4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[15] 第四章 概率与统计 4.2[4.2.4 第2课时离散型随机变量的方差] 儿组·素养自测 8.抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上 一、选择题 的次数服从二项分布B(n,),若P(专=1) 1.（多选)已知0<a< 4,随机变量专的分布列如 =32,则方差D()= 3 下 三、解答题 -1 0 9.甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中 D 3 4 4-a a 环数与次数如下表： 环数 5 6 910 当a增大时， 次数 1 2 4 A.E(E)增大 B.E()减小 乙射击的概率分布如下表： C.D()减小 D.D()增大 环数 7 8 10 2.小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不 概率 0.2 0.3 0.1 中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记 : (1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18 小智投篮三次后的得分为随机变量专，则 的概率及p的值； D(II)为 ( (2)比较甲、乙射击水平的优劣， B C. D.3 3.设随机变量X的概率分布列为P(X=k)= p·(1-P)'-(k=0,1),则E(X)、D(X)的值 分别是 A.0和1 B.p和p C.p和1-p D.p和(1-p)p 4.随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为 A.64 B.256 C.259 D.320 .m. 5.已知随机变量专满足P(专=x)=ax+b(x= -10,1),其中a,b∈R若E()=5,则D() ( B.S c. D. 9 二、填空题 6.一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而 被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的 牛的头数为专，则D()= 7随机变量专的取值为0,12.若P(5=0)=5, E()=1,则D()= —135 10.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取 游览B,C,D的概率都是)，且该游客是否游 3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不 再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正 览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该 品的个数 游客游览的景点个数，则 (1)求X的分布列、期望及方差； A该游客至多游览一个景点的概率为} (2)求Y的分布列、期望及方差. BPX=2)=景 C.P(X=4)=24 D.E(X)=6 13 3.随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 P 0.5 若E(X)= 8,则D(X)等于 1 7 A.32 9 .33 D.55 "64 64 4.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口 遇到红灯的概率都是3，且在各路口是否遇到 红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数， 若Y=3X+5,则Y的标准差为 ( A.√6 B.3 C.√3 D.2 二、填空题 5.已知随机变量专的概率分布列如下： 4 a 8组·素养提升 0.5 0.1 b 一、选择题 已知E(E)=6.3,随机变量7~B(a,b),则D(n) 1.（多选)已知随机变量X的分布列为 X -1 0 6.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有 数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上 的数字和为X,则D(X)= 则下列式子正确的是 7.变量飞的分布列如下： AP(X=0)号 B.a=- 0 6 P e C.E(X)=-3 1 D.D(X)= 23 27 2.（多选)某市有A,B,C,D四个景点，一位游客 其中a+c=2b,若E()=3,则D()的值是 来该市游览，已知该游客游览4的概率为号， 136 三、解答题 :9.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量 8.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘 X1和X2,根据市场分析，X和X2的分布列分 制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 别为 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设 X 5% 10% 每天的销售量相互独立 小 0.8 0.2 十频率 组距 0.006 X2 2% 8% 12% 0.005 0.004 P 0.2 0.5 0.3 0.003 0.002 (1)在A,B两个项目上各投资100万元，Y 0 (万元)和Y,(万元)分别表示投资项目A和B 50100150200250日销售量/个 (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销 所获得的利润，求方差D(Y),D(Y); 售量都不低于100个且另1天的日销售量低 (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目， 于50个的概率； (100-x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项 目所得利润的方差与投资B项目所得利润的 (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于 方差和，求(x)的最小值，并指出x为何值时， 100个的天数，求随机变量X的分布列，期望 f(x)取到最小值. E(X)及方差D(X): 137依题意得，X1的分布列为 X 3 P 9 10 ()=1×5+2×+3×品 3 =2.86(万元)， X2的分布列为 1.8 2.9 9 10 10 E)=18×0+2.9×品-2.79（万元》. 因为E(X)>E(X,),所以应生产甲品牌轿车. 3.A:抛物线的对称轴在y轴的左侧， 名<0，即合>0， a与b同号. 专的分布列为： 0 1 P )=0x+1×号+2x号-号 4.BC由题意E()=P2+2(1-p)=(p-1)2+1,由于0<p< 1.所以E()随着p的增大而减小，A错，B正确.又p-p2= p(1-p)<1-p,所以C正确，p=子时P(6=2)=子，面P(5 =)=(=名>D错，放选C 5.号7=45-2今E(m)=4E(5)-2→7=4·E(5)-2→E(5) -号=1x+2xm+3x+47又对++a 1 =1,联立求解可得n= 1 62设“？”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以 期望E()=1×P(5=1)+2×P(5=2)+3×P(5=3)=4x+2y 7266 81 依题意，知专的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为号)+（兮）厂-。若该轮结 束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮 比赛结果对下轮比赛是否停止没有影南从而有P(专=2)=号， 故B()=2×号+4×引+6×号- 20 16_266 8.(1).[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者 -19 人数成等差数列 .由频率分布直方图得 r(0.015+a+b+0.015+0.010)×10=1, 12b=a+0.015. 解得a=0.035,b=0.025. (2)利用分层抽样从样本中抽取10人， 其中属于高消费人群的有(a+b)×10×10=6人，属于潜在 消费人群的有10-6=4人. 从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X, 则X的所有可能取值为：150,200,250,300. P(X=150)= =1,P(X=200)= CiCh =1 C36 C02’ CoC 3 P(X=250)=C0 =i0P(X=300)=。=30 X的分布列为： X 150 200 250300 1 3 6 2 10 30 E(X)=150× 6+200×分 +250×0+30×0=210, 9()由已知得小明中奖的概率为子，小红中奖的概率为号，两人 中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A,则事 件A的对立事件为X=5”,因为P(X=5)=子×号告所以 11 P(A)=1-P(X=5)=5所以这两人的累计得分X≤3的概率 为媚 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X,,都选择 方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计 得分的数学期望为E(2X,),选择方案乙抽奖累计得分的数学 期望为E(3X,) 已知得X~(2,号)x~82,号) 24 24 所以E(X)=2×行=3，E(X)=2×5=5 所以E(2X)=2(X)=号，E(3X)=3E(X)=号 因为E(2X)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时， 累计得分的数学期望较大. 练案[15] A组·素养自测 1.AD0<a<子，由随机变量5的分布列，得：B()=a-子 .当a增大时，E()增大； )=(-1-a+)×子+(0-a+)x(分-+ (-a+xa=-++ +2a+16 3 -(a-)+子 :0<a<4心当a增大时，D()增大，故选AD. 2.B由题意可得=-3,3，-1,1，其中P(=-3)=P(=3) =0.53,P(E=-1)=P(E=1)=C(0.5)3=3×0.5 故随机变量I的分布列为 1钊 人 3 P 6×0.53 2×0.53 故E(l1)=6×0.53+3×2×0.53=1.5 D(11)=(1.5-1)2×6×0.53+(3-1.5)2×2×0.53=0.75 故选B. 3.D由X的分布列知，P(X=0)=1-p,P(X=1)=P,故E(X) =0×(1-P)+1×p=p,易知X服从两点分布，.D(X)=p(1 -p). 4.B由X~B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n= 100,p=0.2,由公式得D(X)=p(1-p)=100×0.2×0.8= 16,因此D(4X+3)=42D(X)=16×16=256,故选B. 5.B由已知可得：P(5=-1)=-a+b,P(5=0)=b,P(5=1) =a+6,则-a+6+6+a+b=1,即6=子 又B)=-1x(-a+b)+0x6+1x(a+6)=写，所以a 所以专的分布列如下： 0 所以D(5)=石×(-1-)+×(0-)+× (1-=,放选R 6.0.196因为随机变量专~B(10,0.02),所以D()=10×0.02 ×0.98=0.196 7号设P(5=1=a,P氏5=2)=b, 则+a+6=1 La+2b=1, 3 [a=5 解得{ 1 b=5 所以0E)=5+号×0+×1号 8子3≤n<8,5服从二项分布8(n,）): 一19 且P=)=最C(2·(-)最 即n(分广=名解得n=6, ·方差D川)=m(1-p)=6x分×(1-分）=2 9.(1)由0.2+0.3+p+0.1=1得p=0.4. 设甲、乙击中的环数分别为X1、X2,则 P=8)0=01,PX=9)品=02， P(X=10)=0=04, P(X2=8)=0.3,P(X2=9)=0.4,P(X2=10)=0.1, 所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为： P=0.1×0.1+0.3×0.4+0.2×0.4=0.21. (2)甲的均值为E(X1)=5×0.1+6×0.1+7×0.1+8×0.1 +9×0.2+10×0.4=8.4, 乙的均值为E(x2)=7×0.2+8×0.3+9×0.4+10×0.1= 8.4. 甲的方差为D(X1)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+ (7-8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+ (10-8.4)2×0.4=3.04, 乙的方差为D(X2)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+ (9-8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84. 因为D(X)>D(X2),所以乙比甲技术稳定 10.（1)X的可能取值为0,1,2. 若X=0,表示没有取出次品，其概率为P(X=-0)号： 同理，有P(X=1)= 9 C2 Cto p(X=2)=C2 .1 2 .X的分布列为 X 0 1 2 6 9 22 22 (0=0x名+1x是+2×克=分0(0-(0-2)月 1 ×+1-)×号+(2-)×品=是+品+品 (2)Y的可能取值为1,2,3，显然X+Y=3. 法：P(Y=1)=P(X=2)=22, P(Y=2)=P(X=1)=22 9 PY=3)=P(X=0)= .Y的分布列为 1 2 3 1 9 6 2222 ()=1×克+2×+3×9=D(=1-}× 克+-*品+3-×-摇 法二：E()=E(3-0=3-E(0=号，D0=D3-0= （-100=装 B组·素养提升 1LABC由分布列可知，P(X=0)=分a=1-分寸=石 (0=(-1D×3+0×写+1×石=-分：0 (-1+)x3+(0+写x写+(1+写)x石=高 2.ABDX的所有可能取值为0,1,2,3,4.则P(X=0)= (1-31-21-21-2）=24 P(x=)=号×(-)+(1-号)xCx3×(1-》 所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X=0)+P(X=1) =方+员放A正确 (x=2)=号xG×7×(-广+(1-)xCG×(2】 ×1-)广=冬，故B正确 P(X=4)=子×()=立放C错误 又PX=3)=号×Gx(2)×1-)+(1-号)xC× () 所以(X)=0×+1×务+2×+3×+4×=号 113 故D正确.故选ABD. 3.D由题意知， [1×0.5+2x+3y=5 ’ x=8 0.5+x+y=1, .3 y=8 0=(1-x3+2-)×日+3-)x -55 -64 4.A因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所 以可看成3次独立重复试验，即X~(3,), 则X的方差0()=3×行×(1-）子，所以Y的方差 -19 D)=3·0(0=9×号=6，所以y的标准差为VD可 =√6. 5.1.68由分布列的性质知b=1-0.5-0.1=0.4, E(5)=4×0.5+0.1×a+9×0.4=0.1×a+5.6=6.3,.a =7, 7~B(a,b),即7~B(7,0.4), ∴.D(7)=7×0.4×(1-0.4)=1.68. 6.3.36由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12. 0-是- -15 C=古则(0=6x是+9x8+12×5 p(X=2)=C。 7 =7.800=话×6-78)2+5x(9-782+5×2 -7.8)2=3.36 由条件可知2b=a+c,又a+b+c=3b=1, 1.9 2 b=3,a+c= 又E()=-a+c= 3..a 6c- ，故的分布列为 0 6 3 2 ()=(-1-)x6+(0-号)x+(1-× 15 2=9 8.(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件 “日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连 续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于 50个.” 因为P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2= 0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X=0)=C(1 -0.6)3=0.064,P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288;P(X =2)=C·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C·0.63= 0.216,则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.0640.2880.4320.216 因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8, 方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 9.(1)由题设可知Y,和Y2的分布列分别为 Y 5 10 P 0.8 0.2 5 Y, 2 8 12 P 0.20.50.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2× 0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12 (2)=·y)+n(00.) =(0)+(80o)-0+3(w-门 =700(4-60r+3×102). 所以当==75时)取最小值3】 练案[16] A组·素养自测 1.B零件外直径X~N(10,0.04),.根据3σ原则，产品外 直径在(10-3×0.2,10+3×0.2)即(9.4,10.6)之外时为异 常.9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，.可认为上午生产情况 正常，下午生产情况异常，故选B. 2C易知标准正态分布密度曲线关于直线x=0对称，因此P =P2 3.B.P(X>m-1)=P(X<2m+1),.m-1+2m+1=4,解 得m=号，放选B 4.ABD服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以 P(IX1=a)=0,A正确.X~N(0,1),4=0,所以正态曲线关 于直线x=0对称，P(IXI<a)+2P(X>a)=1.又P(X>a) +P(X<a)=1,所以P(1XI<a)+2[1-P(X<a)]=1,即 P(IXI<a)=2P(X<a)-1(a>0),所以B正确，C错误. P(IX1<a)+P(1X1>a)=1(a>0),D正确，故选ABD. 5.B由题意易知P(5>100)=0.5,P(100≤5≤120)=P(80< 5≤100)=0.45..P(5>120)=P(5>100)- P(100<≤120)=0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的 试卷的份数为200×0.05=10. 6.0.2由正态曲线关于直线x=4对称且在x=u处达到峰值 和其落在区间(0.2，+∞)内的概率为0.5，得u=0.2. 7.1正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两 个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间 （-3,-1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个 区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直 线x=u对称，4的意义是数学期望，因为区间(-3，-1)和区 间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3，-3的对称点是 5),所以数学期望为1. 8.505.·平均成绩u=480,标准差σ=100，总体服从正态 分布， 19 .X~N(480,1002).设重点录取分数线可能划在f分， 则PK=1-P<=1- 又(0.25)=06，f-480=0.25. 100 .f=505分 rP(72≤X≤88)≈0.6827 9.(1)由题设4=80，而 ,则 lP(u-c≤X≤u+σ)≈0.6827 「从-0=72 ,可得σ=8. 4+σ=88 (2)由(1)知：P(u-2o≤X≤4+2σ)=P(64≤X≤96)≈ 0.9545, 正态曲线关于x=80对称，即P(X<64)=P(X>96), 所以P(X<64)=之×(1-09545)=0.02275，放P(X≥ 64)≈1-P(X<64)≈0.97725， 由P(72≤X≤8)=0.6827，则P(X<72)=7[1-P(72≤X ≤8)]=7x(1-06827)=0.15865, 所以P(X≥72)=1-P(X<72)≈0.84135， 综上，P(64≤X≤72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈0.97725- 0.84135=0.1359. 0 6472808896 10.设农民工年均收入X~V(u,o2),结合题图可知，4=8000,0 =500 (1)此地农民工年均收人的正态分布的概率密度函数表达式 为9u,(x) 1 -x=四21 -x-800)2 e22 e-2x5002,x∈（-00，+00). √/2To 500√/2 (2)因为P(7500<X<8500)=P(8000-500<X<8000+ 500)≈0.683. 所以P800<Xe80)=P750<X<80)-03415= 34.15%. 即农民工年均收人在8000~8500元之间的人数所占的百 分比约为34.15%. B组·素养提升 1.AC (-a)=P(X<-a), :图中阴影部分的面积为行-P(X<-a）=方-(-a), 又根据性质(-a)+(a)=1,可得)-(-a)=分 [1-(a]=(a）-分A,C正确