4.1.3 独立性与条件概率的关系-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[10] 第四章 概率与统计 4.1[4.1.3独立性与条件概率的关系] b组·素养自测 才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则 一、选择题 甲队获得冠军的概率为 1.（多选)下列事件中，A,B是相互独立事件的是 R c号 0.3 A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”， 二、填空题 B表示“第二次为反面” 6.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在 B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从 球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二 甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的 次摸到白球” 概率为 C.掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B7.甲，乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些 表示“出现，点数为3或4” 小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、 D.掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数” 2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从 2.(2025·上海卷)已知事件A、B相互独立，事 甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是 件A发生的概率为P(A)=之，事件B发生的 红球的概率为 8.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的 概率为P(B)=),则事件AnB发生的概率 人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每 P(A∩B)为 车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小 ) a日 时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时 B.d c D.0 的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立 3.三个元件T,T2,T3正常工 来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、 作的概率分别为时，是是 乙不超过两小时还车的概幸分别为}，2，两 且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后 小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路 ，电路不发生故障的概率是 ( 2,4:两人租车时间都不会超过四小时.求 11 A c 甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 4.从甲袋内摸出1个白球的概率为3，从乙袋内 三、解答题 摸出1个白球的概率是)，从两个袋内各摸19，菜公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种 考试方案 个球，那么概率为的事件是 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试 A.2个球都是白球 通过 B.2个球都不是白球 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门 C.2个球不都是白球 都及格为考试通过， D.2个球中恰好有1个白球 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概 5.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队 率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否 只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局 及格相互之间没有影响， 121 求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； 8组·素养提升 (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 一、选择题 1.甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题 被甲单独解出的概率为0.6，被甲、乙至少一人 解出的概率为0.92，则该题被乙单独解出的概 率是 A.0.32 B.0.2 C.0.68 D.0.8 2.某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问 题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即 停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每 个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结 果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就 闯关成功的概率等于 () A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432 3.(多选)设两个独立事件A和B都不发生的概 10.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机 率为)，A发生B不发生的概率与B发生A不 床加工的零件不是一等品的概率为子，乙机 发生的概率相同，则下列说法正确的是 床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 A.事件A与B发生的概率相同 不是一等品的概率为2 甲、丙两台机床加工 B.P(A)=3 的零件都是一等品的概率为号 CP)-号 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零 件是一等品的概率； D.P(i)-号 4.(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别 (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验， 标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A= 求至少有一个一等品的概率 {第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数}；事 件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数 或者同时出现偶数}，则 A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= 1 D.P(A)P(B)P(C)=8 二、填空题 5.台风在危害人类的同时，也在保护人类，台风 给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水 荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、 乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻， 甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别 —122 为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一9.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备 时刻至少有两颗预报准确的是 选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙 6事件A,B,C相互独立，如果P(AB)=石，PBC) 能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选 题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道 =8P(aBC)=8则P(B)= P(AB) 题才算合格。 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形 的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃 时，均从一片荷叶跳到另一个荷B 叶)，而且逆时针方向跳的概率是 顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设 现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷 叶上的概率是 三、解答题 8.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的 概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌 机进入这个区域后未被击中的概率； (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上 的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 123号为1时，接收的信号也可能为0，因此导致事件B。发生的原 因有事件A。与A1,且它们互不相容，故A。与A1构成一完备 事件组由题意有P(A)=P(A,)=,P(A,IA)=Q.7,P(A A1)=0.1, P(Ba)=P(A)P(BoIAo)+P(A )P(BIA)=x0.7+ 分x01=04 由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为 PA,1B）=PAPn1A)-0875 P(B。) 练案[10] A组·素养自测 1.AC把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结 果不受先后次序的影响，故A中A,B事件是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立：对于 C,A事件为出现1,3,5点，P(A)=方，在事件B的条件下，事 件A发生的概率P(AB)=方=P(A),事件A,B相互独立：D 中两事件是互斥事件，不是相互独立事件 2B因为A,B相互独立，放P(AnB)=(AP(B)=×号 =子，放选B 3.A记“三个元件T,T2,T3正常工作”分别为事件A,A,A, 则P(A)=2,P(A)=子，P(A)=子 不发生故障的事件为(A2UA)∩A1, ..不发生故障的概率为 P=P[(A2UA3)∩A1J =[1-P(A2)·P(A)]·P(A) ×1-15 故选A. 4.C从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立， 放两个球都是白球的度率为八=号×号。 5 :两个球不都是白球的概率为P=1-P=6 5.D设A(i=1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件 表示甲队获得冠军. 方法一：B=A,+A1A2,故P(B)=P(A)+P(A1)P(A2)= 方法二：P(®)=1-P(44,)=1-P(a,)P(4)=1-×7 18 号“从20个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B“从 6. 240个螺母中任取一个是A型”记为事件C,则P(B)=C0 P(C)= C ∴.P(BnC)=P(B)·P(C)= Cico.Ciso3 C5 7.9 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球” 两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为4=？ 6-3 从乙袋中取出红球的既率为石，所以所求事件的概率为号× 11 6=9 8各由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概 *分别为好行 设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A, 即甲，乙两人所付的粗车费用相同的概率为。 9.记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C, 则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为P,=P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6 ×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为B=号P(AB)+ P8C)+P(4C)=号x0.5x0.6+5x0.6x0.9+了× 0.5×0.9=0.43 10.(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是 一等品的事件. 1 P(AB)=4· 由题设条件有P(BO= PaC=号， P(A)[1-P(B]= ① 即P(B)·[I-P(C)]=2 ② 4G= ③ 由①.③得P(B)=1-是P(O),代入②得 27[P(C)]2-51P(C)+22=0. 6 解得P(G)=子或号（含去） 将P(C)=号分别代入③.②可得P(A)=分、 P8)子 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别 是时行号 (2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有 一个一等品的事件，则 P(D)=1-P(D)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等 品的概率为膏 B组·素养提升 1.D设该题被乙单独解出的概率为P,由题意可知甲、乙都没有解 出该题的概率为1-0.92=(1-0.6)(1-P),解得P=0.8,故 选D. 2.B选手恰好回答了4个问题就闯关成功表示第2个问题不 正确，第3、4个问题回答正确.故P=0.6×0.4×0.6×0.6+ 0.4×0.4×0.6×0.6=0.144. 3.ACD因为事件A,B相互独立，由P(AB)=P(AB)可得[1- P(A)]P(B)=P(A)[1-P(B)],即P(A)=P(B) 义P(AB)=P(④P(=g P(④=3即1-P氏a=gP氏A)=子 (iB)=P团P)=(1-号)x号- 结合选项可知ACD正确，故选ACD. 4ABD由题意知P(A)=号，P(B)=?,P(C)=?,所以 P(A)=P(B)=P(C),故A正确； 又事件A,BC两两独立，所以P(AB)=)×了=子，P(AC) =×分=P(sC)=×=所以P(4B)=Pr(AC) =P(BC),故B正确； 事件A,B,C不可能同时发生，故P(ABC)=0,故C错误； PA)P(B)P(G)=××g,放D正确 5.0.902设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记 为A,B,C, 则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)= 0.3,P(C)=0.1, 至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,ABC,ABC,这四个事 件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为P P(A∩B∩C)+P(A∩B∩C)+P(A∩B∩C)+P(A∩B∩C) 18 =0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7× 0.9 =0.056+0.216+0.126+0.504=0.902. 方号因为P(ABO)=P(AB)P(G=石P(G)=日，所以 6.23 P(C)=子，即P(C=子又P(BC)=P()·P(GO=g,所 以P()=分，P(B)=2 又P(AB)=石，则P(A)=号 所以P(AB)=P(A)·P(B) =(1-)×2=3 7.号由已知逆时针跳一次的概率为子，顺时针跳一次的概率 为分则逆时针跳三次停在A上的概率为B=子×号×号 =分，顺时针跳三次停在A上的概率为户=了×了×了 111 分所以暖三次之后停在4上的概*为P=R+R,=务+司 8.(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为A(k=1,2,3,4,5), 那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1·A2·A·A4·A 因为事件A1,A2,A,A4,A相互独立，所以敌机未被击中的概 率为P(A1·A2·A·A4·A)=P(A)·P(A2)·P(A)· i,)i=1-02y=(月 所以敌机未被击中的概率为 (2)需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，可得敌 机被击中的概率为1 (八 所以令1-（传广>0.9，所以（号<0 1 两边取常用对数，得n>-3g210.3, 因为n∈N*,所以n=11.所以至少需要布置11门高炮才能 有0.9以上的概率击中敌机 9.(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)= C6C+C6_60+20=2 Cio 120 P(B)-CCg+C=56+56-14 C10 120-15 (2)解法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有 一人考试合格的概率为 P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B) +P)P(剧=号×5+写×培+号×培-智 答：甲，乙两人至少有一人考试合格的概率为转 解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合 格的概率为 P(AB)=PP周)-(-号)×(1-)=5 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P(AB)=1-4545 144 答：甲，乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 练案[11] A组·素养自测 1.ABA选项中轮船数X的取值可以一一列出，故X为离散型 随机变量；B选项中某超市5月份每天销售额X可以一一列 出，故为离散型随机变量：C选项中实际测量值与规定值之间 的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；D选项中水位在 (0,29]这一范围内变化，无法一一列出，故不是离散型随机 变量. 2.D同时抛掷3个硬币，正面向上的个数可能为0、1、2、3. 3.B号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个.故选B. 4.D由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故=3有两 种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选D 5.C由题意，事件Y=4是X=-2与X=2的并事件，所以P(Y =4)=P(X=-2)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5. 6号事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，所以P(X>4) =PX=5)+PX=6)=石+合分 7.第6次能打开房门X可能取值为1,2,3，…，10. X=n表示第n次能打开房门. 8.0.7因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3, 所以P(X≤2)=1-0.3=0.7. 9.(1)取值范围为0,1,2,3}. (2)5=1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得 正品. 10.(1)的取值范围为{0,1,2,3,4,5}.=0,1,2,3,4,5分别表 示5次罚球中命中0次，1次，2次，3次，4次，5次 (2)由题意可知7=2 又5∈0,1,2,3,4,5}，.n∈{0,2,4,6,8,10. B组·素养提升 1.CD选项A,B表述的都是随机事件；选项C,D是随机变量， 可能的取值均为0,1,2. 2.BCD因为白球和黄球的个数和为3，所以取出的4个球中至 少有1个黑球，故X的可能取值为1,2,3. 3.C因为随机变量的所有等可能取值为1,2，…，n, 所以P(5=k)=(k=1,2,n)由题意，P(5<4)=P(专= -18 )+P5=2)+P5=3)=月=0.3，所以n=10 4.CP(X=1)=P(Y=4),所以a+b=4, ① P(X=2)=P(Y=7),所以2a+b=7, ② 由①②得，a=3,b=1,所以a+2b=5. 5.300,100,-100,-300}可能回答全对，两对一错，两错一 对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100 分，-300分 6.{1,2,3,4,5,6,7}由于取到白球游戏结束，那么取球次数可 以是1,2,3，…，7 7.Y=50X0.7由题意可知Y=50X,其中X∈{0,1,2,3，…， 30}. X>20,∴.Y=50X>1000. 又P(X>20)=0.3,∴.P(Y>1000)=0.3, ∴.P(Y≤1000)=1-P(Y>1000)=1-0.3=0.7. 8.(1)X的取值范围为0,1,2. X=0表示所取的3个球都是黑球： X=1表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； X=2表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球. (2)Y的取值范围为0,1,2,3,4,5}. 用（α，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出 的点数，b为第二枚骰子掷出的点数 Y=0表示掷出的两枚骰子的，点数相同，其包含的所有可能结 果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6) Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能 结果有(1,2)，(2,1)，（2,3)，（3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)， (5,4),(5,6),(6,5) Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能 结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)， (6,4). Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能 结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3). Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能 结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2). Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能 结果有(1,6)，(6,1). 9.因为x,y可能取的值为1,2,3，所以1x-21=0,1,lx-y1=0, 1,2,所以X=0,1,2,3, 所以X的取值范围为0,1,2,3}. (2)用(x,y)表示第一次抽到卡片的号码为x,第二次抽到卡 片的号码为y,则随机变量X取各值的意义为：X=0表示两次 抽到卡片编号都是2，即(2,2)； X=1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)(3,3)： X=2表示(1,2)(3,2)： X=3表示(1,3)(3,1) (3)由(2)知，P(X=3)=9 2 8