ＜6)＝≈＝0.135 5＝13.55%. 3．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C．该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等 D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等 答案：D 解析：对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D． 4．为准备奥运会，某田径项目组织计划招收一批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20 000名青少年报名参加测试，其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60，σ2)，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为(　　) 附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. A．18 B．22 C．26 D．30 答案：D 解析：由题意，得P(X>80)＝＝0.023.又X～N(60，σ2)，所以由正态分布曲线的对称性可得P(40≤X≤80)＝1－2P(X>80)＝0.954＝P(60－2σ≤X≤60＋2σ)，故σ＝10，所以P(30≤X≤90)＝0.997，所以P(X>90)＝＝0.001 5，则90分以上的人数为20 000×0.001 5＝30，即进入集训队的人数为30. 5．(多选)若随机变量ξ～N(0，1)，Φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x＞0，下列等式成立的有(　　) A．Φ(－x)＝1－Φ(x)　　 B．Φ(2x)＝2Φ(x) C．P(|ξ|＜x)＝2Φ(x)－1 D．P(|ξ|＞x)＝2－Φ(x) 答案：AC 解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，因为Φ(x)＝P(ξ≤x)，根据曲线的对称性可得：对于A，Φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－Φ(x)，所以该选项正确； 对于B，Φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2Φ(x)＝2P(ξ≤x)， 所以Φ(2x)≠2Φ(x)，所以该选项错误； 对于C，P(|ξ|＜x)＝P(－x＜ξ＜x)＝1－2Φ(－x)＝1－2[1－Φ(x)]＝2Φ(x)－1，所以该选项正确； 对于D，P(|ξ|＞x)＝P(ξ＞x或ξ＜－x)＝1－Φ(x)＋Φ(－x)＝1－Φ(x)＋1－Φ(x)＝2－2Φ(x)，所以该选项错误． 6．正态分布的概率密度函数为f(x)＝e (x∈R)，则这个正态变量的数学期望是________，标准差是________． 答案：　0　2 解析：因为f(x)＝e＝ e所以X～N(0，22)，所以μ＝0，标准差为2. 7．已知X～N(5，1)，则P(6<X<7)＝______． 答案：0.135 5 解析：由已知得P(4<X<6)＝0.683，P(3<x<7)＝0.954，所以P(3<X<4)＋P(6<X<7)＝0.954－0.683＝0.271.由对称性得P(3<X<4)＝P(6<X<7)，所以P(6<X<7)＝＝0.135 5. 8．某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X(km)服从正态分布N(2 000，102)．任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1 970 km到2 020 km之间的概率为________． (参考公式：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.683， P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954， P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997.) 答案：0.975 5 解析：由X～N(2 000，102)知，则μ＝2 000，σ＝10，所以P(1 970＜X＜2 020)＝P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)－[P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)－P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]≈0.997－×(0.997－0.954)＝0.975 5. 9．(10分)随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高，为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30 000名高中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，试估计该市身高高于180 cm的高中男生人数． 解：全市30 000名高中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，则P(X＞180)＝＝0.1，所以该市身高高于180 cm的高中男生人数大约为 30 000×0.1＝3 000(人)． 10．(10分)某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)计算该样本的平均值x (_)，方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(4分) (2)根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均值x (_)，σ2近似为样本方差s2.任取一个产品，记其质量指标值为X.若|X－μ|≤σ，则认为该产品为一等品；σ＜|X－μ|≤2σ，则认为该产品为二等品；若|X－μ|＞2σ，则认为该产品为不合格品．已知设备A正常状态下每天生产这种产品1 000个．(6分) ①用样本估计总体，该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%? ②某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B．经测试，设备B正常状态下每天生产产品1 200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B? 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，≈12.2. 解：(1)由频率分布直方图可得x (_)＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①方法一：由(1)得(x (_)－2s，x (_)＋2s)≈(175.6，224.4)，由题图可得质量指标值在(165，175)和(225，235)的频率为0.02＋0.02＝0.04＞0.03， 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. 方法二：由于P(|X－μ|＞2σ)＝1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝1－0.954 5＝0.045 5＞0.03. 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. ②设W1，W2分别为设备A，B一天为工厂创造的利润，则E(W1)＝1 000×(50×0.682 7＋30×0.271 8－40×0.045 5)＝1 000×(34.135＋8.154－1.82)＝40 469，E(W2)＝1 200×(50×0.7＋30×0.26－40×0.04)＝1 200×(35＋7.8－1.6)＝49 440，所以采用新设备利润每天增加E(ΔW)＝E(W2)－E(W1)＝49 440－40 469＝8 971，500 000÷8 971≈56(天)，因此，只需56天使用设备B产生的利润就超过使用设备A产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B． 11．(5分)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 答案：ABC 解析：由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确，因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误． 12．(5分)为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________． 答案：683人 解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X＜62.5)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683≈683人． 13．(15分)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：μm)． (1)计算平均值μ与标准差σ；(5分) (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)．该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？(10分) 解：(1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105， σ2＝×[(－8)2＋(－8)2＋(－7)2＋(－3)2＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36，所以σ＝6. (2)结论：需要进一步调试．理由如下： 如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝P(87＜Z＜123)≈0.997 3，零件内径在(87，123)之外的概率只有0.002 7， 而86 (87，123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试． 14．(15分)某中学的数学课题研究小组在某社区设计了一个调查：在每天晚上7∶30～10∶00共2.5小时内，居民浏览“学习强国”的时间．如果这个社区共有成人按10 000人计算，每人每天晚上7∶30～10∶00期间打开“学习强国APP”的概率均为p(某人在某一时刻打开“学习强国APP”的概率p＝，0<p<1)，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的．他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国APP”的时间(单位：min)，得到下面的频数表，以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间． 学习时 长/min [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 10 20 40 20 10 (1)试估计p的值；(5分) (2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国APP”进行学习的人数． ①求X的数学期望E(X)和方差D(X)； ②若随机变量Z满足Z＝，可认为Z～N(0，1)．假设当4 950<X≤5 100时，表示社区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数)．(10分) 附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.997. 解：(1)该社区内的成人每天晚上打开“学习强国APP”的平均时间为： 55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75(min)， 而调查总时长为150(min)，故p＝＝. (2)①根据题意，X～B， 故E(X)＝np＝10 000×＝5 000， D(X)＝np(1－p)＝10 000××＝2 500. ②Z＝＝X－100， 当4 950<X≤5 100时，－1<Z≤2，Z～N(0，1)， P(－1<Z≤2)＝P(μ－σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954－＝0.818 5. 故P(4 950<X≤5 100)＝P(－1<Z≤2)≈0.818 5， 所以估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150×0.818 5≈123(min)． 学科网（北京）股份有限公司 $