4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[14] 第四章 概率与统计 4.2[4.2.4第1课时 离散型随机变量的均值] b组·素养自测 2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),2(a4-3), 2(a5-3),2(a6-3)的期望是 () 一、选择题 A.0 B.3 C.6 D.12 1.(多选)下列说法不正确的是 ( 二、填空题 A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其 6.某射手射击所得环数X的分布列如下： 随X的变化而变化 B.随机变量的均值反映样本的平均水平 7 8 9 10 C.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则 0.1 0.3 E(2X)=4 已知X的期望E(X)=8.9,则x的值为 D.随机变量X的均值E(X)=+名+…+龙 7.一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小 球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到 2.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个 的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出 球，已知取到白球个数的数学期望值为，则 一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最 口袋中白球的个数为 ( 小的数字与最大的数字分别为X,Y,设=Y- A.2 B.3 C.4 D.5 X,则E()= 3.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上 8.设p为非负实数，随机变量X的概率分布为： 种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量 1 X 0 1 2 (单位：kg)并部分整理下表： 1 亩产 「900. 「950.Γ1000.[1050.「1100 [1150 2p 2 量 950) 1000)1050)1100) 1150) 12001 则E(X)的最大值为 生产 6 12 18 30 24 ⊙ 三、解答题 数 9.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装 据表中数据，结论中正确的是 ( 有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白 A.100块稻田亩产量中位数小于1050kg 粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任 B.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻 意选取3个 田所占比例超过80% (1)求三种棕子各取到1个的概率； C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300！ (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布 kg之间 列与数学期望 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至 1000kg之间 4.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽 n件产品，抽到次品数的数学期望值是( A.n B(m-1兴 c兴 n.a+1兴 5.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的期望为3，那么 132 10.(2025·北京卷)有一道选择题考查了一个知 两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已 识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有 售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统 80人答对，乙校有75人答对，用频率估计 计数据如表： 概率. 品牌 甲 乙 (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题 目的概率； 首次出现故 0<x 1<x 0<x (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做 障的时间 x>2 x>2 ≤1 ≤2 ≤2 对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的 x(年) 数学期望； 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 (3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100% 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识 每辆利润 2 3 1.8 2.9 点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知 (万元) 识点的同学都是从四个选项里面随机选择一 将频率视为概率，则 个，设甲校学生掌握该知识点的概率为P,乙 A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一 校学生掌握该知识点的概率为P2,试比较P1 辆，其首次出现故障发生在保修期内的概 与P2的大小（结论不要求证明） 率为 B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲 品牌轿车的利润为X,则E(X)=2.86(万 元) C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙 品牌轿车的利润为X2,则E(X)=2.99(万 元) D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相 当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌 的轿车.若从经济效益的角度考虑，应生产 甲品牌的轿车 3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y轴的左侧，其中a、b、c∈{-3，-2，-1,0,1， 2,3},在这些抛物线中，记随机变量=Ia-b1 的取值，则的数学期望E()为 （) 8组·素养提升 一、选择题 c号 1.(多选)离散型随机变量X的可能取值为1,2， 4.(多选)设0<p<1,随机变量专的分布列如 3,4,P(X=k)=ah+b(k=1,2,3,4),E(X)= 下，则下列结论正确的有 3,则 ( 0 1 A.a=10 B.a=10 1 p P-p2 P 1-p C.b=0 D.b=1 A.E()随着p的增大而增大 2.(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影： B.E()随着p的增大而减小 响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出 C.P(ξ=0)<P(ξ=2) 现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙 D.P(=2)的值最大 133 二、填空题 发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放 5.已知随机变量专和7，其中7=45-2，且E(η)= 100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参 7,若专的分布列如下表，则n的值为 与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在 1 2 3 4 这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人 获得代金券总和X的分布列与数学期望， P 4 n 12 6.马老师从课本上抄录一个随机变量专的概率 分布列如表： t 1 3 P(5=t) ? 请小牛同学计算专的数学期望，尽管“！”处完 全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出 了正确答案E()= 9.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、 7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多 乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为子，中奖 2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的 可以获得2分：方案乙的中奖率为号，中奖可 概率为子，乙在每局中获胜的概率为了，且各 1 以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有 局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数专的 次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响， 期望E()为 晚会结束后凭分数兑换奖品 三、解答题 (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙 8.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调： 抽奖，记他们的累计得分为X,求X≤3的 查的1000位上网购物者的年龄情况如图 概率； 所示。 (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择 频率/组距 方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖， 累计得分的数学期望较大？ 0.015 0.010 20 3040 506070年龄 (1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄 段的上网购物者人数成等差数列，求a,b 的值； (2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的 人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为 潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消 费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人 134.随机变量X的分布列为： 0 1 2 63 2 11 130 65130 (2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为 0.3, 设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品 数量，则Y~B(5,0.3), 枚所求概率为P(Y=2)=C×0.32×0.73=0.3087. B组·素养提升 1.AC对于A,设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍 数”，P(A)=了而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了 k次(k=01,2,…,m)的概率P5=b)=C×(兮× (号)“，符合二项分布的定义，即有5-8(n,分。 对于B,的取值是1,2,3，…，P(E=k)=0.9×0.1-1(k=1,2,3 …,),显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布 C和D的区别是：C是“有放回“抽取，而D是“无放回”抽取 显然D中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于 ③有5-B(,兴) 故应填AC. 2.AD任意抽取4个产品有C2种不同的抽取方法，其中恰好 有1个二等品的抽取方法有CC。种，故所求事件的概率为 C“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或 C “有2个二等品”，故A选项也对 3.B由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移 动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上 移动三次，放其概率为C(分)（分）=C(合 c() 4.A设A=“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B=“从 市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB =“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡” .·P(A)=0.7,P(B1A)=0.95,.P(AB)=P(A)·P(B1A)=0.7 ×0.95=0.665. 5.5取出的7件产品中，要使所含的次品数最少，只需将(10 a)件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10-a)+2=7, 解得a=5. 6由条件知，P(X=0)=1-P(X≥)=号=C(1-p. .P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1) =1-C9p°(1-p)4-C4p(1-P)3 -19 =1-16-32=1 81-81=27 7. 号设篮球运动员罚球的命中率为P,则由条件得P(传=2) 3 -1-g-8p-名p= 3 8.(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是 （石头，石头)，（石头，剪刀），（石头，布），（剪刀，石头），（剪 刀，剪刀)，（剪刀，布），（布，石头)，（布，剪刀），（布，布），共9 个基本事件.玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是（石头，剪 刀)，（剪刀，布），（布，石头），共有3个 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率p=3 (2)由题意知：X=0,1,2,3. P=0)=G(- P(X=1)=C· ()(号)= P(X=2)=C· )()= PX=3)=G(兮)广=7 X的分布列如下： 0 2 3 4 27 9 27 9.（1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A, “该人参加过计算机培训”为事件B,则事件A与B相互独立！ 且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以，该下岗人员没有参加过培 训的概率是 P(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1. 所以该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训 的人数服从二项分布~B(3,0.9),P(E=k)=C0.9× 0.13-,k=0,1,2,3, 所以的分布列是 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 练案[14] A组·素养自测 1.ABDA错误，随机变量的数学期望E()是个常量，是随机 变量X本身固有的一个数字特征.B错误，随机变量的均值反 映随机变量取值的平均水平.C正确，由均值的性质可知.D 错误，因为E(X)=x1P1+x2P2+…+xP 2.B设袋中有M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为 X则X7,20,所以5()-兴=号所以M=3 3.C根据频率分布表知，6+12+18=36<50，所以100块稻田 亩产量中位数不小于1050kg,选项A错误；亩产量不低于 1100kg的稻田频数为24+10=34，所以亩产量低于1100kg 的稻田所古比例为10034=66%，选项B错误：亩产量的极 100 差最大值为1200-900=300，最小值为1150-950=200，所 以极差介于200kg至300kg之间，选项C正确：估计平均数 为r=06x925+12×975+18X1025+30X1075+24× 1125+10×1175)=1067,选项D错误.故选C. 4.C设抽到的次品数为X,共有N件产品，其中有M件次 品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数 为N、M、n的超几何分布，.抽到次品数的数学期望值E(X) -兴 5.A由E(aE+b)=aE(5)+b=2×3-6=0. 604*+y=0.6,7x+10=8.9-0.8-2.7,解得=0.2 y=0.4 7.号由题意知专的饭值为0,12,5=0，表示X=Y:5=1表示X= 1,Y=2,或X=2,Y=3:=2表示X=1,Y=3. g以6=0233 P(E=0)=3 33 9 P(E=2)-2×3+A=4 33 -9· ()=0x+1x号+2×号：号 9=3 8由表可得 0≤2-p≤1， 从而得pe[0,],期望值 0≤p≤1， E()=0×(3-p+1×p+2x分=p+1,当且仅当p=2 时，E(X)=号 9.(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的 概率计算公式有 P(A)=CCC=1 -4 (2)法一：X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=0)= = CC 7 5P(X=)=C 》警市 综上知，X的分布列为 X 0 7 1515 15 故()=0×品+1×子+2x5=号个). 7 7 19 法二：由题意可知：X~H(10,3,2), C- .P(x=k)= ,k=0,1,2. .X的分布列为 X 0 2 P > > 15 15 以0资2-号个 10.[解析](1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对 该能目的概率为0-专 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,P(A) =0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,P(B)= 0.25. 设C为“恰有1人做对”，故 P(C)=P(A B)+P(AB)=P(A)P(B)+ P(A)P(B)=0.35, 依题可知，X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05 P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表 0 1 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55 (3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故P(D)+(1-P(D)=0.8,即n+×(1-n,)=08, 11 故p1=15 1 同理有0.85p+4×(1-)=0.75 5 故p2=6 故p1<P2 B组·素养提升 1.BC易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4 ×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ① 又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b= 1, ② 由①2，得a=0b=0. 2.BD设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A,则P2错=0 依题意得，X1的分布列为 X 3 P 9 10 ()=1×5+2×+3×品 3 =2.86(万元)， X2的分布列为 1.8 2.9 9 10 10 E)=18×0+2.9×品-2.79（万元》. 因为E(X)>E(X,),所以应生产甲品牌轿车. 3.A:抛物线的对称轴在y轴的左侧， 名<0，即合>0， a与b同号. 专的分布列为： 0 1 P )=0x+1×号+2x号-号 4.BC由题意E()=P2+2(1-p)=(p-1)2+1,由于0<p< 1.所以E()随着p的增大而减小，A错，B正确.又p-p2= p(1-p)<1-p,所以C正确，p=子时P(6=2)=子，面P(5 =)=(=名>D错，放选C 5.号7=45-2今E(m)=4E(5)-2→7=4·E(5)-2→E(5) -号=1x+2xm+3x+47又对++a 1 =1,联立求解可得n= 1 62设“？”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以 期望E()=1×P(5=1)+2×P(5=2)+3×P(5=3)=4x+2y 7266 81 依题意，知专的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为号)+（兮）厂-。若该轮结 束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮 比赛结果对下轮比赛是否停止没有影南从而有P(专=2)=号， 故B()=2×号+4×引+6×号- 20 16_266 8.(1).[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者 -19 人数成等差数列 .由频率分布直方图得 r(0.015+a+b+0.015+0.010)×10=1, 12b=a+0.015. 解得a=0.035,b=0.025. (2)利用分层抽样从样本中抽取10人， 其中属于高消费人群的有(a+b)×10×10=6人，属于潜在 消费人群的有10-6=4人. 从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X, 则X的所有可能取值为：150,200,250,300. P(X=150)= =1,P(X=200)= CiCh =1 C36 C02’ CoC 3 P(X=250)=C0 =i0P(X=300)=。=30 X的分布列为： X 150 200 250300 1 3 6 2 10 30 E(X)=150× 6+200×分 +250×0+30×0=210, 9()由已知得小明中奖的概率为子，小红中奖的概率为号，两人 中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A,则事 件A的对立事件为X=5”,因为P(X=5)=子×号告所以 11 P(A)=1-P(X=5)=5所以这两人的累计得分X≤3的概率 为媚 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X,,都选择 方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计 得分的数学期望为E(2X,),选择方案乙抽奖累计得分的数学 期望为E(3X,) 已知得X~(2,号)x~82,号) 24 24 所以E(X)=2×行=3，E(X)=2×5=5 所以E(2X)=2(X)=号，E(3X)=3E(X)=号 因为E(2X)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时， 累计得分的数学期望较大. 练案[15] A组·素养自测 1.AD0<a<子，由随机变量5的分布列，得：B()=a-子 .当a增大时，E()增大； )=(-1-a+)×子+(0-a+)x(分-+ (-a+xa=-++ +2a+16 3