4.2.4 离散型随机变量的方差学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

课题：离散型随机变量的方差 【课标要求】 通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差) 【学习目标】 1. 通过课本P86-87页情境与问题，能说出离散型随机变量的方差与标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差； 2. 通过学习知识点2，熟记两点分布与二项分布的方差； 3. 通过例题探究，学会解决离散型随机变量数学期望与方差的实际应用问题，进一步深化离散型随机变量期望与方差的内涵，体会数学的实际应用价值. 【自主学习】 复习回顾：①样本数据x1，x2,...,xn的平均数为x ̅，则方差s2如何表示？ ②离散型随机变量的均值？ 情境与问题：某省要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.若从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你决定谁参加全运会，你会怎样决定?说明理由. 甲的环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 （1）若从平均水平的角度考虑，能否决定谁参加全运会?说明理由. （2）评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，观察X1、X2的概率分布图（下图），甲、乙两名射击运动员稳定性如何？ （3）如何定量刻画甲、乙的发挥稳定性呢？ 知识点1.离散型随机变量的方差 问题1：写出离散型随机变量的方差、标准差的定义式. 问题2：离散型随机变量的方差反映了数据的什么特征？ 知识点2. 两点分布、二项分布的方差 问题：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，推导D(X) . 总结：若离散型随机变量服从参数为p的两点分布，则 _____________ 若离散型随机变量服从X～Ｂ（n,p），则 __________________ 知识点3. 离散型随机变量方差的性质 思考：已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 设a，b都是实数。且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差与之间有什么联系？利用定义给出证明. 【预习评测】 1.已知离散型随机变量的分布列为： 则等于（ ） A. B. C. D.1 2. 一批零件的次品率为0.03，从这批零件中每次随机取一件，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品件数，则D(X)的值为( )　　 A．0.291 B．0.0291 C．0.3 D．0.03 【合作探究】 例1. 在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差. 例2. 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 变式训练：从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的的摸取5次，求摸取白球数X的得分Y=2X+1的数学期望与方差. 【当堂检测】 1.(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是(　　) A．E(X)是反映随机变量的平均取值 B．D(X)越小，说明X越集中于E(X) C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b 2.（多选）设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【课后巩固】 A组： 1.掷一个均匀的骰子，设出现的点数为X, 求X的数学期望与方差． 山东省寒亭一中 高二数学选择性必修第二册《概率与统计》学案 编号2-18 班级： 小组： 姓名： 使用时间： 山东省 高二数学选择性必修第二册《概率与统计》学案 编号2-18 编制： 修改： 审核： 审批： 2.一批产品的二等品率为0.02, 从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，用X表示抽到的二等品件数，求E(X), D(X). ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 3.现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________． 37 38 39 40 0.1 0.5 0.3 0.1 4.医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高.记病毒侵入后人体的平均体温为XoC（摄氏度）.医学统计发现，X的分布列如下： （1）求出E(X)，D(X). （2）已知人体体温为XoC时，相当于Y=1.8X+32oF(华氏度)，求E(Y)，D(Y). B组： 5.(多选)设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下表所示，则当p在(0,1)内增大时，下列说法正确的是(　　) ξ 0 1 2 P A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 6.践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛． (1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率； (2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差． $