3.3 第1课时 二项式定理-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[6] 第三章排列、组合与二顶式定理 3.3[第1课时 二项式定理] 6组·素养自测 (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项. 一、选择题 1- 的二项展开式中，第4项是（) A.Ci B.Cio C.-Ci0 D.Ciox 2.(2025·天津卷)在(x-1)的展开式中，x 项的系数为 3.30+ 的展开式中含有常数项，则最小 的正整数n等于 A.4 B.5 C.6 D.7 4+引1+)°展开式中，含项的系数为 10.(1)求912被100除所得的余数； (2)用二项式定理证明：110-1能被100 A.45 B.30 整除 C.75 D.60 5.（多选)若二项式x+ 展开式中的常数项 为15，则实数m的值可能为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题 6(e+ 的展开式中常数项是 (用 数字作答〉 衡+ (n∈N)的展开式中含有常数 项的最小的n为 8.已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+ a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2= 三、解答题 9.在2- 的展开式中，求： —112 8组·素养提升 (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； 一、选择题 (3)求展开式中系数最大的项. 1.(1+3x)"(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若 x与x的系数相等，则n= ( A.6 B.7 C.8 D.9 2.若(1+2x)的展开式中的第2项大于它的相 邻两项，则x的取值范围是 1 B<x<5 1 6 1 2 C12<x<3 1 3.1++ 的展开式中，常数项为 ）9.设(1+x)"=a0+a1x+a2x2+…+anx”,n≥4， A.1 B.3 n∈N*,已知a=2a2a4: C.4 D.13 (1)求n的值； 4(多选)对于- (2)设(1+3)”=a+bW3,其中a,b∈N,求 的展开式，下列说法 a,b的值. 正确的有 ( A.有理项有3项 B.第4项的系数为-160 C.常数项为-160 D.各项系数之和为3 二、填空题 5.将(3+x)”的展开式按照x的升幂排列，若倒 数第三项的系数是90，则n的值是 6.在二项式（√2+x)”的展开式中，常数项是 系数为有理数的项的个数是 7.若x>0,设(2+) 的展开式中的第三项为 M,第四项为N,则M+N的最小值为 三、解答题 8.在二项式(x2 的展开式中，第1项和 第3项的系数和等于第2项系数绝对值的 2倍 —113取一张，有C种方法，又除含0的那张外，其他两张都有正面 和反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C4·C?·C;· 22个. (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A个 (3)0和1都不取，不同的三位数有C·2·A个. 综上所述，共有不同的三位数C4·C·C·2+C·22·A +C·23·A3=432个 解法二：（间接法）任取三张卡片可以组成不同的三位数C· 2·A个，其中0在百位的有C好·2·A个，这是不合题意 的，故共有不同的三位数C·23·A-C·22·A=432个. 9.(1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总 数是：4×4×4×4=44=256种. (2)将四个小球全排列后放人四个盒子即可，所以放法总数 是：A4=24种 (3)由题意，必然是四个小球放人2个盒子中分三步完成：选出两 个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子所 以法总数是心(+c)居=种 (4)分三类放法 第一类：甲球放人1号盒子，即审3兰，则乙球有3种放法 (可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42 种放法.故此类放法的种数是3×42； 第二类：甲球收入2号盒子，吧台则乙球有2种收法 (可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法.故此类 放法的种数是2×42； 第三类：甲球放人3号盒子，出晶子，则乙球只有1种放 法（放人4号盒子），其余两球随便放，有42种放法，故此类放 法的种数是1×42 综上，所有放法的总数是：(3+2+1)×42=96种. 练案[6] A组·素养自测 1LC展开式的通项为7=。·…(=(-1)y: C16·x16-2,所以第4项为T4=(-1)3×Ci6x0=-C36x0.故 选C. 2.-20(x-1)6展开式的通项公式为T,+1=C6x6-+·(-1)', 当r=3时，T4=C6x3·(-1)3=-20x3, 即(x-1)6展开式中x3的系数为-20 3D由二项展开式的通项公式可得(3：+清】 展开式的通项 为1=C(3x)-（ =3“-C%x3n-,展开式中含有常数 7 项，则3n-2=0有正整数解，满足题意的最小的正整数为 r=6,n=7,故选D. 18 4.C(1+x)展开式的通项为T,+1=C6x,则T3=C6x2=15x2, 工=C=15,因此(2x+）1+)展开式中含2项的 系数是2×15+3×15=75.故选C 5.AB二项式x+ m ）展开式的通项T,+1=C6·x- Cox-m. 3 令6-之=0，得r=4,常数项Cm=15,则m=1,得m= ±1.故选AB. 6240(+) 展开式的通项T+1=C626-”x”·2=2· Cx2-.令12-3r=0,得r=4.故展开式中的常数项为Cg·2 =240. 7.5由二项式的通项公式得1,1=C3”-‘”-,若展开式中 含有常数项，则n-子-0，即m=子，所以n最小值为5 8.24由(2x-1)4=[(2x-2)+1]4知，其展开式通项为T+ =C4·24·(x-1)4-,所以a2为当k=2时项的系数.又 1T2+1=C·22·(x-1)2=24(x-1)2,所以a2=24. 11 9%=c2)·(=C2, 第5项的二项式系数是C=70,第5项的系数是Cg·24 =1120 (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， ,=2)（ 116 =112x2 10.(1)912=(100-9)2=C92·1002-C2·1001·9+C2· 1000·92-…+C92,展开式中前92项均能被100整除， 只需求最后一项除以100的余数. :92=(10-1)2=C92·102-Cg2·101+…+C9·102- C2·10+1,前91项均能被100整除，后两项和为-919，又 余数为正，.可从前面的数中分离出1000，结果为1000- 919=81, .912被100除所得的余数为81. (2)证明：110-1=(10+1)0-1 =(1010+C10·10°+C。·108+…+C。·10+1)-1 =100+C0·10°+C。·103+…+102 =100(103+C10·107+C10·10+…+1), .110-1能被100整除. B组·素养提升 1.B二项式(1+3x)"的展开式的通项是T,+1=C1"-·(3x)' =C4·3·x.依题意得 C·35=C·36, 即n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 51 =3×n-)n-2)n:3)(n-4m-52(n≥6)， 6! 30 得n=7. ,rC62x>1, 2.A由 7>1,c2>c2x.五<<号 3.D 由于(1+在+)广表示4个因式（压++）的乘积。 故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都 取1：②有2个因式取反，一个因式取1，一个因式取： 故展开式中的常数项为1+C×C2=13. 4.BCT,+1=C6·26-·(-1)'·x3- ∴.展开式共有7项全部为有理项，A错误；展开项的系数为 -Cg·8=-160,B正确；令3-r=0,得r=3..常数项为 -160,C正确；令x=1,得各项系数和为1，D错误.故选BC 5.5将(3+x)“的展开式按照x的升幂排列，则倒数第三项的 系数是C%2·32=90, 求得n=5(负值舍去). 6.1625展开式通项是：T+1=C(√2)9-‘x,所以常数项是 T=Cg(2)=162,若系数为有理数，则9-r为偶数，所以r 为奇数，所以r可取1,3,5,7,9. 75-心（子。 3 =G(}(-是 M+N-+2-2 当且仅当警-会时等号成立，即=五 8(1)C+c-2·2Cr2-m+8=0, .n≥2，.n=8. (2).n=8,.展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第 5项即=G（2-装 c(j≥c(2, (3)研究系数绝对值即可 c(2)≥c(分， 解得2≤r≤3， reN,.r=2或3. r=3时，系数为负。 六系数最大的项为T,=7x】 9.(1)因为(1+x)"=C0+Cx+C2x2+…+C”x",n≥4， 所以a,=C?=n(n-1) 2 a3=C=n(n-1)(n-2) 6 a4=C-n-l)(n-2)(n-32 24 因为a=2a2a4, 18 所t以n-ln-2=2×n,-山xnn-2n-3】 6 2 24 解得n=5. (2)由(1)知n=5. 即(1+B)"=(1+3)5, 所以C+C;5+C(5)2+C(5)3+C(5)4+C(5)5= a+b3. 因为a,beN, 所以a=C8+3C2+9C=76,b=C+3C+9C=44. 练案[7] A组·素养自测 1.C 令x1,得出36 的展开式中各项系数和为(3 1)"=256,解得n=8; (3 的展开式通项公式为： =(-1)…38-C8·x4-, 令4-r=0,解得r=4. ∴.展开式的常数项是T,+1=T,即第5项故选C 2.A9+C1·9-1+…+C·9+C% =g(91+C9++C92+Cn9+C)-) =(9+1)-与=g(10-1是1的倍数， ∴n+1为偶数，n为奇数. 3.D由条件知，(a-1)20=1,a-1=±1， .a为正实数，.a=2. ·展开式的第2020项为： mc器2(- =-2C·x-2018=-4040x-2018,故选D. 4.80由通项公式T+1=C5·25-·x3-·(-1)=C5·(-1) ·25-x5-‘, 令5-r=3,得r=2, 可得x3项的系数为C?·(-1)2·2-2=80. 5.ACD对任意实数x, 有(2x-3)”=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+ a(x-1)9=[-1+2(x-1)]9, 所以a2=-C号×22=-144，故A正确； 故令x=1,可得a0=-1,故B不正确； 令x=2,可得a0+a1+a2+…+ag=1,故C正确； 令x=0,可得a0-a1+a2+…-a,=-3°，故D正确. 6.510令x=1,得2"=32，得n=5,则T,1=C·(x2)5-· ()=C·-,令10-5r=0,r=2故常数项为1=10