4.1.2 乘法公式与全概率公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

039 课堂检测 固双基 1.某班学生的考试成绩中，数学不及格的占 P(AIB)和P(BIA)分别等于 () 15%,语文不及格的占5%，两门都不及格的占 3%,已知一学生数学不及格，则他的语文也不 c号号 n3号 及格的概率是 ( 4.已知甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去 A店 B.iO c D 一个景点，设事件A为“三个人去的景点互不 相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率 2.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同 P(AIB)等于 学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到 中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是 号 C.Z 号 5.6名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑 道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在 A.4 B号 C.2 D.1 第二跑道的概率是 3.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的 气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占 20%,乙市占18%，两地同时下雨占12%，记 夯基提能作业 P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则 请同学们认真完成练案[8] 4.1.2 乘法公式与全概率公式 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象 1.掌握乘法公式及其推广和全概率公式 的素养 2.了解贝叶斯公式， 2.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑 3.会用乘法公式及全概率公式求相应事件的 推理的数学素养。 概率。 3.借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学 4.会用全概率公式及贝叶斯公式解题 运算的素养 必备知识 探新知 知识点一乘法公式 公式：P(AB)=P(A)P(BIA) 意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发 生的概率，可以求出事件A与B 的概率 [思考1] 思考1：P(AB),P(B) P(AIB)(其中P(B)> 知识点二全概率公式 0)之间存在怎样的等 (1)一般地，如果样本空间为2，而A,B为事件，则BA与BA是互斥的， 量关系？ 且B=BA+BA,从而P(B)=P(BA)+P(BA),当P(A)>0且P(A)>0时， 有P(B)= (2)定理1 若样本空间2中的事件A1,A2,…,An满足： 040 ①任意两个事件均 ,即A,A=☑，i≠j,i,j=1,2,…,n ②A1+A2+…+An= 思考2：全概率公式体 现了哪种数学思想？ ③P(A)>0(i=1,2,…,n). 则对2中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+·+BAn,且P(B)= [思考2] 知识点三贝叶斯公式 拓展：贝叶斯公式充 (1)一般地，当0<P(A)<1且P(B)>0时，有P(AB)= P(A)P(BIA) 分体现了P(AIB), P(B) P(A).P(B).P(BIA). P(BIA),P(AB)之间 (2)定理2若样本空间2中的事件A1,A2,…,A,满足： 的转化.即P(AIB)= ①任意两个事件均互斥，即AA=⑦，ij=1,2,…,n,i≠j； 得代地=e ②A1+A2+…+An=2; P(B)=P(BIA)P(A), ③1>P(A:)>0,i=1,2,…,n P(B)=P(A)P(BIA) 则对2中的任意概率非零的事件B,有 +P(A)P(BIA)之间 P(A,IB)= P(A)P(BIA) 的内在联系。 P(B) [拓展] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一利用乘法公式求概率 例1.一批产品中有4%的次品，其余均为合格品，而合格品中一等品占 45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率. [分析]产品为一等品的含义为既是合格品又是一等品，即求P(AB) 规律方法： ·[规律方法] 乘法公式的作用 乘法公式P(AB)= 》对点训练1 P(BIA)P（A)的作 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. 用就是方便我们在不 (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；好直接求得P(AB) (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率。 的情况下，先迁回地 求出方便计算的 P(BIA)和P(A), 再求得P(AB). 041 题型二全概率公式的应用 例2世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型冠状病毒可能造成 “持续人传人”.通俗点说就是A传B,B传C,C又传D等，这就是“持 续人传人”，而A,B,C被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一 个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为 0.95,0.9,0.85,健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴 会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者. 规律方法： 若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，求小明被感染的概 全部概率P(D)被分 率 解成了许多部分之 [分析]根据题意，设事件A,B,C分别表示和第一代、第二代、第三代 和，它的理论和实用 传播者接触，事件D表示小明被感染，则有P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB) 意义在于：在较复杂 P(B)+P(DIC)P(C),据此计算可得答案 [规律方法] 的情况下，直接计算 P(D)不易，但D总 》对点训练2 是伴随着某个A:出 某电子设备制备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的 现，适当地去构造这 记录有如下表所示的数据： 一组A:,往往可以简 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 化计算 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志. 在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率 042 题型三 贝叶斯公式的应用 例3，在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因 素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1； 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假 设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收到的信号为0和1的概率； (2)已知接收到的信号为0，求发送的信号是1的概率 [分析]设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”， 为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图直观表示. P(BLA)=0.9 发送0(A) P8A=0.1 接送0(B) PBLA)=0.05 规律方法： 发送1(4) 接送1（⑧® 利用贝叶斯公式求概率的步骤 PBA=0.95 第一步：利用全概率公式计算 P(A). 即P(A)=P(B,)P(AIB,); 第二步：计算P(AB),可利用 P(AB)=P(B)P(AIB)求解： 第三步：代入P（BIA)= 梁器 [规律方法] 】对点训练3 三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机 器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产 的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随机地抽取一 个零件，发现是不合格品，求： (1)它是由机器甲生产出来的概率； (2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大， ●043 ●易错警示 概率计算公式理解不清而致误 例4.（多选）若0<P()<1,0<P(B)<1,则下列式子中成立的为 A.P(AIB)- P(A) B.P(AB)=P(A)P(BIA) C.P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) P(B)P(AIB) D.P(AIB)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) [错解]BC 由条件概率的计算公式知A、D错误，B、C显然正确. [辨析] 记忆公式时要抓住公式的结构特性，同时还要正确理解各个随机事件的含义. [正解] 课堂检测 固双基 1.若P(B)=3,P(A1B)=2则P(AB)为 4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04,第二台的废品率为0.07，加工出来的零 件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工 4.3 B. 6 c 零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的 10 概率为 () 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回 A.0.21 B.0.06 地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽到A C.0.94 D.0.95 的概率是 () 5.袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚均匀的 A品 B司 c岛 D 4 51 骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知 3.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概 取出的球全是白球，则掷出3点的概率为 率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别 为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9]一 A.0.65B.0.075 C.0.145 D.04 P0-鹄-要子 P(A) 2 课堂检测固双基 1.A设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B1A) =PAB)-Q031 P(=Q55,所以当数学不及格时，该学生语文也不及 .1 格的概率为5 2.B因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖 券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是3 3c41剧=8-8号 P(BIA)=P(AB)_0.12 3 P(A)-0.2-5 4.C由题意可知， n(B)=C·22=12,n(AB)=A=6 所以P(AIB)=n(AB2=6-L n(B)=12=2 5号“甲排在第一跑道”记为事件A,“乙排在第二跑道”记为 事件B. A 则P(A)= A_1 A= 6,P(AB) A=30 1 所以P(B1A)=P(AB_=30_1 P(4)=15 6 4.1.2乘法公式与全概率公式 必备知识探新知 知识点一同时发生 思考1：P(AB)=P(B)P(AIB).((PIB)>0)》 知识点二(1)P(A)P(B1A)+P(A)P(BIA) (2)①互斥 ②2③∑P(BA,)P(A)P(BIA:) 思考2：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用 化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可. 知识点三（I)P(A)P(B1A)+P(A)P(BA) P(A)P(BIA) (2)-P(A)P(BIA) P(A)P(BIA) 关键能力攻重难 例1：设“取到的产品是一等品”为事件A,“取到的产品是 合格品”为事件B,则P(AIB)=45%,P(B)=4%, 于是P(B)=1-P(B)=96%, 故由题可得P(A)=P(AB)=P(B)P(AIB)=96%×45% =43.2%. 对点训练1：设事件A,表示第i次摸到的是黑球(i=1,2, 3),则事件AA2表示两次摸到的均为黑球. （D由题意知P(4)=O,P4M,)=号 于是，根据乘法公式，有P(4A)=P(A)P(4A,)=品× 2 9-15 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为 黑球的概率为古 19 (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A=A4,A 由题意知P(4)P(,a)=号P(41(a)=是 于是，根据乘法公式，有P(AA2A)=P(A1)P(A2IA1) 637 P(A1(A1A)=10×9×8=40 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球 的概率为 例2：0.915设事件A,B,C分别表示和第一代、第二代、第 三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)= 0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D1A)=0.95,P(D1B)=0.9 P(D1C)=0.85, P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB)P(B)+P(DIC)P(C) =0.95×0.5+0.9×0.3+0.85×0.2=0.915. ∴.小明被感染的概率为0.915. 对点训练2：设事件B,表示所取到的产品是由第i家元件 制造厂提供的(i=1,2,3),事件A表示取到的是一件次品.其中 B,B,,B1两两互斥，A发生总是伴随着B,B,,B3之一发生，即 A=B,AUB,AUB2A,且B,A,B,A,B2A两两互斥.运用互斥事件 概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(BA)+P(B,A)+P(BA) =P(B)P(AIB)+P(B2)P(AIB,)+P(B)P(AIB) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125, 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率 为0.0125. 例3：设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”， 则A为“发送的信号为1”，B为“接收到的信号为1”。 由题意得P(A)=P(A)=0.5,P(B1A)=0.9,P(B1A)=0.1, P(B1A)=0.05,P(BIA)=0.95. (1)P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=0.5×0.9+0.5 ×0.05=0.475: P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525 (2)P(A1B)=PA)P(B1A=0.5x0.051 P(B) 0.475=19 对点训练3：设B,B2,B,分别表示事件任取的零件为甲、 乙、丙机器生产的，A:抽取的零件是不合格品，由条件知， P(B)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35, P(A1B1)=0.10,P(AIB2)=0.05,P(AIB3)=0.01, (I)所求概率为P(B,IA),P(B1A)=P(B)P(AIB,)。 P(B)P(AIB) 0.714. (2)类似(1)的计算可得P(B,IA)≈0.223，P(B,IA)≈ 0.063,比较可知是机器甲生产出来的可能性大. 例4：BCD由条件概率的计算公式知A错误：B,C显然正 确：D选项中，因为P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB),故D正确 课堂检测固双基 1.A2.C3.C4.D 5.0.04835设B=取出的球全是白球}， A,=掷出i点}(i=1,2,…,6), 由贝叶斯公式，得： 1 Cs P(AIB)=- (A)PB1A)=6C5=0.04835. P(A)P(BIA,) 61C5 1=1 4.1.3独立性与条件概率的关系 必备知识探新知 知识点(1)P(A)P(B)