4.2.3 二项分布与超几何分布-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

058 4.2.3二项分布与超几何分布 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解n次独立重复试验及二项分布， 1.通过具体实例，掌握二项分布，并能解决简 2.理解超几何分布及其推导过程. 单的实际问题 2.通过具体实例，了解超几何分布，并能解决 3.能利用二项分布及超几何分布解决一些简单的 实际问题， 简单的实际问题， 4.灵活选择概率模型解决实际问题， 必备知识探新知 知识点一n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是 的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.●[思考1] 知识点二二项分布 思考1：独立重复试验 般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p,记g=1-p,且n次 必须具备哪些条件？ 独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是0,1，…，k,…,n,而 且P(X=k)= ,k=0,1,…,n,因此X的分布列如下表所示 X 0 n PCp'Cp'- Cp'g- … Cp'q 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(g+p)”= Cpg+Cp'g-1+…+Cpg-+…+Cpg中对应项的值，因此称X服从 参数为n,p的二项分布，记作 知识点三超几何分布 (1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件 (M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X 是一个离散型随机变量，X能取不小于1且不大于s的所有自然数，其中s是 思考2：超几何分布概 M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数（即n≤N-M)时取0，否则 率公式有何特点？ t取n减乙类物品件数之差（即t=n-(N-M)),而且P(X=k)= k=t,l+1,…,s,这里的X称为服从参数为V,n,M的超几何分布. (2)记法：X~H(N,n,M). (3)分布列：如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0，则X能取所有不大于s 的自然数，此时X的分布列如下表所示. X 0 1 k Co CN- Car C- CN Cy [思考2] ●059 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一独立重复试验的概率 例，在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了5个项日的比 赛已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率 都是0.8. (1)求该运动员恰好打破3项世界纪录的概率； (2)求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率； (3)求该运动员参加完第5项比赛，恰好打破4项世界纪录的概率 [分析]由于5个比赛项目是相互独立的，且结果只有2种，符合独立 重复试验模型 [规律方法] 规律方法： 1.运用独立重复试验 》对点训练1 的概率公式求概率， 甲，乙两队进行排球比赛，已知一局比赛巾甲队获胜的概率为子，没有 首先要分析问题中涉 及的试验是否为n次 平局. 独立重复试验，若不 (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ 符合条件，则不能应 (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 用公式求解 2.解决这类实际问题 往往需把所求的概率 的事件分拆为若千个 事件，而这每个事件 均为独立重复试验. 3.在解题时，还要注 意“正难则反”的思 想的运用，即利用对 立事件来求其概率 060 题型二 二项分布 例2，一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设 他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是子 (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数？ 的分布列： [分析](1)首先判断专是否服从二项分布，再求分布列.(2)注意“首 次遇到”“或到达”的含义，并明确7的取值，再求？取各值的概率 规律方法： 1.本例属于二项分 布，当X服从二项分 布时，应弄清X~ ·[规律方法] B(n,p)中的试验次 数n与成功就率p. )》对点训练2 2.解决二项分布问题 在一次物理考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且 的两个关注点 只需在其中选做一题，若4名考生选做这两题的可能性均为) (1)对于公式P(X= k)=Chp*(1-p)"-k (1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率； (2)设这4名考生中选做第15题的学生数为专，求专的分布列. =0,1,2,…,n)必 须在满足“独立重复 试验”时才能运用， 否则不能应用该 公式 (2)判新一个随机变 量是否服从二项分 布，关键有两点：一是 对立性，即一次试验 中，事件发生与否两 者女有其一；二是重 复性，即试验是独立 重复地进行了n次. ●061 题型三二项分布的综合应用 例3甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者 为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为号，乙 认中3人答对的概率分别为号，号，方，且各人问答正确与否相互之同 没有影响.用飞表示甲队的总得分 (1)求随机变量飞的分布列； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示 “甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB) [分析]（1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响， 所以专服从二项分布，其中n=3,p=子 (2)AB表示事件A,B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总 得分大于乙队总得分. 规律方法： 对于概率问题的综合 题，首先，要准确地 确定事件的性质，把 ·[规律方法] 问题化归为古典概 》对点训练3 型、互斥事件、独立 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定事件、独立重复试验 条件下发芽成功的概率为写，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性 四类事件中的其一 种；其次，要判断事 试验， 件是A+B还是AB (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验（每次均种下一粒种确定事件至少有一个 子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率； 发生，还是同时发 (2)第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次 生，分别运用相加或 试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽 相乘事件公式：最 后，选用相应的求古 成功为止，但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的 典概型、互斥事件、 次数的概率分布列： 条件概率、独立事 件、n次独立重复试 验的概率公式求解 062 题型四 超几何分布的概率及其分布列 例4袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从 袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球 得1分，从袋中任取4个球， (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率. 求出每个 写出分 [分析] 写出X的可 X对应的 能值 布列 概率 规律方法： ·[规律方法] 求超几何分布的分布列的步骤 》对点训练4 :验证随机变圣狼双超元荷分 第一步 微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的 布.并确定装八n1的值. 100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小 :粮据超儿荷分布的獭率计算公剂 时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为 第二步一：式计算髓机变量取每一个值时 “非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为 :的概率.----- 3:2. 第三步 一闲泰格的形式列出分布到阳 使用微信时间/时 频数 频率 (0,0.5] 5 0.05 (0.5,1] 15 0.15 (1,1.5] 15 0.15 (1.5,2] (2,2.5] 30 0.30 (2.5,3] 9 合计 100 1.00 (1)确定x,y,P,9的值； (2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有 影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”100人中用分层抽样的方法抽 取10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3 人中“微信依赖”的人数为专，求专的分布列； (3)根据(2)求选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率. 063 ●易错警示 审题不清致误 例5.9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒 种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑 至多补种一次，求需要补种坑数的分布列！ [错解]设需要补种的坑数为X,则X的可能取值为0,1,2,3 由猴立重复试验知P(X=0)=C×(分=g P(X=)=C×2)×2=gP(X=2)=CGx)x7=, P(X=3)=CGx()=令则所求分布列为： 0 P 8 [辨析] 每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误 [正解] [点评]审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析，弄清条件与结论，发掘 切可用的解题信息， 课堂检测固双基 1.已知随机变量X服从二项分布XB6,), 3.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7， 若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率 则P(X=2)等于 () 为 () A架 B.4 43 0.13 D.13 A.0.42 B.0.2016 243 16 C.0.1008 D.0.0504 2.任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的 概率为 ( 4.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任 A子 B.3 意选3个村，下列事件中概率等于9的是() 8 D I 4 064 A.至少有1个深度贫困村 盒子中随机抽取3个，再将电子元件放回.重 B.有1个或2个深度贫困村 复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元 C.有2个或3个深度贫困村 件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3 D.恰有2个深度贫困村 次的概率是 5.某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检 测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装 夯基提能作业 有5个正品和1个次品的同批次电子元件的 请同学们认真完成练案[13] 4.2.4 随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性 质，会根据离散型随机变量的分布列求出 1.通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽 均值 象的素养。 2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的 2.借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的 均值. 素养 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相 关的实际问题 必备知识 探新知 知识点一离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示： P2 则称E(X)= 为离散型随机变量X的均值 或数学期望（简称为期望）. (2)意义：它刻画了离散型随机变量X的 (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则E(Y)=E(ax +b)= 思考：离散型随机变 [思考] 量的均值和样本的平 知识点二 常见的几种分布的数学期望 均数相同吗？ 超几何 名称 两点分布 二项分布 分布 E(X)= E(X) E(X) 公式4.2.3 二项分布与超几何分布 必备知识探新知 知识，点一相互独立 思考1：(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率 不变； (2)各次试验结果互不影响： (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的. 知识点二Cpg-4X-B(n,p） 知识点三（1)C3)CG C C 思考2：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下 标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标， 关键能力攻重难 例1：记“打破1项世界纪录”为事件A,则P(A)=0.8,5个 项目需要该运动员参加5次比赛，5次比赛相当于5次独立重复 试验 (1)该运动员恰好打破3项世界纪录的概率为C×0.8× 0.22=0.2048. (2)设该运动员打破世界纪录的项目数为，则所求事件的 概率为P(=3)+P(=4)+P(=5)=C5×0.8×0.22+C× 0.84×0.2+C×0.8=0.94208. (3)参加完第5项比赛时，恰好打破4项世界纪录，即第5 项比赛打破世界纪录，前4项比赛中有3项打破世界纪录，因此 所求事件的概率为C×0.83×0.2×0.8=0.32768. 对点训练1：(1)甲第一、二局获胜或第二、三局获胜或第 ,三局获胜，则P=(号+C×号x了×号9 (2)甲前三局获胜或甲第四局获胜，而前三局仅胜两局或 甲第五局获胜，而前四局仅胜两局，则 P=(号)+G×(号)××号+()x(×号 6 81 例2：(1)专~B(5,写)专的分布列为P(=)= c(兮(3)k=01,2.34,5 故专的分布列为 J P 32 80 80 40 10 243 243 243 24324324 (2)n的分布列为P(n=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个 是红灯)=（号·分k=0,12,34: P(=5)=5个均为绿灯)=（号）月 故η的分布列为 0 2 1 2 8 16 32 243 243 对点训练2：(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示 “乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为 “AB+AB”且事件A、B相互独立. 所以P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =2×分+(1-2)×(-2)=2 1 (2)随机变量的可能取值为0,1,23,4，且5~B4,2）所以 P5==c分)1-》=C(2=01234 所以随机变量的分布列为 3 P 3 16 4 16 例3：由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且 P=0)=(-号)=7 P-G-- P=2)=G(号广(-号) P6=3)=c(=多 所以的分布列为 0 1 2 3 P 1 2 4 8 27 9 9 27 (2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3 分乙得0分”这一事件，所以AB=CUD,且C,D互斥.又P(C)= =(号（兮×寸×）章 由互斥事件的概率公式得 P)=PG)+PD=是+号-兰=器 对点训练3：(1)至少有3次发芽成功，即有3次，4次，5次 发芽成功， 设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X, 期rX=)=G×(付)广×号}-器。 Px=4=C×(x号-是. 1 Px=5)-G×(号×（号=本 01 所以至少有3次发芽成功的概率 P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 器+端+痴弟品 (2)随机变量的可能取值为1,2,3,4,5 P=I=，P=2=号x- P=5)=(号x1=品 所以专的分布列为： 2 3 4 P 2 4 8 16 3 9 278181 例4：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3 红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8. PX=5)=C=35 3 P(X=6)= Cc 18 C135 P(X=7)= CC_12 C =351 C 1 p(X=8)=C-35 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P 1 12 35 35 35 35 (2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为 P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=35+35=35 12.113 对点训练4：(1)由统计表中的数据可知，“非微信依赖”的 人数为5+15+15+x=35+x,“微信依赖”的人数为30+y, 贸”分 3 ①， 又35+x+30+y=100 ② 联立①②解得x=25,y=10, p高高-025,9高0010 故x=25,y=10,p=0.25,g=0.10. (2)用分层抽样的方法抽取的10人中，“非微信依赖”有 0×号=6（人），“微信依额”有10×号=4（人）， ∴.随机变量专的所有可能取值为0,1,2,3，则 P(5=0)=Cc1 6,P(5=1)= C。 P(5-2)=CC」 3 ,P(5=3)= .Co Cio -301 专的分布列为 0 1 2 3 1 1 3 1 P 6 2 10 30 (3)选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率为P(= 2)+P(6=3)=品+0= .1 1 例5：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1- Q5)P-g,所以单个坑不需补种的概率为1-令-子 设需要补种的坑数为X,则X的可能取值为0,1,2,3，这是 三次独立重复试验， P(X=0)=C× 器 Px=)=G×()×3)-0 147 P(x=2)=cGx(g×(3) 21 =512 P(x=3)=G×(g×(g°=市 所以需要补种坑数的分布列为： X 0 1 2 3 P 343147 21 512 512 512 512 课堂检测固双基 1.A~随机变量X服从二项分布X~B(6,）,P(X=2)表示 6次试验中成功两次的概率， 16 X=2)=(5(号)-0 故选A 2.B抛一枚硬币，正面朝上的概率为分，则抛三枚硬币，恰有2 校朝上的概率为P=()广x宁-是 3.B由题意知，甲、乙两人各投中一次的概率为C2×0.6× (1-0.6)×C,×0.7×(1-0.7)=0.2016. 4.B用X表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X~ 3,3)所以PX=G=0,12,3.则P -C=5P(X=) 0)= -若2 C3C4_12 =35 r=》答-京所=+心X=2=号期有1 个或2个深度贫困村的概率为号 .三从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中 5.16 随机抽取3个，其中有2个正品，1个次品的概率为C C 子再将电子元件放回，重复6次这样的试验，那么“取出的3 个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的 概率为G×(分)×（号）=6 5 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时离散型随机变量的均值 必备知识探新知 知识点一(1)xh++…+x,P.=名xP,(2)平均取 值(3)aE(x)+b 思考：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依 赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不 同而变化 知识点二P即兴 关键能力攻重难 例1：1)片+号+5+m+品=1，解m=石 (2)(0=-2x子-1x写+0x5+1x日+2x0= 1 17 -30 (3)若Y=2X-3 E(0-2E(0-3=-2×号-3=-号 对点训练1：(1) ·1由题知，随机取出红球的概率为 ,随机取出绿球的概率为子，随机取出黄球的概率为)，的 取值情况共有0.1,2，八6=0)=才+行×写=写P(=） 11 2x3+4 +7x写x+宁xx+好×号x所以 1 1